电阻电路的等效变换

R2 R3 R23 R2 R3 R1 R3 R1 R31 R3 R1 R2
或
G23 G31
G 2 G3 G1 G2 G3 G3G1 G1 G2 G3
类似可得到由接 Y接的变换结果：
G12G31 G1 G12 G31 G23 G23G12 G2 G23 G12 G31 G31G23 G3 G31 G23 G12 简记方法：
四、 桥形结构与惠斯通电桥
4
R1
1
R3
R5
3
R2
2
R4 +
Rs
Us
-
例5. 惠斯通电桥电路
R1
c R2
A
惠斯通电桥测电阻：当电流计为0时 b （电桥平衡时），已知三个电阻可 求另一个电阻。
a
R3
R4
d
Rs Us
当电桥平衡时，c、d间无电流可认
为开路、I=0。Ucd=0、 c、d间 等电位， c、d可认为短路。
º
º
º
º
相互等效变换。（ Y － 等效变换
对外等效）
Y － 等效条件: Y － 网络对应端子具有相同电压时，
流入 对应端子的电流分别相等，称 Y － 网络等效。
即：如：u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y
有：i1 =i1Y , i2 =i2Y , i3 =i3Y
º
并联:
电压相同的电压 源才能并联，且 每个电压源的电 流不确定。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
_
_
_
º
二.、理想电流源的串并联
并联： 可等效成一个理想电流源 i S（ 注意参考 方向），即 iS= iSk 。 º º
iS1
iS2
iSk
º
iS
º
串联: 电流相同的理想电流源才能串联,并且每 个电流源的端电压不能确定。
三、理想电流源与电压源的串联
º + u+ 1 _ u + un _ _ º
i
R1
即
电压与电阻成正比
Rk uk u Rk
Rn
故有
例：两个电阻分压, 如下图
º + + u1 u u2 _ + º i R1 R2
R1 u1 u R1 R2
R1 2 u2 u R1 R2
( 注意方向 !)
4. 功率关系 p =R i2， p =R i2，， p =R i2 1 1 2 2 n n 总功率
p1: p2 : : pn= R1 : R2 : :Rn p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ +Rni2
=p1+ p2++ pn
R1 Rk Rn
i
+ u1 _ + uk _ + un _
_ + u ①电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比。 ②等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和
R1 I 1 R3 I 3 R2 I 2 R4 I 4
R1 I 1 R3 I 3 R2 I 2 R4 I 4
R1 R2 R3 R4
例6：R=20Ω，求等效电阻Rab
C C
50Ω
D
D
2. 4 电阻的Y形连接和形连接的等效变换
三端无源网络:引出三个端钮的网络， °
° 并且内部没有独立源。 ° 无 源
或
R12 R31 R1 R12 R23 R31 R23 R12 R2 R12 R23 R31 R31R23 R3 R12 R23 R31
R 相邻电阻乘积 R
或
GΔ Y相邻电导乘积 GY
特例：若三个电阻相等(对称)，则有 R = 3RY ( 外大内小 ) 注意： (1) 等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。 (2) 等效电路与外部电路无关。 13
º Req=? º
1.3 6.5 13
Rin=1.3∥6.5∥13 由 G =1/1.3+1/6.5+1/13 = 1
故 R=1/G=1
3. 并联电阻的电流分配
ik u / Rk Gk 由 i u / R G 即 电流分配与电导成正比 eq eq
知
ik Gk i Gk
i2
R2
对于两电阻并联， 有
i1 R2
i2
Rk
ik
Rn
in
①电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比。 ②等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消耗功率的总和。
三、 电阻的串并联（混联） 要求：弄清楚串、并联的概念。
4
计算举例：
例1.
º
b
a
3
c
2
a
4 2 3
b
6
c
R º
6
R = 4∥(2+3∥6) = 2
例 2.
+ i1 u12 – i2 + 2
– 1 R31 u31 i3 + – u12Y – i2Y
+ i1Y
1–
R1 u31Y R3 i3Y +
R12
R23 u23
R2
3
+
2
u23Y
3–
接: 用电压表示电流
i1 =u12 /R12 – u31 /R31
i2 =u23 /R23 – u12 /R12 (1)
2Ω 1Ω
1Ω
⑤
方法二
① 4Ω
2Ω ④ 4Ω 1Ω
1Ω ①
R12
8Ω
R12
②
2.684Ω
②
1Ω
⑤
2.5电压源、电流源的串联和并联
一、 理想电压源的串并联 º + uS1 _ + uS _ + uSn _ º I + 5V + 5V I º 5V º + º º
串联: uS= uSk ( 注意参考方向)
Y接: 用电流表示电压
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
u23Y=R2i2Y – R3i3Y u31Y=R3i3Y – R1i1Y i1Y+i2Y+i3Y = 0 (2)
i3 =u31 /R31 – u23 /R23
由式(2)解得：
i1Y
i2 Y
i3 Y
u12YR3 u31YR2 R1 R2 R2 R3 R3 R1 u23Y R1 u12Y R3 R1 R2 R2 R3 R3 R1 u31Y R2 u23Y R1 R1 R2 R2 R3 R3 R1
三端无源网络的两个例子： 、Y网络：
+ i1
u12 – i2 + R12 R23 u23
–
1 R31 u31 i3 + – – u12Y i2Y
+ i1Y
1– R1 u31Y R3 i3Y +
R2
2
3
+
2
u23Y
3
–
型网络
Y型网络
、Y 网络的变形：
º º º º
T 型电路 (Y 型) 型电路 ( 型) 当型和Y 型网络的电阻满足一定的关系时，能够
应用：简化电路
例1. 桥 T 电路
1k 1k E 1k E 1/3k 1/3k 1/3k 1k R
1k
R
1k
3k E
3k 3k R
例2. 双 T 网络
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
例3 求R12。
6Ω ① 2Ω ③ 6Ω ④ 3Ω
解：
① 2Ω
6Ω
平衡电桥
R12
③
④ 3Ω
1Ω
R12
2.二端电路等效的概念
两个二端电路，端口具有相同的电压、电流 关系,则称它们是等效的电路。
B
i
+ u -
等效
C
i
+ u -
对A电路（外电路）中的电流、电压和功率而言， 满足：
B
A
C
A
明确
（对外等效）
①电路等效变换的条件： 两电路具有相同的端口VCR
②电路等效变换的对象：
未变化的是外电路A中的电压、电流和功率。 （即对外等效，对内不等效） ③电路等效变换的目的：
第二章 电阻电路的等效变换
2.1 引言 2.2 电路的等效变换 2.3 电阻的串联和并联
2.4 电阻的Y形连接和形连接的等效变换
2.5 电压源、电流源的串联和并联 2.6 实际电源的两种模型及其等效变换
2.7 输入电阻
重点：
1.电路的等效变换
2.电阻的Y形连接和形连接的等效变换 3.实际电源的两种模型及其等效变换
º i i1
R1
R2 1 1 / R i1 i i 1 / R1 1 / R2 R1 R2
1 / R2 R1 i2 i i 1 / R1 1 / R2 R1 R2
º
4. 功率关系 p1=G1u2， p2=G2u2，， pn=Gnu2 p1: p2 : : pn= G1 : G2 : :Gn 总功率 p=Geqi2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2 =G1i2+G2i2+ +Gni2 =p1+ p2++ pn i + u _ R1
R1 Rk Rn
i
+
+ u1 _ + u k _ + un _ u _
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
2. 等效电阻Req
R1 i + Rk Rn 等效 i u + _ Req
+ u1
_ + u _ + u _ k n
u _
KVL
I 4 1 I 3 1 I 2 1 I 1 1 12 3 2 4 8 8 R 2R
例4
a b
c 6
15
d 5
5
求: Rab , Rcd
Rab (5 5) //15 6 12Ω
Rcd (15 5) // 5 4Ω
注意 等效电阻针对端口而言。
iS º_ + uS
º 电压源与电流源的串联组合等效 为一个电流源。
u= u1+ u2 +…+uk+…+un u k = Rk i
由欧姆定律
( k=1, 2, …, n )
u= (R1+ R2 +…+Rk+…+ Rn) i = Reqi
Req=( R1+ R2 +…+Rn) = Rk 结论： 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
3. 串联电阻上电压的分配
uk Rk i Rk Rk 由 u R i R R eq eq k
4.一端口输入电阻
2. 1 引言
线性电阻电路（电阻电路）：
仅由电源和线性电阻构成的电路。
分析方法
①欧姆定律和基尔霍夫定律是 分析电阻电路的依据； ②等效变换的方法__化简的方法
2.2 电路的等效变换
1.二端电路（网络）
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且 从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流， 则称这一电路为二端网络 (或一端口网络)。 无 源 i 无 一 i 源 端 口
二、电阻并联 (Parallel Connection) i +
u _ 1. 电路特点: (a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL) (b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL) i1 R1 R2 i2 Rk ik Rn in
2. 等效电阻Req i + i i u _ R1 R2
6Ω
1Ω
或
②
②
① 2Ω ③
④ 3Ω
3 3 9 R12 2 // 6 1// 3 2 4 4
R12
②
1Ω
9 R12 (2 1) //(6 3) 4
例4 如图所示，求桥形电路的总电阻R12。
① 2Ω 2Ω 1Ω ③ ②
解：
④
① 0.8Ω
R12
方法一 R12
0.4Ω ③ ② 0.4Ω ④ 2Ω 1Ω ⑤
i1 =u12 /R12 – u31 /R31 (3) i2 =u23 /R23 – u12 /R12 i3 =u31 /R31 – u23 /R23
(1)
根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得由Y接接的变换结果： R1 R2 G1G2 R12 R1 R2 G12 R3 G1 G2 G3
1
i
2
Rk
ik
Rn
in
等效
+ u _
Req
由KCL:
i = i1+ i2+ …+ ik+ in= u / Req
故有 u/Req= i = u/R1 +u/R2 + …+u/Rn=u(1/R1+1/R2+…+1/Rn) 即 1/Req= 1/R1+1/R2+…+1/Rn
令 G =1 / R, 称为电导 Geq=G1+G2+…+Gk+…+Gn= Gk= 1/Rk
化简电路，方便计算。
1
+ us 1， 分析电路:
等效
1 + us 1，
Req
1. 虚框内（替换部分）元件不同、电路不同、电压电流 也不同。 2. 虚框外元件不变、电路不变、电压电流也不变。 注意：等效变换是对外部等效
2. 3 电路的串联和并联
一、 电阻串联 ( Series Connection of Resistors ) 1. 电路特点:
º 40 40 R º 30 30 30
40
R = (40∥40+30∥30∥30) = 30
例3.
I1 +
I2
R
I3
R
I4 求：I1 ,I4 ,U4 + U4 _
12V
_
2R
+ U1 2R _
+ U2 2R _
2R
解： ① 用分流方法做
U 4 I 4 2R 3 V
I 1 12 R ②用分压方法做 U2 1 U4 U1 3 V 2 4 _ 3 I4 2R