空间向量数量积及坐标运算课件
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(1)求BN的长； (2)求 BA1 与 B1C 夹角的余弦值．
[思路点拨] 先建立空间直角坐标系，写出各 向量的坐标，再利用向量方法进行求解．
[精解详析] 如图，以 CA ， CB ， CC1 为正交基底建 立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， ∴|BN |＝ （1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝ 3， ∴线段BN的长为 3.
[思路点拨] 先求 BA1 · AC ，再由夹角公式求cos 〈 BA1 ， AC 〉，并由此确定异面直线BA1与AC所成角的 余弦值．
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THANK YOU
2019/9/15
[精解详析] ∵ BA1 ＝ BA ＋ AA1 ＝ BA ＋ BB1 ， AC ＝ BC － BA，且 BA·BC ＝ BB1 ·BA＝BB1 ·BC ＝0，
（直3），．记两作个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时， 夹角为0，反向共．线时，夹角为π.
2．异面直线的定义 不同在任何一平面内
的两条直线叫做异面直线．
3．两条平异移面到直一线个所平成面的内角
锐角或把直异角面直
线
互相垂，直这时两条直线
的夹角(
)叫做两条异面直
4线．所异成面的直角线．夹如角果的所范成围的是角(0是，直角]2，．则称两条异面直
线
.
1．空间两个向量的数量积
已知空间两个向量a，b，把平面向量的数量a·积b＝
|a||b|cos〈a，b〉
叫做两个空间向量a，b的数量
积(或内积)．
2．|两a|个co空s〈间a向，量e〉的数量积的性质
(1)a·a·e＝b＝0
．
(2)aa·⊥ab⇔
．
(3)||aa||2|＝b|
．
(4)|a·b|≤
．
求(1)p＋2q；(2) (p－q)·(p＋q)； (3)cos〈p，q〉． （4）求 AB在CD上的正射影的数量
练习： 设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
[例 2] 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝ 2，求 异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值．
∴ BA1 ·AC ＝－ BA2 ＝－1.
又| AC |＝ 2，| BA1 |＝ 1＋2＝ 3.
∴cos〈 BA1
，
AC 〉＝ |
BA1 ·AC BA1 || AC
＝－1＝－ |6
6 6.
∵异面直线所成角的范围是(0，π2]，
∴异面直线BA1与AC所成角的余弦值为 66.
[例3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底 面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1， ∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
．
3．空间向量平行和垂直的条件
(1)a∥b(b≠0)
a＝λb
a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3
，
或当b与三条坐标轴都不平行时
a1＝a2＝a3 a∥bb1 b2 b3．
(2)a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ．
4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
(1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝ a·a ＝ a21＋a22＋a23 ，
＝ |
30， 10
即 BA1 与 B1C 夹角的余弦值为
30 10 .
练习：．在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD， H 是 C1G 的中点． (1)求 EF 与 B1C 的夹角； (2)求 EF 与C1G 的夹角的余弦值； (3)求 F，H 两点间的距离．
|b|＝ b·b ＝ b21＋b22＋b23，
a·b cos〈a，b〉＝ |a||b|
a1b1＋a2b2＋a3b3
a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
＝
．
(2)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 | AB |＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2 ．
[例 1] 已知空间四点 A、B、C、D 的坐标分别是(－ 1，2，1)、(1，3，4)、(0，－1，4)、(2，－1，－2)；若 p ＝ AB，q＝CD.
轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位
向量构成空间向量的一个{i基，底j，k}
个交基基底底叫做
坐标向量
单，位这正
．单位向量i，j，k都叫
做
．
2．空间向量的直角坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)．b＝(b1，b2，b3Байду номын сангаас．
向量坐标运算法则
a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
3．1.3 两个向量的数量积
1、空间向量的夹角
(1)定义及记法
已知两非个零向量
任O取A一点O，O作B 〈a，b〉＝a，
∠AOB ＝b，则
a，b，在空间中
叫做向
量a与b的夹角，记作
．
a⊥b
(2)范0围和性质
π
①范围：
＝≤〈a，b〉 ≤
．
②性质：〈a，90b°〉
〈b，a〉．
如果〈a，b〉＝
，则称a与b互相垂
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴ BA1 ＝(1，－1，2)，CB1 ＝(0，1，2)， ∴ BA1 ·CB1 ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA1 |＝ 6，|CB1 |＝ 5，
∴cos〈 BA1
，CB1
〉＝ |
BA1 ·CB1 BA1 || CB1
3．两个向正量射的影数量积？是实数，它可正、可负、可为零．
4．两个空间向量的数量积的运算律
(1)(λa)·λb＝(a·b)
．
(2)a·b＝b·a ．
(3)(a＋b)·ac·＝c＋b·c
．
3．1.4 空间向量的直角坐标运算
1．单位正交基底与坐标向量
建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z
a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
λa＝(λa1，λa2，λa3)
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
．
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB ＝ OB －OA＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z，1)
也就是说，一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表
示这个向量的有向线段的 终点的坐标减去起点的坐标
解：如图所示，以 DA， DC ， DD1 为 单位正交基底建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0，0，0)，E(0，0，12)， F(12，12，0)，C(0，1，0)，C1(0，1， 1)，B1(1，1，1)，G(0，34，0)． (1) EF ＝(12，12，－12)， B1C ＝(－1，0，－1)，
[思路点拨] 先建立空间直角坐标系，写出各 向量的坐标，再利用向量方法进行求解．
[精解详析] 如图，以 CA ， CB ， CC1 为正交基底建 立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， ∴|BN |＝ （1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝ 3， ∴线段BN的长为 3.
[思路点拨] 先求 BA1 · AC ，再由夹角公式求cos 〈 BA1 ， AC 〉，并由此确定异面直线BA1与AC所成角的 余弦值．
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[精解详析] ∵ BA1 ＝ BA ＋ AA1 ＝ BA ＋ BB1 ， AC ＝ BC － BA，且 BA·BC ＝ BB1 ·BA＝BB1 ·BC ＝0，
（直3），．记两作个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时， 夹角为0，反向共．线时，夹角为π.
2．异面直线的定义 不同在任何一平面内
的两条直线叫做异面直线．
3．两条平异移面到直一线个所平成面的内角
锐角或把直异角面直
线
互相垂，直这时两条直线
的夹角(
)叫做两条异面直
4线．所异成面的直角线．夹如角果的所范成围的是角(0是，直角]2，．则称两条异面直
线
.
1．空间两个向量的数量积
已知空间两个向量a，b，把平面向量的数量a·积b＝
|a||b|cos〈a，b〉
叫做两个空间向量a，b的数量
积(或内积)．
2．|两a|个co空s〈间a向，量e〉的数量积的性质
(1)a·a·e＝b＝0
．
(2)aa·⊥ab⇔
．
(3)||aa||2|＝b|
．
(4)|a·b|≤
．
求(1)p＋2q；(2) (p－q)·(p＋q)； (3)cos〈p，q〉． （4）求 AB在CD上的正射影的数量
练习： 设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
[例 2] 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝ 2，求 异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值．
∴ BA1 ·AC ＝－ BA2 ＝－1.
又| AC |＝ 2，| BA1 |＝ 1＋2＝ 3.
∴cos〈 BA1
，
AC 〉＝ |
BA1 ·AC BA1 || AC
＝－1＝－ |6
6 6.
∵异面直线所成角的范围是(0，π2]，
∴异面直线BA1与AC所成角的余弦值为 66.
[例3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底 面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1， ∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
．
3．空间向量平行和垂直的条件
(1)a∥b(b≠0)
a＝λb
a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3
，
或当b与三条坐标轴都不平行时
a1＝a2＝a3 a∥bb1 b2 b3．
(2)a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ．
4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
(1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝ a·a ＝ a21＋a22＋a23 ，
＝ |
30， 10
即 BA1 与 B1C 夹角的余弦值为
30 10 .
练习：．在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD， H 是 C1G 的中点． (1)求 EF 与 B1C 的夹角； (2)求 EF 与C1G 的夹角的余弦值； (3)求 F，H 两点间的距离．
|b|＝ b·b ＝ b21＋b22＋b23，
a·b cos〈a，b〉＝ |a||b|
a1b1＋a2b2＋a3b3
a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
＝
．
(2)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 | AB |＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2 ．
[例 1] 已知空间四点 A、B、C、D 的坐标分别是(－ 1，2，1)、(1，3，4)、(0，－1，4)、(2，－1，－2)；若 p ＝ AB，q＝CD.
轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位
向量构成空间向量的一个{i基，底j，k}
个交基基底底叫做
坐标向量
单，位这正
．单位向量i，j，k都叫
做
．
2．空间向量的直角坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)．b＝(b1，b2，b3Байду номын сангаас．
向量坐标运算法则
a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
3．1.3 两个向量的数量积
1、空间向量的夹角
(1)定义及记法
已知两非个零向量
任O取A一点O，O作B 〈a，b〉＝a，
∠AOB ＝b，则
a，b，在空间中
叫做向
量a与b的夹角，记作
．
a⊥b
(2)范0围和性质
π
①范围：
＝≤〈a，b〉 ≤
．
②性质：〈a，90b°〉
〈b，a〉．
如果〈a，b〉＝
，则称a与b互相垂
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴ BA1 ＝(1，－1，2)，CB1 ＝(0，1，2)， ∴ BA1 ·CB1 ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA1 |＝ 6，|CB1 |＝ 5，
∴cos〈 BA1
，CB1
〉＝ |
BA1 ·CB1 BA1 || CB1
3．两个向正量射的影数量积？是实数，它可正、可负、可为零．
4．两个空间向量的数量积的运算律
(1)(λa)·λb＝(a·b)
．
(2)a·b＝b·a ．
(3)(a＋b)·ac·＝c＋b·c
．
3．1.4 空间向量的直角坐标运算
1．单位正交基底与坐标向量
建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z
a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
λa＝(λa1，λa2，λa3)
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
．
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB ＝ OB －OA＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z，1)
也就是说，一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表
示这个向量的有向线段的 终点的坐标减去起点的坐标
解：如图所示，以 DA， DC ， DD1 为 单位正交基底建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0，0，0)，E(0，0，12)， F(12，12，0)，C(0，1，0)，C1(0，1， 1)，B1(1，1，1)，G(0，34，0)． (1) EF ＝(12，12，－12)， B1C ＝(－1，0，－1)，