概率论--连续型随机变量及其概率密度

求 P(0 X

4
)
Step1: 利用密度函数的性质求出 a



f ( x)dx 1



f ( x)dx a cos xdx 1
2 2
1 a 2
Step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率
P(0 X

4
)

4 0
1 2 cos xdx 2 4
分布函数
0, xa F ( x) , b a 1,
xa a xb xb
意义
0 a b x X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可 能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内 的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖 于子区间的长度而与子区间的位置无关。
5 1
1 1 dx 0 (5 1) 1 4 4
x1 0 1 F ( x ) ( x 1) 1 x 5 4 x5 1
1
0
1
5
例：已知密度函数求概率
随机变量 X 的概率密度为 a cos x f ( x) 0

x

2 其它
a
b
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.
密度函数的区间上的积分 = 区间上的概率
P{x1 X x2 }
x2
x1
f ( x)dx
x1
x2
概率密度函数的性质 非负性
f ( x) 0, x (, )
必然事件的概率
第二节
连续型随机变量及其概 率密度
离散型随机变量 取值是有限个或可列个，可一一列出； 变量的每一个可能取值都能计算出概率。 连续型随机变量 取值是某个区间或整个实数集； 取值不能一一列出； 对于这种变量，我们关心的是它的取值落
在某个区间的概率。
随机变量的分布函数
Distribution Function 分布函数的定义
则称X 服从参数为λ的指数分布. 分布函数
X
E ( )
x0 0 F ( x) x x0 1 e
例
解
设X服从参数为3的指数分布，求它的概率密度
及 P( X 1) 和
X的概率密度
P(1 X 2)
3 e 3 x x 0 f ( x) 0 x 0
F ( x2 ) F ( x1 ) P{x1 X x2} 0
F () lim F ( x) 0,
x
F () lim F ( x) 1
x
F () P{X } F () P{X }
不可能事件
必然事件
F(x)在 (, ) 内是左连续的，即 x0 (, ) 有
P( x X x x) f ( x)x.
用密度函数表示事件的概率
对于连续型随机变量X,它取任意指定实数值a 的概率为0,即:
P(X=a)=0
对于连续型随机变量X,有
P(a X< b)= P(a<Xb)=P(a X b)=P(a<X<b)
f ( x)dx
a
b
x2 x1
P( x1 X x2 ) f ( x)dx
P( X 1)
1
f ( x)dx 3e dx e
3 x 1 0 2 3 x 1 0

3
P(1 X 2) 0dx 3e dx 1 e
6
f ( x)



f ( x)dx 1
P{ x } 1
密度函数和分布函数的关系
积分关系
F ( x) P{ X x}
F ( x) f ( x)dx

x
导数关系

x

f ( x)dx
若f ( x)在x处连续，则F ( x) f ( x)
P(a X b) F (b) F (a) f ( x)dx
0
a
（ c
） d b
x
P{c X d }

d
c
f ( x ) dx

d
c
1 d c dx ba ba
例
102电车每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘客 到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。
解
设随机变量X为候车时间，X 服从（0，5）上的 均匀分布
X ～U （0 ，5 ）
设X为一随机变量,则对任意实数x，(X<x) 是一个随机事件，称
F ( x ) P( X x )
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个 普通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）；
值域为 ［０，１］。
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用 F(x)的函数值来表示。
P（X<b）=F(b) P（X≥b）=1﹣ P（X<b） =1 - F(b) P（a≤X<b）=F(b) ﹣ F(a)
F ( x0 ) F ( x0 )

1 是不是某一随机变量的分布函数？ F ( x) 1 x2
不是 因为
x
lim F ( x) 0
1 函数 G ( x) 1 x 2 1
( x 0) ( x 0)
可作为分布函数
分布函数 F(x)的图形
用分布函数描述随机变量不如分布律直观，
a b
概率密度函数的意义
由于在f(x)的连续点处，有
F ( x x) F ( x) P( x X x x) f ( x) F ( x) lim lim x 0 x 0 x x
它表明了随机变量X在区间 ( x, x x]上的平均概 率，故称f(x)为密度函数。
例：已知分布函数求密度函数
随机变量 X 的分布函数为 0 x0 2 F ( x) x 0 x 1 1 x 1
(1)求 P(0.3 X 0.7)
（2)X 的密度函数
(1) P(0.3 X 0.7) F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4
P( X 2) F (2) f ( x)dx
0
2
2
0
1 2 dx 5 5
设ξ 在[-1，5]上服从均匀分布，求方程
x 2 x 1 0
2
有实根的概率。 解 方程有实数根
即
4 4 0
2
1 而 的密度函数为 f ( ) 6 0
F ( x)＝P{X x}
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x 1 1 x 2 x2
0.1 0.6 0.3
1
0
1
2
x
分布函数的性质
F(x)是单调非减函数
若 x1 x2
0≤ F(x) ≤1, 且
F ( x1 ) F ( x2 )
对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
概率密度函数
Probability density function p.d.f.
定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
P{a X b} f ( x)dx
X在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分
例：已知密度函数求分布函数
已知连续型随机变量X的概率密度为
1 1, 5 f ( x) 4 0 其它

求 X 的分布函数
y
解: 当 x<1 时
F ( x)
x


x
f ( x ) dx
0
1


0dx 0
x
1 2 3 4 5 x
（2）密度函数为
2x 0 x 1 f ( x) F ( x) 0 otherwise
均匀分布
Uniform Distribution
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
1 a xb f ( x) b a 0 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
P（a≤X<b）=P(X < b)-P(X<a)= F(b)- F(a)
一般地，对离散型随机变量
X～P{X= xk}＝pk, k＝1, 2, … 其分布函数为
F ( x) P{X x} pi
xi x
例1 设随机变量X具分布律如右表 试求出X的分布函数。
解
X P
F ( x)
0
1
2
x
x
当1 x <5 时
F ( x)
f ( x)dx
x 1

f ( x)dx f ( x)dx
1
0
1 1 dx ( x 1) 4 4
当 x 5 时 F ( x )

x

f ( x)dx
5 x 1 5

所以
1
Βιβλιοθήκη Baidu
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 0
所求概率为 P{ 1}
1
1
(1 5) 其它
5 1
f ( )d
2 f ( )d 3
指数分布 Exponential Distribution
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
e x x 0 f ( x) ( 0为常数） x0 0