下面是求无向连同图最小生成树的一种算法

定理 2： 设 C 为任意一个圈，e’是圈中权最大的边，那么 G-{e’}中的 MST 也是 G 中的 MST。 证明： 设 T 为 G 的任意一棵 MST。如果 e’∈T，那么我们来证明可以构造出一个 MST 为 T’使 w(T)=w(T’)，并且 e’不属于 T’。 因为 T 是 MST，那么 T-{e’}分成两个连通分支 G1,G2 设集合 S={ e | e∈G 且 e 的两端分别连接 G1 中的某个顶点和 G2 中的某个顶点} (1) e’为 S 中权最小的元素。 反证法：拿一个比 e’小的元素替换 e’，得到一个更小的生成树，矛盾。 (2) 圈 C 中，除了 e’,至少还有一条边 e’’∈S 设 e’连接的两个顶点为 A,B。从 C 中去掉 e’后，A,B 之间还有一条路径 p,不妨设 A∈G1,B ∈G2ห้องสมุดไป่ตู้所以，C 中至少有一条边连接 G1,G2。 (3) W(e’’)<=W(e’) W 表示权 因为 e’是圈中权最大的边 于是由(1)(2)，得到 W(e’’)>=W(e’)。再由(3)，得到 W(e’’)=W(e)。 于是，构造一棵树 T’=T-{e’}+{e’’}。显然，W(T’)=W(T)，所以，T’是 G 的最小生成树，并 且并且 e’不属于 T’。
如果图 G 具有唯一最小支撑树，返回 true,否则返回 false.
算法：先求出一棵 MST,设为 T。 然后依次在 G 中去掉 T 的边 ei,对于每个图 G-{ei}。求出它的 MST 的权和 Wi 如果所有的 Wi 都大于 W(T)，那么 G 的 MST 是唯一的，否则不唯一。 算法时间复杂度为 O(V^3) double SumOfWeight(Edge* T) {
double W=0; foreach (Edge e in T) {
W+=e.Weight; } return W; } //求一棵树的权和
bool uniqueMST(Graph &G) {
Edge* MST,TEMP; Prim(G,0,MST); //求一棵MST double W=SumOfWeight(MST),_W; //求MST的权和 foreach (Edge e in MST) {
if (G.Color[G.ToVertices(e)]==CL) return false; } return true; }
bool dfs(Graph& G,int V,bool CL) {
G.Mark[V]=VISITED; G.Color[V]=CL; for (Edge e=G.FirstEdge(V);G.IsEdge(e);e=G.NextEdge(e)) {
if (G.Mark[G.ToVertices(e)]==UNVISITED) if (dfs(G,G.ToVertices(e),!CL)==false) return false;
由定理（1）(2)，每删去一条边后的 G-{e}的 MST 和原来的图 G 的 MST 权重相同。得证。
7.2 唯一最小支撑树 设计一个程序，判断给定无向连通图 G 是否存在唯一一棵最小支撑树。允许直接
调用 Prim 或 Kruskal 的最小支撑树算法。函数原型为: bool uniqueMST(Graph &G)
6.19 下面是求无向连同图最小生成树的一种算法 将图中所有边按权从大到小排序后为（e1,e2….em） i=1; while (所剩边数>顶点数） { 从图中删去 ei 如果图不连通，则恢复 ei I++ } 证明这个算法是正确的。
证明：
定理 1： 如果一条边 e 被删去了并且没有被恢复，那么被删去之前 e 一定在某一个环里，并且在这个 环中 e 的权最大。 证明： 设 e 被删之前的图为 G。 如果 e 被删去，并且没有被恢复，说明 e 被删除后图 G-{e}还是连通的。设 e 连接的两个顶 点为 A,B。那么 G-{e}中存在 A 到 B 的通路 p。于是在 G 中，p+{e}构成一个环。 显然，图 G 中，边的集合 p+{e}中任何一条边被删除都不会破坏 G 的连通性。因此，按照 已知条件，被删除的边 e 一定是 p+{e}中权值最大的一条边。
G.DeleteEdge(e); Prim(G,0,TEMP); _W=SumOfWeight(TEMP); if (_W==W) return false; G.AddEdge(e); } return true; }
思考题： 6.10 二分图:
二分图
非二分图
(2)判断一个连通图是否为二分图
算法：用 DFS,访问时用两种颜色标记结点。相邻的结点用不同的颜色。如果发现一个可以 到达的结点与当前结点同色，就不是二分图，否则是