2015中考夺分自主复习课件_第17讲等腰三角形(共39张PPT)

第17讲┃ 等腰三角形
【归纳总结】
等腰三角形的判定： (1)有两条边相等的三角形是________ 等腰 三角形； (2)等角对________ 等边 ．
第17讲┃ 等腰三角形
考点5
等边三角形
1．边长为 6 cm 的等边三角形中，其一边上高的长度 3 3 cm ___． 为_____ 2．如图 17－5，已知△ABC 是等边三角形，点 B，C， D， E 在同一直线上，且 CG＝ CD， DF ＝ DE ，则∠E ＝ ________ 15 度．
第17讲┃ 等腰三角形
[中考点金]
等腰三角形的性质定理和判定定理是将边角关系进行 相互转化的重要依据，在解题时，应按条件由角得边的关系 或由边得角的关系，或者由对称得边、角关系，从而找出解 答问题的方法．
第17讲┃ 等腰三角形
变式题 如图 17－9，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°. (1)求∠DAC 的度数； (2)求证：DC＝AB.
第17讲┃ 等腰三角形
9．如图 17－16，△ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上 一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E，A 在直线 DC 的同侧，连接 AE. 求证：AE∥BC.
图 17－16
第17讲┃ 等腰三角形
证明：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°. ∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC 和△EAC 中， BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC， ∴△DBC≌△EAC(SAS)， ∴∠DBC＝∠EAC. 又∵∠DBC＝∠ACB＝60°， ∴∠ACB＝∠EAC. ∴AE∥BC.
图 17－13 [解析] ∵在△ABC 中，AB＝AC， ∴△ABC 是等腰三角形． 又∵AD⊥BC 于点 D，∴BD＝CD. ∵AB＝6，CD＝4， ∴△ABC 的周长＝6＋4＋4＋6＝20.
第17讲┃ 等腰三角形
7．[2014· 襄阳] 如图 17－14，在△ABC 中，点 D，E 分 别在边 AC， AB 上， BD 与 CE 交于点 O， 给出下列三个条件： ①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中， 由哪两个条件可以判定△ABC 是等 腰三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
第17讲┃ 等腰三角形
探究二 等腰三角形与角平分线或线段垂直平分线的综合计算
例 2 如图 17－6，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， AB 的垂直平分线交 AC 于点 E， 垂足为 D， 连接 BE， 则∠EBC 的度数为________ °. 36
图 17－6
第17讲┃ 等腰三角形
[中考点金]
第17讲┃ 等腰三角形
考点2
线段垂直平分线的性质和判定
1．若点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PA＝7，则 PB＝ 7 ________ ． 2．如图 17－3 所示，用两根钢索加固直立的电线杆 AD， 若要使钢索 AB 与 AC 的长度相等，则需要 BD＝DC，理由是 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ___________ _______．
第17讲
等腰三角形
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 角平分线的性质和判定 1．如图 17－1，点 D 在 BC 上，DE⊥AB，DF⊥AC，且 DE＝DF，则线段 AD 是△ABC 的 ( B )
A．高 C．垂直平分线
图 17－1 B．角平分线 D．中线 第17讲┃ 等腰三角形
2 ．若 AD 平分角∠BAC ，则∠BAC ＝ 2________ ∠BAD ＝ 2________ ∠CAD ． 3．如图 17－2，在△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的 平分线交 BC 于点 D，若 CD＝4，则点 D 到 AB 的距离是 ________ ． 4
第17讲┃ 等腰三角形
【归纳总结】
1．等腰三角形的两腰________ 相等 ． 相等 ． 2．等腰三角形的两底角________ 3．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上 的高互相重合，简称“______________” ． 三线合一 4．等腰三角形是________ 对称图形． 轴
第17讲┃ 等腰三角形
图 17－12 A．70° B．65° C．60° D．55° 5．[2014· 扬州] 若等腰三角形的两条边长分别为 7 cm 35 和 14 cm，则它的周长为________cm.
第17讲┃ 等腰三角形
6．[2014· 丽水] 如图 17－13，在△ABC 中，AB＝AC， AD⊥BC 于点 D，若 AB＝6，CD＝4，则△ABC 的周长是 ________ 20 ．
图 17－2
第17讲┃ 等腰三角形
【归纳总结】
角平分线的性质和判定 1 性 (1)若 OC 平分∠AOB， ∠BOC 则∠AOC＝__ __＝ ∠ __ __； 2 AOB 质 相等 (2)角平分线上的点到角两边的距离______ 判 角平分线上 角的内部到角的两边距离相等的点在________ 定
图 17－3
第17讲┃ 等腰三角形
【归纳总结】
线段垂直平分线的性质和判定 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距 性质 相等 离________ 到一条线段两个端点的距离相等的点， 在这条线段 判定 垂直平分线 的____________________ 上
第17讲┃ 等腰三角形
考点3
等腰三角形的性质
第17讲┃ 等腰三角形
3．如图 17－11，在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，点 E，F 是 AD 上的两点，则图中阴影部分 的面积是 ( C )
图 17－11 A．4 3 B．3 3 C．2 3 D. 3
第17讲┃ 等腰三角形
4．[2014· 金华] 如图 17－12，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°，得到△A′B′C，连接 AA′，若∠1＝20°， 则∠B 的度数是 ( B )
三角形中出现线段垂直平分线时，可得到等腰三角 形；等腰三角形与角平分线结合时常利用“三线合一”的 性质解题．
第17讲┃ 等腰三角形
变式题 如图 17－7，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC 的平分线交 BC 边于点 D， AB ＝ 5 ， BC ＝ 6 ，则 AD＝ 4 ________ ．
图 17－7
图 17－5
第17讲┃ 等腰三角形
【归纳总结】
等边三角形的性质与判定 (1)等边三角形的三边都________ 相等 ； 性 (2)等边三角形的三个角都等于________ 60° ； 质 (3)等边三角形有________ 条对称轴 3 (1)三边都相等的三角形是等边三角形； 判 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； 定 60° 的等腰三角形是等边三角形 (3)有一个角是________
[解析] 由等腰三角形“三线合一”的性质，知 AD 垂 直平分 BC，所以 BD＝3，且△ABD 为直角三角形，由勾 股定理得 AD＝ AB2－BD2＝ 52－32＝4.故答案为 4.
第17讲┃ 等腰三角形
探究三 等腰三角形性质与判定的综合应用
例 3 如图 17－8，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC. (1)求∠ECD 的度数； (2)若 CE＝5，求 BC 长．
图 17－9
第17讲┃ 等腰三角形
解：(1)∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°， ∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°. ∵∠DAB＝45°， ∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°. (2)证明：∵∠DAB＝45°，∠B＝30°， ∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°， ∴∠DAC＝∠ADC， ∴DC＝AC， ∴DC＝AB.
考点4
等腰三角形的判定
1．如图 17－4，在△ABC 中，∠B＝∠C，AB＝5，则 AC 的长为 ( D )
A．2
B．3
图 17－4 C．4 D．5
第17讲┃ 等腰三角形
2． 下列条件中， 不能判定 △ABC 为等腰三角形的是( C ) ．．．． A．∠A＝70°，∠B＝55° B．AB＝AC＝2，BC＝3 C．AB＝3，BC＝7，周长为 15 1 D．∠B＋ ∠C＝90° 2
1．已知等腰三角形的一个底角为 80°，则这个等腰三角 形的顶角为 ( A ) A．20° B．40° C．50° D．80° 2．等腰三角形的两条边长分别为 5 cm 和 6 cm，则它的周 长是__________ __． 16 cm或17 cm 3．在△ABC 中，AB＝AC＝10 cm，底边 BC＝12 cm，则 △ABC 的角平分线 AD 的长是________ cm. 8
第17讲┃ 等腰三角形
【知识树】
第17讲┃ 等腰三角形
┃考向互动探究与方法归纳┃
探究一 等腰三角形边或角计算中的分类讨论
例 1 等腰三角形的周长为 14，其一边长为 4，那么它 的底边长为________ 4或6 ．
[解析] 由题知，4 可能为底边，也可能为腰，故要分两 种情况讨论． 当 4 为腰时，则底边长为 14－4－4＝6，故三边长分别 为 4，4，6，符合三角形三边关系，故底边长为 6； 14－4 当 4 为底边时，则腰长为 ＝5，故三边长分别为 5， 2 5，4，符合三角形三边关系，故底长为 4. 所以它的底边长为 4 或 6. 第17讲┃ 等腰三角形
图 17－8
第17讲┃ 等腰三角形
[解析 ] (1)根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形 的性质或全等三角形的判定与性质直接计算． (2)利用(1)中计算结果和“等边对等角”“三角形的 一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”“等角对等 边”直接计算． 解：(1)解法一：∵DE 垂直平分 AC， ∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°. 解法二：∵DE 垂直平分 AC， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90°. 又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE， ∴∠ECD＝∠A＝36°. 第17讲┃ 等腰三角形
[中考点金]
等腰三角形的边、 角从度量上可分为两类： 腰与底边， 顶角与底角． 在题目条件中若出现有关等腰三角形边或角 的已知条件，应按以上情况进行分类讨论．
第1源自文库讲┃ 等腰三角形
变式题 已知等腰三角形的一个内角为 70°， 则另外两 个内角为 ( C ) A．70°，40° B．55°，55° C．70°，40°或 55°，55° D．以上都不对
第17讲┃ 等腰三角形
┃考题自主训练与名师预测┃
1．[2014· 盐城] 若等腰三角形的顶角为 40°，则它的底 角度数为 ( D ) A．40° B．50° C．60° D．70°
第17讲┃ 等腰三角形
2．把一张对边平行的纸条按如图 17－10 所示折叠，则 重叠部分是 ( B )
图 17－10 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定
图 17－14 第17讲┃ 等腰三角形
解：(1)①②；①③. (2)选择①②证明如下： 在△BOE 和△COD 中， ∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD， ∴△BOE≌△COD， ∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EOB＋∠OBC＝∠DOC＋∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 故△ABC 是等腰三角形．
(2)解法一：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°. ∵∠ECD＝36°， ∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°， ∴∠BEC＝72°＝∠B.∴BC＝EC＝5. 解法二：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°. ∵∠ECD＝36°， ∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°. ∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5.
第17讲┃ 等腰三角形
8．[2014· 菏泽] 如图 17－15，在△ABC 中，AD 平分 ∠BAC，BD⊥AD，垂足为 D，过点 D 作 DE∥AC，交 AB 于点 E，若 AB＝5，求线段 DE 的长．
图 17－15
第17讲┃ 等腰三角形
解：∵AD 平分∠BAC， ∴∠1＝∠2. ∵DE∥AC，∴∠2＝∠ADE. ∴∠1＝∠ADE. ∴AE＝DE. ∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°， ∴∠1＋∠ABD＝90°，∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠BDE. 1 5 ∴DE＝BE＝AE＝ AB＝ . 2 2