线性代数二次型讲义 ppt

ax2+2bxy+cy2=f
(1)
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于 研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把 方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程
a'x'2+c'y'2=f
(2)
在二次曲面的研究中也有类似的问题.
-
4
考察：方程
13x210xy13y21 72 72 72
而
(C TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC ,
所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型,
性及其判别法。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用
“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；
对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用
“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来
表述。
-
3
二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的有心二 次曲线, 当中心与坐标原点重合时, 其一般方程是
通识教育平台数学课程系列教材
-
1
第一节 二次型及其标准形 第二节 正交变换法化二次型为标准形 第三节 化二次型为标准形的其他方法 第四节 二次型的分类 第五节 二次型在直角坐标系下的分类
-
2
本章学习要求：
• 1．了解二次型及其矩阵表示。 • 2．会用正交变换法化二次型为标准形。知道化
二次型为标准形的配方法。 • 3．知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定
三元实二 次型 f
一一对应 三阶实对称矩阵 A
-
第七章 二次型与二次8曲面
上一页
例 1写f出 x22y25z22xy 6y z2x的 z 矩 A. 阵
并用矩阵f.形式表示
解
11 1
例 2 A 1 2 3 ,
1 3 5
1 1 1 x f (x,y,z) 1 2 3 y.
1 3 5 z
-
第七章 二次型与二次9曲面
并 用 矩 阵f形 . 式 表 示
解
11 0
例2 A 1 3
3 2
,
0
3 2
4
11 0
f (x, y, z) 1 3 3 2
034 2Hale Waihona Puke Baidu
-
x y. z
第七章 二次型与二次11曲面
上一页
练习
若二次型 f 的矩阵为 1 1 2
A 1 2 0
试写出 f .
2
0
3
例解2
1 1 2x
f (x,y,z)1 2 0 y
2a23yz = a23yz + a32zy . f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz
+ a31zx + a32zy + a33z2
= x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z)
+ z (a31x + a32y + a33z)
-
6
§1、二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示
定义 二次齐次多项式
f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数.
取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 , 从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx ,
-
第七章 二次型与二次7曲面
§1、二次型及其标准形
a11xa12ya13z
a11 a12 a13 x
(x,y,z)a21xa22ya23z(x,y,z)a21 a22 a23 y
a31xa32ya33z
a31 a32 a33 z
= XT AX .
A
X
称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵.
2
0
3 z
x22 y23 z22 x y22 x.z
-
第七章 二次型与二次12曲面
§1、二次型及其标准形 n 元二次型及其矩阵表示
定义1
称 n 元实二次齐次式
f( x 1 ,x 2 , ,x n ) a 1 x 1 2 1 2 a 1 x 1 x 2 2 2 a 1 n x 1 x n a2x 22 22a2nx2xn ann xn2
n 元标准二次型 f
n 阶对角 矩 阵
-
第七章 二次型与二次14曲面
§1、二次型及其标准形 二、矩阵间的合同关系
思考：二次型 f = X TAX 经过满秩线性变换 X = CY 后 还是二次型吗?
对于二次型 f = X TAX ，作满秩变换 X = CY ,
则
f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y .
-
第七章 二次型与二次13曲面
注: ① 由于aij = aji , 所以 A T= A , ② A中 aii 是 xi2 的系数, aij 是交叉项 xixj 系数的一半. n 元实二次型 f 一一对应 n 阶实对称矩阵 A
定义2
n
称只含平方项的二次型 f i xi2
为标准二次型.
i1
一一对应
表示 x y 平面上一条怎样的曲线？图形如何？
将 x y 坐标系逆时针旋转π/4，即令
x
y
2u 2 2u 2
2 v, 2 2 v, 2
则得此曲线在新的 u v 坐标系下的方程
u2 v2 1. 49
-
5
上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子 中的交叉项，使之成为标准方程.
而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换. 综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变 换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项 式. 二次型就是二次齐次多项式.
为 n 元实二次型.
nn
n
记 aij = aji, 则 f(x1,x2,,xn)
aijxixj (或 aijxi xj )
i1 j1
i, j1
记 X = ( x1, x2, …, xn)T, A =( aij )nn , 则
f ( x1, x2, …, xn) = X TAX ,
其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次型的秩.
上一页
例2
若二次型 f 的矩阵为
1
1
A 1 0
2 1
2
试写出 f .
2
1 2
2
例解2
1
f (x, y, z) 1
2
1 0 1
2 1
2
2
x y z
2
x22y22x y4x zy.z
-
第七章 二次型与二次10曲面
上一页
练习 写 出 f x23y24z22xy3y的 z 矩 A. 阵