第三讲：三角形一边的平行线判定定理教学内容

第三讲：三角形一边的平行线判定定理

第三讲：三角形一边的平行线判定定理

一、知识要点：

1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 数学表达：

如图，直线DE 截△ABC 得两边AB 、AC ， 若①

AD AE DB EC =,②AD AE AB AC =,③BD EC

AB AC

=

中之一为已知条件，则DE ∥BC E

D C

B

A

2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 数学表达：

若点D 、E 分别在射线AB 、AC 上，如图（1）或分别在他们的方向延长线上如图（2），且具备上述条件①、②、③之一，则D E ∥BC.

E

D

C

B

A

E

D

C B A

牛刀小试：

1、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边

AB 、AC

E

D

C

B

A

上。判断在下列条件下能否推出D E ∥BC,为什么？

（1）

2

3

AD DB =,AE=2，AC=3 （2）25AD AB =,25DE BC =

（3）23AD DB =,53

AC CE =

2、△ABC 中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么能推出D E ∥BC 的条件是（ ）

A 、

AB 3=AD 2,EC 1=AE 2 B 、AD 2=AB 3,DE 2

=BC 3 C 、AD 2=DB 3,CE 2=AE 3 D 、AD 3=AB 4,AE 3=EC 4

二、典型例题

例1、如图EF ∥BC ，

3

1

=AC AF ，BF=4，FD=2，求证：EF ∥AD A D

E F

B C

例2、如图所示，M 为AB 的中点，EF ∥AB,连接EM 、FM ，分别交AF 、BE 于点C 、D ，连接CD 。 求证：CD ∥AB.

分析：判定两直线平行的方法一般有四种：（1）通过“三线八角”的相等或互补判定两直线平行；（2）通过三角形、梯形中位线定理判定两直线平行；（3）通过平行四边形的判定间接证平行；（4）通过比例线段证平行。

本题运用第（4）种方法，因为它包含了比例线段的几种基本图形。

O

F

E

D C

B

A

2，求证：NB∥MA

例3、如图，已知MB∥ND，PA

=

PB•

PD

M

N

A B D P

例4、作图题：已知线段a、b、c求作线段x，使a：b=c：x

a

b

c

扩展训练：

例5、如图△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，DEFG为平行四边形，连BG、CF且分别延长交于H，连AH，求证：AH∥DG

A

D E

B C

G F

H

A

D E

H

G F

B

三、课堂练习

一、选择题： 1、

如图在ΔABC 中，DE 与AB 、AC 交于D 、E ，由以下比例式能判定

DE//BC 的是( ) （A ）AC AE AB AD = （B ）BC DE AB AD = （C ）AE AD EC BD = （D ）AE

BD

EC AD =

2、

如图，四边形ABCD 中，取AD 边上一点E ，连结BE 并延长交CD 的延

长线于F ，由以下比例式能判定FC//AB 的是（ ） （A ）AE DE AB FD = （B ）FB FE FC FD = （C ）DE AD FE FB = （D ）EA

ED

EB EF =

3、如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，则AG:GD 等于（ ） A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3

4、已知线段a 、b 、c 求作线段x ，使

b

ac

x =

，以下作法正确的是（ ） b b a a

a a

b x

c x x c c x

b c A B C D

5、如图，O 是△ABC 内一点，D 、E 、F 分别在AB 、AO 、AC 上，如果DE ∥BO ，

G F

E

D

C

B

A

DF∥BC，求证：EF∥OC

A

E

D F

O

B C

6、如图，G为四边形ABCD的对角线BD上一点，E、F分别是AB、BC上的点，满足EG//AD，FG//CD。求证：

作业：

1、如图，在△ABC 中，如果D E ∥BC ，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且

BD=

2

5AB ，那么DE:BC 的比值为（ ） A 、27 B 、38 C 、25

D 、35

E

D

C

B A

G

F

E D

C

B

A

2、如图，DE ∥FG ∥BC ，如果AD:DF:FB=1:2:3,那么DE:FG:BC 等于（ ） A 、1:2:3 B 、1:3:6 C 、1:9:36 D 、1:8:27

3、已知a

bc

x =

,求作x,则下列作图正确的是（ ） A

x

c b

a B x

c

b

a

C

x

c

b

a D

x c b

a

4、如图已知EG ∥BC ，F 为EG 上任意一点，AF 延长线交BC 于D ，求证：

DC

BD

FG EF =

A

E F G

B D C

5、如图已知DE ∥BC ，求证PG ：PB=PH ：PC A

D Q E

P

B G H C