大学物理下经典计算题

d R x P dB
I
0 dI 0 I d dB 2R 2R
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5
dI
I
d
2 由于电流对称分布，P的磁感强度沿x轴方向。大小
B dBx sin dB 0 I d 0 I 0 sin 2 2R R
a l cos 30
d m i dt
da dt
0 I 3 3l 3l [ln(1 ) ] 3 2 a 2 a
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完 21
9
9． 如图所示，无限长直导线AB中电流为i，矩形导 线框abcd与长直导线共面，且ad//AB，dc边固定，ab 边沿da及cb以速度无摩擦地匀速平动，设线框自感忽 略不计，t=0时，ab边与dc边重合。(1)如i=I0，I0为常 量，求ab中的感应电动势，ab两点哪点电势高？ (2)如i=I0cost，求线框中的总感应电动势。
6
6
2 1
通过矩形的总磁通量
2.2 10 (Wb)
6
完
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12
5
5．在半径为R的无限长金属圆柱体内部挖去一半径为 r的无限长圆柱体，两柱体的轴线平行，相距为d，如 图所示。今有电流沿空心柱体的轴线方向流动，电流 I均匀分布在空心柱体的截面上。分别求圆柱轴线上 和空心部分轴线上O、O点的磁感应强度大小；
4 107 5 2 0.01
6.37 10 (T)
完
5
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6
3
3．一个塑料圆盘，半径为R，电荷q均匀分布于表面， 圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为。求 圆盘中心处的磁感应强度。
解：在圆盘上取半径为r、宽度为 dr的同心圆环，其带电量
dr
r
R
q dq 2 2rdr R
解：导线受重力和磁场力 磁场力的力矩
O
M F Fl 2 cos BIl1l2 cos
l2
O
BIl cos
2

I F l1 mg
16
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6
重力的力矩
M mg
1 Sl1 g l2 sin 2 Sl 2 g l2 sin 2 2 2 Sl g sin
解：(1)
2 1 1 Bl1 2 1 4 8(V) O O
A
1 2





C
D
方向A→B
B

25
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10
2 Bl 2 2 1 2 4(V)
方向C→D
(2)
84 I 0.5(A) 2R 2 4 U AB 1 IR 8 0.5 4 6(V) C A U CD U AB 6(V) 2 1 O O
b
I
y
M
b
x
o
y dy
b/2
N
I dI dy b
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1
1 (1)电流元在M点的磁感强度大小
dB
2 (1.5b y ) 0 I dy 2 (1.5b y )b
方向如图所示
0 dI
b
I
y dB
b
x
M
o
y dy
N
M点的磁感强度沿负x方向,大小
b/2 b 0 I 0 I B dB 2b dy ln 2 2 (1.5b y )b 2b 2
圆环的电流
q q 2rdr 2rdr 2 2 dq R q R dI 2 rdr dt T 2 / R
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7
3 圆环电流在环心的磁感强度大小
0 q 0q dB rd r dr 2 2 2r 2r R 2R
圆盘中心处的总磁感强度大小
1
1．宽为b的无限长平面导体薄板， 通过电流为I，电流沿板宽度方向均 匀分布，求 (1)在薄板平面内，离板的一边距离 为b的M点处的磁感应强度； (2)通过板的中线并与板面垂直的直 线上的一点N处的磁感应强度，N点 到板面的距离为x。 解：建立如图所示的坐标系，在导 体上平行于电流方向取宽度为dy窄 条作为电流元，其电流为
1 2
1 2


B


D

26
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10 (3)
1 1 1 U O1B 1 IR U AB 3(V) 2 2 2 1 U O 2B U CD 3(V) 2
U O1O 2 U O1B U O 2B 0(V)
2 1 O O
x
2 2
0 I
2 2
x y 2 b x y
dy
0 I b arctg b 2x
完
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4
2
2．在半径R=1cm的无限长半圆柱形金属薄片中，有 电流I=5A自下而上通过，如图所示，试求圆柱轴线上 y 一点P的磁感应强度。
解：建立如图所示的坐标 系，在导体上平行于电流 方向取宽度为d窄条作为 电流元
A
1 2




C
D

B

完 27
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11
11． 如图所示，在半径为R的无限长直圆柱形空间内， 存在磁感应强度为B的均匀磁场，B的方向平行于圆柱 轴线，在垂直于圆柱轴线的平面内有一根无限长直导 线 ， 直 导 线 与 圆 柱 轴 线 相 距 为 d ， 且 d>R ， 已 知 dB/dt=k，k为大于零的常量，求长直导线中的感应电 动势的大小和方向。 解：在垂直于圆柱轴线的无限 长直导线所在平面内作矩形回 路ABCD，AB与圆柱轴线相距 为d 。回路的感应电动势
0 I 0 l0 l1 (cost t sin t ) ln 2 l0
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完 24
10
10． 如图所示，AB和CD为两根金属棒，长度l都是 1m，电阻R都是4，放置在均匀磁场中，已知磁场的 磁感应强度B=2T，方向垂直于纸面向里。当两根金 属棒在导轨上分别以 1=4m/s和 2=2m/s的速度向左运 动时，忽略导轨的电阻，试求 (1)两金属棒中各自的动生电动势的大小和方向，并 在图上标出方向； (2)金属棒两端的电势差UAB和UCD； (3)金属棒中点O1和O2之间的电势差。
解：通过线圈abcd的磁通量
A
i
m S B dS S BdS
a


b
r dr l 2 d 0 i l0 l1 l 0 l1 0 i c l0 l 2 dr l2 ln B l0 l1 2r 2 l0
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22
9
ab
dl 2 d m dt dt d 0 I 0 l0 l1 ( l 2 ln ) dt 2 l0 0 I 0 l0 l1 ln 2 l0
R I
B
完
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19
8
8． 在纸面所在平面内有一根通有电流为I的无限长 直导线，其旁边有一个边长为l的等边三角形线圈 ACD，该线圈的AC边与长直导线距离最近且相互平 行，今使线圈ACD在纸面内以匀速远离长直导线运 动，且 与长直导线相垂直。求当线圈AC边与长直 导线相距为a时，线圈ACD内的动生电动势。
解：通过线圈ACD的磁通量
C dr r D m S B dS S BdS I l A dS 2[a l cos 30 r ]tg30 dr a
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20
8
0 I a 2[a l cos 30 r ]tg30 dr 2r 3 a l I 3 0 I 3 3 2 0 (a l ) ln 2 3 a 3
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2
1 (2)电流元在N点的磁感强度大小
dB
2 x y 0 I dy 2 2 2b x y
2 2
0 dI
b
I
y
M
b
o
y dy
N点的总磁感强度沿y轴方向，大小
dB x N
x B dB y 2 dB 2 x y
b/2
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3
1

b 2 b 2
R
BO B1O B2O
O
0 I 2 d 2 2 2d R r
d
O r
完
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15
6
6． 截面积为S、密度为 的铜导线被弯成正方形的 三边，可以绕水平轴OO转动，如图所示。导线放在 方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I时， 导线离开原来的竖直位置偏转一个角度 而平衡。求 磁 感 应 强 度 。 若 S=2mm2 ， =8.9g/cm3 ， =15º ， I=10A，磁感应强度大小为多少？
4 10 20 2 2 0.20
7
I1 r1
P l I2
r2
r3
4 10 (T)
方向垂直于板面向外。
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10
5
4
(2)在矩形面上，距离左边导线电 流为r处取长度为l宽度为dr的矩形 面元，电流I1激发的磁场，通过矩 形面元的磁通量
d
0 I1 d1 B1dS ld r 2r
1 d1 r1
7
I1
r
r1
P l I2 dr
r2
电流I1的磁场，通过矩形的磁通量
r1 r2
r3Байду номын сангаас
4 10 20 0.25 0.30 ln 2 0.10
0 I1l r1 r2 0 I1 ln ld r 2 r1 2r
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11
4
10 ln 3 1.1 10 (Wb)
解：(1)
M pm B
M pm B sin
1 2 I R B 2
R I
B
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18
7
1 2 10 0.1 0.5 2 0.0785(N m)
方向沿直径向上。
(2)
A I 1 2 I R B 2 1 2 10 0.1 0.5 2 0.0785(J)
0 dI
0 q 0q B dB 0 dr 2 2R 2R
R
磁感强度方向垂直于纸面
完
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8
4
4． 两平行长直导线相距d=40cm， 通过导线的电流I1=I2=20A，电流 流向如图所示。求 (1)两导线所在平面内与两导线等 距的一点P处的磁感应强度。 (2)通过图中斜线所示面积的磁通 量（r1=r3=10cm，l=25cm）。
2
由力矩平衡条件
BIl cos 2 Sl g sin 0 2 gS B tg I 3 6
2
O
l2
O 2 8.9 10 9.8 2 10 tg15 10

9.35 10 (T)
3
I F l1 mg
完 17
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7
7 ． 半 径 为 R=0.1m 的 半 圆 形 闭 合 线 圈 ， 载 有 电 流 I=10A，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行， 如图所示。已知B=0.5T，求 (1)线圈所受力矩的大小和方向(以直径为转轴)； (2)若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直 的位置，则力矩作功为多少？
解：(1)金属圆柱体挖去小圆柱前 在O、O处的磁感强度可由安培环 路定理求得
R
O
B1O 0 0 I1 0 I 0 I 2 2 B1O d d 2 2 2 2 2d 2d R r 2d R r
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13
d
O r
5 (2)挖去的小圆柱在O、O处的磁感强度可由安培环 路定理求得
d
I1 r1
P l I2
r2
r3
解：(1)两导线电流的P点激发的磁感强度分别为
B1
2 (r1 r )
1 2 2
0 I1
B2
2 (r3 1 r2 ) 2
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9
0 I 2
4 P点总磁感强度
d
B B1 B2 0 I1 2 2 (r1 1 r2 ) 2
感应电动势方向由b指向a，即a点为高电势。
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23
9 (2)
ab
d m dt d 0 i l0 l1 ( l2 ln ) dt 2 l0
0 i dl 2 l0 l1 0 di l0 l1 ln l 2 ln 2 dt l0 2 dt l0
0 I 2 0 I 2 B2O r 2 2 2d 2d R r 0 I 2 r 2 2 2d R r B2O 0
R
O
d
O r
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14
5 (3)金属圆柱体挖去小圆柱后在O、O处的磁感强度
BO B1O B2O 0 I 2 r 2 2 2d R r