函数的连续性与间断点

定义2
1 x sin , f (x) x 0,
1 x
x x0
lim
f (x) f ( x0 )
例 试证函数
x 0, x 0,
在x 0
处连续.
证
lim x sin
x 0
0,
又 f (0) 0,
lim f ( x ) f ( 0 ),
x 0
函数
4
函数的连续性与间断点
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x ) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证. 连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有 三个要素: (1) f (x)在 U (2) (3)
关于连续函数, 有一个对某些问题的推理 很有用的定理. 定理2
设 f ( x ) 在 x 0 连续 , 且 f ( x 0 ) 0 , 则存在
x0
的一个邻域, 使得在此邻域内
y
f (x)
f ( x0 ) 2
0.
f ( x0 )
f ( x0 ) 2
连续函数的图形
O
x0
x
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.
f ( x ) 在 x 0 处连续 .
8
函数的连续性与间断点
3. 左、右连续
若
x x0 0
lim
f ( x) f ( x0 )
f ( x0
0 ) f ( x 0 ) ,
则称 f ( x ) 在点 x 0 处
左连续(continuity from the
left);
若
x x0 0
x x0
无定义;
f ( x ) 不存在; f ( x ) f ( x 0 ).
( 3 ) lim
x x0
则称 x0为f ( x )的 间断点.
15
函数的连续性与间断点
间断点分为两类:
第一类间断点(discontinuity point of the first kind):
f ( x0 0 ) 及 f ( x0 0 ) 均存在,
特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以
一笔画成.
2
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 函数的增量 自变量 x 0 x , 称差 x
x0
x x0 为自变量在
的增量;函数随着从 f
x x0 x
y f ( x)
( x 0 ) f ( x ),
称差
y f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 为函数的
增量. 如图:
y
y
f ( x0 )y
y f ( x)
y
x
f ( x0 )
O
x
x0 x
x0
x
O
x0
x0 x
x
3
函数的连续性与间断点
2. 连续的定义 定义1 设函数 f (x)在 U
( x 0 ) 内有定义,
若
充分必要条件
x 0
lim y 0
则称函数f(x)在x0处 连续,并称x0为函数f(x)的 把极限与连续性联系起来了,且提 连续点. 供了连续函数求极限的简便方法—— 只需求出该点函数特定值. f ( x ), 设 x x x, y f ( x)
lim
f ( x) f ( x0 )
f ( x0
0 ) f ( x 0 ) ,
则称 f ( x ) 在点 x 0 处
右连续(continuity from the
y
right).
y
左连续
O
右连续
O
wk.baidu.comx0
x
x0
x
9
函数的连续性与间断点
定理1 函数 f ( x )在 x0 处连续
又右连续 . 函数 f ( x )在 x0处既左连续
为函数的 第一类 间断点.
O
且是可去间断点(removable discontinuity).
2 x , 则 f (x) 1 x , 0 x 1, x 1,
1
x
在x 1处连续.
20
函数的连续性与间断点
注
对可去间断点x0, 设 lim
x x0
f ( x ) A,
y
例 讨论函数
如果
lim f ( x ) f ( x 0 ), f ( x ) 在点 x xx00处的极限存在 ,
解 f (1 0 ) 2 ,
x1
f (1 0 ) 2 ,
2
f (1) lim f ( x ) 2 f (1), 2
1
y 2
x
x 1
x x0
lim
f ( x ) 不存在 ,
例
1 sin , 函数 f ( x ) x 0,
f ( x )在 x 0 处
x 0, x 0,
则称 x0为f ( x )的间断点 .
有定义, 但当
x 0 时 , sin
1 x
在
1 , 1 之间来回无穷次振荡, lim sin
x1
2 1
如补充定义:令
则 所给函数在
f (1) 2,
x 1处连续 .
O
1
x
所以 x 1 称为函数的可去间断点
.
22
函数的连续性与间断点
总结两类间断点: 第一类间断点: 跳跃型, 可去型 第二类间断点: 无穷型, 无穷次振荡型 极限与连续之间的关系: f(x)在x0点连续
2 x1

O

1
x
lim
x1

f ( x ) lim ( x 1 ) 2 f (1),
x1
所以 f ( x ) 在 x
故函数
1 左连续, 在 x 1 右不连续.
f ( x ) 在点 x 1 处不连续
.
11
函数的连续性与间断点
4. 连续函数(continous function)与连续区间 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间 上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. continuous 这时也称该区间为 连续区间.
1
sin
x
2

x
2
x
x 0
0
即
x 0
lim y 0 cos( x
x
2
) 1
即 函数 y sin x 对任意
x ( , ) 都是连续的.
类似可证, 是连续的.
函数 y cos x 在区间
( , ) 内
7
函数的连续性与间断点
y
f ( x ) 在 x 0 处 有定义,
lim ( x ) 0
x 0

lim ( 1 x ) 1
x 0

1
f ( 0 0 ) f ( 0 0 ),
O
x
故x
0 为f
(x)的第一类 间断点. 且是跳跃间断点.
f ( x0 0 ) 及 f ( x0 0 ) 均存在, 则点x0为
16
函数的连续性与间断点
f ( x ) 在点 x 0 处无定义
,
例
函数 f ( x )
1 x
,
则称 x0为f ( x )的间断点 .
0处
由于函数 f ( x ) 在 x 且
lim
x 0

无定义,
y
f ( x)
1 x
f ( x ) , lim f ( x )
x 0
6
函数的连续性与间断点
x 0
lim y 0
例 证
证明 函数 y sin x 在区间 ( , )内连续 .
任取 x ( , ),
y sin( x x ) sin x
2 sin x 2 cos( x x 2 ) 2
x
2
f ( x0
0) f ( x0 0) f ( x0 )
此定理常用于判定分段函数在分段点 处的连续性.
10
函数的连续性与间断点
例
讨论函数
x , f (x) x 1,
2
x 1, x 1,
y
在 x 1处的连续性
.
解
lim
x1

f ( x ) lim x 1 f (1),
第八节
函数的连续性 与间断点
函数的连续(continuity) 函数的间断点 (discontinuous point) 小结 思考题 作业
第一章 函数与极限
1
函数的连续性与间断点
在自然界中,许多事物的变化是连续的, 如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.时 间变化很小时,生物生长的也很少.这种现象 在函数关系上的反映就是函数的连续性. 在高等数学中,主要的研究对象就是连 续函数. 从直观上不妨这样说, 连续函数的
皆不存在. 故x
0 为f(x)的第二类 间断点.
O
x
且是无穷型间断点.
第二类间断点: f ( x 0 0 ), f ( x 0 0 ) 至少有 一个不存在. 若 f ( x 0 0 ), f ( x 0 0 ) 之中有
一个为 , 则 x x 0 称为无穷型间断点
.
17
函数的连续性与间断点
0 0
自变量在x0点的增量为无穷小时, 定义2 若 lim f ( x ) f ( x 0 ), 则称函数f(x)在x0处 函数的增量也为无穷小.形象地表示了 x x 连续性的特征. 连续.
0
x 采用了无穷小定义法 0 即为 f ( x ) f ( x ). 0 即为 x x , y 0 0
x x0
( x 0 ) 内有定义;
lim lim
f (x)
存在;
x x0
f (x) f ( x0 )
5
函数的连续性与间断点
注 由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性 是描述 f(x)在x0点邻域的性态的. 即它是对 某一邻域而言. 因此在孤立点处无连续可言.
一般讲,证明的命题用函数连续的定 义1方便; 判断函数在某点是否连续, 尤其 是判断分段函数在分界点处是否连续用 定义2方便.
如果 补充 或改变 x0的函数值, 使之等 于A, 则可使x0变为连续点. (这就是为什么将这种间断点称为 可去间断点的理由.)
21
函数的连续性与间断点
如
函数 y
x
2
1
x 1
在点 x 1 处没有定义
,
所以 , 函数在点
x 1 不连续 .
y
但
lim
x
2
1
x 1
x 1
lim x 1 2
13
函数的连续性与间断点
例如, 有理整函数(多项式)
P ( x ) a0 a1 x an x
x0 ( , ) , lim P ( x ) P ( x0 )
x x0
n
第五节中已证
因此有理整函数在 ( , ) 内是连续的. 有理分式函数
R( x ) P( x) Q( x )
f ( x ) 的第一类间断点. 但 f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ),
则点x0为函数 f(x) 的 跳跃型间断点(Jump discontinuity).
19
函数的连续性与间断点
x ) 在点 x 0 但 lim f ( x ) 则称0x0或 ff((x )的间断点 . f (x ) 为 2 x , x x x 1 , 0 0 为函数 处无定义, 则称点 x 处的连续性f ( x. )的 0 f ( x ) 1, 在x 1 x 1 可去间断点. 1 x , f (1 ) 1 x 1, y 1 x
若 若
称 x0为可去间断点.
f ( x0 0) ,称 x0为跳跃间断点.
第二类间断点(discontinuity point of the second kind): f ( x0 0 ) 及 f ( x0 0 ) 中至少一个不存在. 若其中有一个为 , 称 x0为无穷间断点. 若其中有一个为振荡,称 x0为振荡间断点.
x 0
1 x
不存在,
y sin 1 x
故x
0 为f
(x)的第二类 间断点.
y
且是无穷次振荡型间断点.
O
x
18
函数的连续性与间断点
x x0
lim
f ( x ) 不存在 ,
例
x, 函数 f ( x ) 1 x ,
x 0, x 0,
则称 x0为f ( x )的间断点 .
f ( x ) 在开区间 ( a , b )
内连续
( lim
x a

f ( x ) C (a , b )
左端点 x a 右连续
f ( x ) f ( a ))
右端点 x
b 左连续 ( lim
x b

f ( x ) f ( b ))
f ( x ) C [a , b ]
12
函数的连续性与间断点
只要 Q( x0 ) 0 , 都有 lim R( x ) R( x0 )
x x0
因此有理分式函数在其定义域内的每一点 都是连续的.
14
函数的连续性与间断点
二、函数的间断点及其分类
定义4 若f ( x )在x0处 出现如下三种情形之一:
( 1 ) f ( x ) 在点 x 0 处
( 2 ) lim