高等数学课件D842空间直线

L //
sn0
m A n B p C 0
夹角公式： sin s n
sn
L
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练习1.
平面π：
L2:xxy2z200
i jk
直线 的方向向量为 s2 1 1 0 (2,2,1)
二直线夹角 的余弦为
10 2
cos 1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 )
12(4)212 22(2)2(1)2
从而
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2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直
设直线 L1 , L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
cos s1s2
s1 s2
L1
s1
L2
s2
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m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2
m12n12p12 m 22n22p22
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特别有:
(1) L1L2
s1s2
m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0
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3. 平面束方程
通过一直线的所有平面的集合叫做平面束。 设直线L的方程
A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0
建立一个一次方程： A 1xB 1yC 1zD 1 其中λ为任意常数。
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例4. 求通过直线 L2:xy2y2z2z110600的平面方程。
例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
y z 2 ,得 y 3z 6
y0,z2
是直线上一点 .
再求直线的方向向量 s .
交已知直线的两平面的法向量为
s n 1 ,s n 2 sn1n2
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i jk
第四节 平面与直线
第八章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
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一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0
平面的一般方程是不唯一的。
z
1 L
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(2) L1//L2
s1 //s2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
(3) L1,L2共面 x2 x1 m1 m2
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P 1P 2(s1s2)0 y2 y1 z2 z1
P1L1 P2L2
n1
p1 0
n2
p2
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例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线 的方向向量为
sn1n2 1 1 1 (4,1,3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
t
4 1
参数式方程为
解题思路: 先找直线上一点;
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再找直线的方向向量.
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二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
x
o
2 y
2
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2. 对称式方程
已知直线上一点 M 0(x0,y0,z0)和它的方向向量
设直线上的动点为 M(x,y,z)
s
则
M(x,y,z)
故有
x x0 y y0 z z0
m
n
p
M0(x0,y0,z0)
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)
说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.可以记为： xx0 yy0 zz0 0np
特别有: (1)L
(2)L//
s//n sn
ABC mn p A m B n C p 0
例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面
垂
直的直线方程.
解: 取已知平面的法向量 n(2,3,1)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
x1 y2 z 4 2 3 1
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参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 pt
(m 2n2p20)
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2. 线与线的关系
直线 L1： xm 1x1y n1y1z p1z1, 直线 L2： xm 2 x2y n2y2z p2 z2,
L1 L2
s1s20
L1 //L2
s1s20
夹角公式: cos s1s2
s1 s2
m1 n1 p1 m2 n2 p2
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3. 面与线间的关系
平面 : A x B y C z D 0 ,n(A,B,C)
直线 L : xxyyzz, s(m ,n,p) mn p
L⊥
sn0
m n p ABC
{2,2,1}
因为平面π与 平行 ，则有
,故有
( 2 )5 ( ) 2 1 1 0解得λ=-8
Leabharlann Baidu
于是平面的方程为：
即
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内容小结
1. 空间直线方程
一般式 A A 21xx B B2 1y y C C1 2zz D D 1200
对称式
解: 将 化为一般式：
且平行于直线
因为平面π过直线 ,故平面π的方程可以设为
( 5 x y 1 ) 3 (x z 1 ) 0
其法矢量 n(5,1,)其中λ待定常数.
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直线 的方向矢量为：
x2y2z160
L 2: y2z100
n (5 ,1 ,)
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面垂直时,规定其夹角 设直线 L 的方向向量为 s(m ,n,p)
平面 的法向量为 n(A,B,C) 则直线与平面夹角 满足
s in co s︿,s n )(
ns L
sn sn
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AmBnCp
m 2n2p2 A2B2C2
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特别,
当m0,n,p0时 ,直线方程为
x y
x0 y0
n
z z0 p
当 m n0,p0时 ,直线方程为
x y
x0 y0
3. 参数式方程
设 xx0yy0zz0t mn p
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xx0mt yy0nt zz0pt
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