下篇 结构力学部分 第19章 超静定拱的计算ppt课件
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第十九章 超静定拱的计算
知识目标：
●了解超静定拱在工程上的应用和受力特点 ●掌握两铰拱的计算方法 ●掌握计算对称无铰拱的弹性中心法的基本原理 ●了解温度改变、混凝土收缩和支座移动对无铰拱的影响
能力目标：
●能熟练运用弹性中心法计算两铰拱及无铰拱的内力
.
1
第十九章
第一节
两铰拱的计算
第二节
无铰拱的计算
第三节 温度改变和混凝土收缩对无铰拱的影响
代入后得：1 22 1M E 1M 2I d s E ydI s (y 1 ys)E d s I
由上式可见，当多余未知力放在拱顶截面C的中心时，
δ12是不可能等于零的。必须将多余未知力的作用点移动一下 位置，即把它从C点沿y轴向下移动一段距离，使得有正、负
不同的两个区间，而仍保持符号不变，这样才有可能使得积
第四节
支座移动对无铰拱的影响
.
2
第一节 两铰拱的计算
.
3
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第一节 两铰拱的计算
两铰拱是一次超静定结构，如图19-1（a）所示，通常有
带拉杆（系杆拱）和不带拉杆两种形式。因为两铰拱的支座
发生竖向位移时并不引起内力，所以宜在地基可能发生较大
的不均匀沉陷时采用。两铰拱的弯矩在两端拱趾处为零逐渐
向拱顶增大，所以其截面一般亦相应设计为由拱趾向拱顶逐
渐增大的形式。通常采用的变化规律为：
I=ICcos
（19-1）
计算两铰拱时，通常采用如图19-1（b）所示简支曲梁为
基本结构，以支座的推力为基本未知量,如图19-1（c）所示。
又因基本结构在X1=1作用下，如图19-1（d）、（e）所示， 由力法典型方程可得：
1 2
1P 2P
0 0
33 X 3 3P 0
于是，多余未知力可按下式求解:
（19-5）
X1=-Δ1P/δ11 ，X2= -Δ2P/δ22.，X 3=-Δ3P/δ33 (19-6)
11
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一、弹性中心法
图19-5
.
图19-6
12
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二、系数和自由项的简化
由于杆是曲杆，在计算系数和自由项时，应考虑曲 率对变形的影响，但计算结果表明这种影响一般很小。 因此，仍采用直杆的位移计算公式来求解系数和自由项。 对于多数情况，通常可忽略轴向变形和剪切变形的影响。
弹性性质EI有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为弹
性中心。由于y轴是对称轴，故知x、y是弹性面积的一对形
心主轴。由此可见，把刚臂端点引到弹性中心上，且将X2、
X3置于主轴方向上，就可以使得全部副系数都等于零。这一 方法就称为弹性中心法。此时典型方程将进一步简化为以下
三个独立方程式:
2121
X X
（2）当拱比较平时，可近似地， 取ds=dx，cos=1。因此，简化后
的位移公式为
11
1 EI
l 0
y2dx
1P
1 l EI0
yM0dx
计算得：11E1I0l4l2f x(lx)2dx1 Ef6 4 2 I0 ll(l2x22lx 3x4)d x1 8fE 5 2l I
计算Δ1P时，先绘制简支梁的弯矩M0图如图19-2(b)所示，其弯矩 方程分两段表示如下：
ds
X1
1P
11
yMP I
y2 ds co2sds
. I
A
4
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第一节 两铰拱的计算
求得了推力X1后，其它内力的计算方法和计算公式与三 铰拱完全相同。在竖向荷载作用下，两铰拱任意截面的内力
Leabharlann Baidu计算公式为：
M FS
M0 X1y
FS0 cos
X1
sin
FN FS0 sin X1 cos
左半跨 ： M0=3qlx/8-qx2/2 （0＜x＜l/2） ；
右半跨 ： M0 =ql(l-x)/8 (l/2＜x＜l) ；
因此
1 P E 10 2 lI y (8 3 q l1 2 q x . 2 )d x x E 12 lly Iq 8 (l lx )d x 3 q E 3 0 fl I 上下一一页页6 返回
分式为零。
此时，令δ12=δ21=0，可得刚臂的长度ys为
ys
y1
ds EI
.ds EI
（19-4）10 上一页 返回 下一页
一、弹性中心法
我们设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，如图19-6所
示，则ds/EI就代表此图中的微面积，而式（19-4）就是计算
这个图形面积的形心坐标公式。由于此图形的面积与结构的
本节只讨论常见对称无铰拱的计算。
.
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一、弹性中心法
如图19-5（a）所示为一对称无铰拱，属于三次超静定
结构。为简化计算，我们采用以下两项简化措施：
1. 第一项简化措施是利用结构的对称性, 选取对称的基
本体系，将拱顶截面C截开，取拱顶的弯矩X1、轴力X2、剪 力X3为多余未知力，得到两个悬臂曲杆的基本结构，如图 19-5（b）所示。
（19-2）
图1.9-1
5
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第一节 两铰拱的计算
【例19-1】 如图19-2所示为一抛物线两铰拱，承受半跨均布荷载 作用，试求其水平推力H。设拱截面尺寸为常数，以左支座为原点， 拱轴方程为：y=4fx(l-x)/l2
解：计算时，我们采用两个假设：
（1）忽略轴向变形，只考虑弯曲变形；
这里规定：轴向右为正，轴向下为正，弯矩以使得拱内
侧受拉为正，剪力以使隔离体. 顺时针方向转动为正，轴力 9
以压力为正。
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一、弹性中心法
当 X 1 1、X 2 1 、X 3 1分别作用时所引起的内力为：
M1 1，FN1 1，FS1 0
M2
y，FN2
cos，FS2
sin
M3 1，FN3 sin，FS3 cos
2. 第二项简化措施是利用刚臂,进一步使余下的副系数
δ12和δ21也等于零，从而使力法方程简化为三个独立的一元 一次方程,如图19-5(c)、(d)所示。
此时，副系数δ12和δ21的表达式为：
1 2 2 1 M E 1 M 2 d I sF N E 1 F N 2 A d sK F S G 1 F S 2 d As
第一节 两铰拱的计算
由力法方程求得 X1
1P
11
ql2 16f
即
FN
X1
ql2 16f
这个结果与三铰拱在半
跨均布荷载作用下的结果是
一样的。
FH求出以后，利用公式 M=M0-FHy 可绘制出M图， 如图19-2（c）所示。这个 弯矩图也与三铰拱的弯矩图
相同。
.
图19-2
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第二节 无铰拱的计算
知识目标：
●了解超静定拱在工程上的应用和受力特点 ●掌握两铰拱的计算方法 ●掌握计算对称无铰拱的弹性中心法的基本原理 ●了解温度改变、混凝土收缩和支座移动对无铰拱的影响
能力目标：
●能熟练运用弹性中心法计算两铰拱及无铰拱的内力
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第十九章
第一节
两铰拱的计算
第二节
无铰拱的计算
第三节 温度改变和混凝土收缩对无铰拱的影响
代入后得：1 22 1M E 1M 2I d s E ydI s (y 1 ys)E d s I
由上式可见，当多余未知力放在拱顶截面C的中心时，
δ12是不可能等于零的。必须将多余未知力的作用点移动一下 位置，即把它从C点沿y轴向下移动一段距离，使得有正、负
不同的两个区间，而仍保持符号不变，这样才有可能使得积
第四节
支座移动对无铰拱的影响
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第一节 两铰拱的计算
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第一节 两铰拱的计算
两铰拱是一次超静定结构，如图19-1（a）所示，通常有
带拉杆（系杆拱）和不带拉杆两种形式。因为两铰拱的支座
发生竖向位移时并不引起内力，所以宜在地基可能发生较大
的不均匀沉陷时采用。两铰拱的弯矩在两端拱趾处为零逐渐
向拱顶增大，所以其截面一般亦相应设计为由拱趾向拱顶逐
渐增大的形式。通常采用的变化规律为：
I=ICcos
（19-1）
计算两铰拱时，通常采用如图19-1（b）所示简支曲梁为
基本结构，以支座的推力为基本未知量,如图19-1（c）所示。
又因基本结构在X1=1作用下，如图19-1（d）、（e）所示， 由力法典型方程可得：
1 2
1P 2P
0 0
33 X 3 3P 0
于是，多余未知力可按下式求解:
（19-5）
X1=-Δ1P/δ11 ，X2= -Δ2P/δ22.，X 3=-Δ3P/δ33 (19-6)
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一、弹性中心法
图19-5
.
图19-6
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二、系数和自由项的简化
由于杆是曲杆，在计算系数和自由项时，应考虑曲 率对变形的影响，但计算结果表明这种影响一般很小。 因此，仍采用直杆的位移计算公式来求解系数和自由项。 对于多数情况，通常可忽略轴向变形和剪切变形的影响。
弹性性质EI有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为弹
性中心。由于y轴是对称轴，故知x、y是弹性面积的一对形
心主轴。由此可见，把刚臂端点引到弹性中心上，且将X2、
X3置于主轴方向上，就可以使得全部副系数都等于零。这一 方法就称为弹性中心法。此时典型方程将进一步简化为以下
三个独立方程式:
2121
X X
（2）当拱比较平时，可近似地， 取ds=dx，cos=1。因此，简化后
的位移公式为
11
1 EI
l 0
y2dx
1P
1 l EI0
yM0dx
计算得：11E1I0l4l2f x(lx)2dx1 Ef6 4 2 I0 ll(l2x22lx 3x4)d x1 8fE 5 2l I
计算Δ1P时，先绘制简支梁的弯矩M0图如图19-2(b)所示，其弯矩 方程分两段表示如下：
ds
X1
1P
11
yMP I
y2 ds co2sds
. I
A
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第一节 两铰拱的计算
求得了推力X1后，其它内力的计算方法和计算公式与三 铰拱完全相同。在竖向荷载作用下，两铰拱任意截面的内力
Leabharlann Baidu计算公式为：
M FS
M0 X1y
FS0 cos
X1
sin
FN FS0 sin X1 cos
左半跨 ： M0=3qlx/8-qx2/2 （0＜x＜l/2） ；
右半跨 ： M0 =ql(l-x)/8 (l/2＜x＜l) ；
因此
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分式为零。
此时，令δ12=δ21=0，可得刚臂的长度ys为
ys
y1
ds EI
.ds EI
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一、弹性中心法
我们设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，如图19-6所
示，则ds/EI就代表此图中的微面积，而式（19-4）就是计算
这个图形面积的形心坐标公式。由于此图形的面积与结构的
本节只讨论常见对称无铰拱的计算。
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一、弹性中心法
如图19-5（a）所示为一对称无铰拱，属于三次超静定
结构。为简化计算，我们采用以下两项简化措施：
1. 第一项简化措施是利用结构的对称性, 选取对称的基
本体系，将拱顶截面C截开，取拱顶的弯矩X1、轴力X2、剪 力X3为多余未知力，得到两个悬臂曲杆的基本结构，如图 19-5（b）所示。
（19-2）
图1.9-1
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第一节 两铰拱的计算
【例19-1】 如图19-2所示为一抛物线两铰拱，承受半跨均布荷载 作用，试求其水平推力H。设拱截面尺寸为常数，以左支座为原点， 拱轴方程为：y=4fx(l-x)/l2
解：计算时，我们采用两个假设：
（1）忽略轴向变形，只考虑弯曲变形；
这里规定：轴向右为正，轴向下为正，弯矩以使得拱内
侧受拉为正，剪力以使隔离体. 顺时针方向转动为正，轴力 9
以压力为正。
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一、弹性中心法
当 X 1 1、X 2 1 、X 3 1分别作用时所引起的内力为：
M1 1，FN1 1，FS1 0
M2
y，FN2
cos，FS2
sin
M3 1，FN3 sin，FS3 cos
2. 第二项简化措施是利用刚臂,进一步使余下的副系数
δ12和δ21也等于零，从而使力法方程简化为三个独立的一元 一次方程,如图19-5(c)、(d)所示。
此时，副系数δ12和δ21的表达式为：
1 2 2 1 M E 1 M 2 d I sF N E 1 F N 2 A d sK F S G 1 F S 2 d As
第一节 两铰拱的计算
由力法方程求得 X1
1P
11
ql2 16f
即
FN
X1
ql2 16f
这个结果与三铰拱在半
跨均布荷载作用下的结果是
一样的。
FH求出以后，利用公式 M=M0-FHy 可绘制出M图， 如图19-2（c）所示。这个 弯矩图也与三铰拱的弯矩图
相同。
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图19-2
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