图论+讲义

有向图在成对比较中的应用
在很多实验中，特别在社会科学领域，要求人们 通过对事物的两两比较排出它们的名次。这种方 法称为成对比较法。例如，测定对音乐作品的个 人爱好时，每一次对一个主题取出两个作品，问 一个人他喜欢哪一个。记录了n个作品成对比较所 有n(n-1)/2种可能的结果后，实验者就能根据某 人的爱好排出n个作品的品次。
• 图/Graph：可直观地表示离散对象之 间的相互关系，研究它们的共性和特 性，以便解决具体问题。
• 无向图（简称图）: 一个图是指一个有序三元组 (V(G),E(G), ),其中V(G)是一个非空有限集，Ｅ (G)是与Ｖ(G)不相交的有限集合,是关联函数， 它使E(G)中每一元素对应于V(G)中的无序元素对 （可以相同） • 有向图: 一个有向图是指一个有序三元组 (V(G),A(D), ),其中V(G)是一个非空有限集， A(D)是与Ｖ(G)不相交的有限集合,是关联函数， 它使A(D)中每一元素对应于V(G)中的有序元素对 （可以相同）
• 严格有向图：既无自回路又无平行边的有向图。 • 非对称有向图：在两点间最多有一条有向边，但 允许有自回路的有向图。 • 对称有向图：对于图中每一边(a,b),总存在另一 边(b,a)的有向图。 • 完全有向图: (1)完全对称有向图：一个从任一点到其他点有一 条且仅有一条有向边的简单图； (2)完全非对称有向图：任何两点有一条且只有一 条有向边的非对称图。
• 实际上,有向图即将无向图中的无序对 看成有序对.其中有向图对应的无向图 称为有向图的基础图。
• 其中V(G)称为顶点集,E(G)称为边集（A(D) 又称为弧集）.令 p(G)=|V(G)|,q(G)=|E(G)|, 分别称为图的阶和边数。举例说明。
在一个图G (V (G ), E (G ),G )中, 如果G (e) uv, 则说边e连接 顶点u , v, 称u , v为e的端点 ，称u和v是 相邻的，而称u (或v)与e关联。 与同一个顶点关联的若 干条边称为相邻的 。 两个端点重合为一个顶 点的边称为环； 关联于同一对顶点的两 条或以上的边称为 多重边。
关键路径问题
一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心, 小至组装一台机床,一架电视机, 都要包括许多工序.这 些工序相互约束,只有在某些工序完成之后, 一个工序 才能开始. 即它们之间存在完成的先后次序关系,一般 认为这些关系是预知的, 而且也能够预计完成每个工序 所需要的时间. 这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多少时间 才能够完成整个工程项目, 影响工程进度的要害工序是 哪几个？
顶点的度
• 在无向图G中,与a相邻的顶点的数目称为v的度 /degree,记为d(v)。分别用 (G)和(G) 表示G中的 最小度和最大度。度为零的顶点称为孤立顶点。 • 在有向图G中,以v为终点的边的条数称为v的入度 /in-degree,记为d–(v)。以v为起点的边的条数称 为v的出度/out-degree,记为d+(v)。 有向图中，V的度数=d–(v)+ d+(v),
旅行商问题（TSP）
• 给出城市之间的距离，要求一位推销员从某一城 市出发，周游每个城市一次，然后回到出发的城 市，并且选的路径最短。(Traveling Salesman Problem) • 这是一个图论优化问题，最早由美国数学家威特 涅于1934年在普林斯顿一次讨论班上提出。1954 年几位美国数学家写了第一篇论文，用线性方程 的方法解决了49个城市的旅行售货员问题。后来 也有不少论文讨论这个问题，在理论和应用上都 很有价值。

四色问题
德· 摩尔根致哈密顿的信（1852年10月23日） 我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚 了了的事实。他说如果任意划分一 个图形并给各部分着上颜色，使任 何具有公共边界的部分颜色不同， 那么需要且仅需要四种颜色就够了 。下图是需要四种颜色的例子 （图1）。 ……
• 为了能够迅速地区分一个平面地图或球面地图上的各个国 家（假设这些国家在地图上都是连通的），需要用若干种 颜色对这些国家着色，使得具有公共边界的两个国家涂染 不同的颜色.那么，要保证每张地图都能如此着色，最少 需要多少种颜色？这个问题是1850年被一名刚毕业的大学 生Francis Guthrie首先提出的，直到1976年，四色问题 被美国Illinois大学的K.Appel和W.Haken用计算机证明是 正确的，这个证明令数学界震惊，它用了1200多小时，作 出100亿个独立的逻辑判断.尽管有了这个机器证明，但它 仍然是数学上未解决的问题之一 .
(G) min{d (u ) | u V (G )}, (G ) min{d (u ) | u V (G )},
(G) max{d (u ) | u V (G )}, (G ) max{d (u ) | u V (G )}.
正十二面体
Peterson图
图论发展的第三阶段
• 二十世纪中叶以后 • 由于生产管理、军事、交通运输、计算机网络、计算机科 学、数字通讯、线性规划、运筹学等方面提出的实际问题 的需要，特别是许多离散性问题的出现、刺激和推动，以 及由于有了大型电子计算机，而使大规模问题的求解成为 可能，图论及其应用的研究得到了飞速的发展 . 这个阶段 的开创性工作是以 Ford 和 Fulkerson 建立的网络流理论为 代表的 .图论与其它学科的相互渗透，以及图论在生产实 际中广泛地应用，都使图论的发展更加充满活力.
如果一个图的顶点集和边集都是有限集则称该图为有限图, 否则称为无限图。只有一个顶点所构成的图称为平凡图，其 它的称为非平凡图。 如果一个图中没有环也没有重边称为简单图。
• 图/graph; 有向图/directed graph;
• 相邻/adjacent，关联/incident；顶点 /vertex; 孤立的/isolated，环/loop。 • 在有向图G中，若e=（ａ，ｂ）∈Ｅ，即箭 头由ａ到ｂ，称ａ相邻到ｂ，或a关联或联 结b。a称为e的起点/initial vertex，b称 为e的终点/terminal or end vertex。
Hamilton问题
• Hamilton 问题是图论中一直悬而未解的一大问题。 它起源于 1856 年，当时英国数学家 Hamilton 设计 了一种名为周游世界的游戏。他在一个实心的正 十二面体的二十个顶点上标以世界上著名的二十 座城市的名字，要求游戏者沿十二面体的棱从一 个城市出发，经过每座城市恰好一次，然后返回 到出发点，即“绕行世界”。 • 正十二面体的顶点与棱的关系可以用平面上的图 表示，把正十二面体的顶点与棱分别对应图的顶 点与边，就得到正十二面体图。
数学建模与数学实验
图论
(Graph Theory)
第一部分
引言
两个有趣的问题
• 1.任意一群人中（人数不小于2），总有两人在该 人群中认识相同的朋友数 • 2.在一次象棋比赛中，任意两名选手间至多下一 盘，试证总存在两名选手，他们下过的盘数相同
• 图论是组合数学的一个分支，也是近几十 年来最活跃的数学分支之一 到目前为止， 它已有二百六十多年的发展历史。
图论发展的第二阶段
十九世纪中叶到二十Fra bibliotek纪中叶在此阶段，图论问题大量出现.如著名的四色问题、 Hamilton问题以及图的可平面问题等。
Cayley把树应用于化学领域，Kirchhoff(基尔霍夫)用 树去研究电网络的分析问题. 虽然这一阶段里21岁的 C.Kirchhoff在1847年从电网络问题，A.Cayley在1857 年从计算有机化学的同分异构等不止一次地建立起图论 的基本概念，但是直到1936年D.König发表的经典著作 <<有限图与无限图理论>>才有了图论的第一本专著.
特殊图类
• 完全图/complete graph：图G中的每对不 同顶点之间恰有一条边。 • 空图/empty graph：边集为空的图。 • M部图：设G=(V,E)是p阶图,若V可以划分为 m个非空子集，记做（V1,V2，…，Vm）使 得对每个G(Vi)是空图，则称G为m部图。
• 轮图/wheel:由一个圈添加一个新顶点,并 且把这个顶点与圈的所有顶点相连得到的 图称为轮，新的边称为辐。 • 正则图：每个顶点的度都等于k的图。 • 线图（边图）/line graph：图G的线图是 以为E(G)顶点集的图,其中两个顶点相邻当 且仅当它们在G中是相邻的边。
Kendall在1948年做的一个分类实验时，对 六种不同的狗食排名次。每天在六种食品 中任选两种喂狗。实验安排了15天，所有 可能配对的食物都被试过，在图中，一条 边是从喜欢的食物引向比较不喜欢的食物， 这样的图称为优化图。
• 在单循环赛中，每个运动员和所有其他运 动员比赛，比赛结果可以用有向图表示。 图中一条顶点a指向b的边表示运动员a胜过 运动员b。所以完全非对称图又称为竞赛图。 • 按得分排名：根据运动员得分排名次，得 分是运动员在比赛中胜的局数，反映在有 向图中是点的出度。
• 子 图 /subgraph ： Ｇ ＝ ( Ｖ ,E) 是 图 , 若 Ｇ’=(Ｖ’,Ε’)也是图且满足:(1)Ｖ’Ｖ,(2) Ｅ’Ｅ,则称Ｇ’为Ｇ的子图。 • 图的并 /union ：Ｇ Ｇ’ = （Ｖ’ Ｖ，Ｅ’ Ｅ）. • 图的交 /intersect ：Ｇ Ｇ’ = （Ｖ’ Ｖ，Ｅ’ Ｅ). • 相 对 补图 /complementary graph ：Ｅ”＝Ｅ－ Ｅ’，Ｖ” ＝ V－V’或是Ｅ”中边所关联的所有 顶点集合，则Ｇ”＝（Ｖ”，Ｅ”）称为Ｇ’关 于Ｇ的相对补图。
图论发展的萌芽阶段
• 十八世纪中叶到十九世纪中叶 .该时期的图 论问题多数是围绕游戏而产生的，其代表 性的工作就是 Königsberg 七桥问题 .1736 年 L.Euler 发表了他著名的 Königsberg （格尼 斯堡）七桥问题的论文，这是图论的第一 篇文章.
• Königsberg七桥位于前苏联的加里宁格勒， 历史上曾是德国东普鲁士省的省会，霹雷 格尔横穿城堡，河中有两个小岛B与C，并 有七座桥连接岛与河岸及岛与岛（见图）。 是否存在一种走发，从四块陆地中的任意 一块开始，通过每一座桥恰好一次再回到 起点。这就是著名的Königsberg七桥问题， 即一笔画问题；也是图论的起源。
图的矩阵表示
• 图G表示的三种方法：
• 集合表示
• 邻接表（adjacency list）表示 • 矩阵（ matrix）表示 1、邻接矩阵（adjacency matrix）表示 2、关联矩阵（incidence matrix）表示
第二部分
基本定义
图的定义
• 生活中，人们常常需要考虑一些对象之间的某种特定的关 系。 如某区域内，两城市之间有无交通线 一群人中，两个人之间相识或不相识 • 这种关系是对称的，即如果甲对于乙有某种关系，则乙对 于甲也有这种关系.可以用一个图形来描述给定对象之间 的某个关系： 我们用平面上的点分别表示这些对象，若对象甲和乙 有关系，就用一条线连接表示甲和乙的两个点.这种由一 些点与连接其中某些点对的线所构成的图形就是图论中所 研究的图.
几个重要定理
• 定理1(Handshaking) 设无向图G=（V，E）有e条边，则G 中所有顶点的度之和等于e的两倍。(Σd(v)=2e) • 定理2 无向图中度为奇数的顶点个数恰有偶数个。
• 定理3 设有向图G=（V，A）有e条边，则G中所有顶点 的入度之和等于所有顶点的出度之和，也等于e。
• 例 证明任何一群人中，有偶数个人认识其 中奇数个人.(匈牙利数学竞赛试题) • [证] 用n个顶点表示n个人.如果两个人相 识，就用一条线把他们对应的一对顶点连 起来，这样就得到了一个图G.每一个人所 认识的人的数目就是他对应的顶点的次， 于是问题就转化为证明图G中奇点的个数为 偶数。