上凸函数和下凸函数
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x 1 +x 2 2
O ｘ １ｘ １ ＋ｘ ２ ２
说 明
点 C 高于 D 点，因此有 f（ （x1）+f（x2）]
）≤ [f
2
1
点 D 高于点 C， 因此有 f （ +f（x2）]
x 1 +x 2 2
） ≥ [f （x1）
2
1
+f（x2）]，那么函数 f（x）叫做上凸函数 （ x1 ， x2 是定义域内自变量的任意两个 值）.
y
ｆ（ｘ） Ｂ
图 像
ｆ（
ｘ １ ＋ｘ ２ ２
２ ｆ（ｘ ２ ） ｆ（ｘ １ ）＋ｆ（ｘ １ ） ２ ｆ（ｘ １ ） Ｃ是线段ＡＢ的中点
ｆ（
ｘ １ ＋ｘ ２
Ｄ ） B Ｃ A ｆ（ｘ） x ｘ２
Ｄ ｘ １ ＋ｘ ２ ２ Ｃ是线段ＡＢ的中点
十、上凸函数和下凸函数
名 称 下凸函数 如果函数满足条件 f（ 定 义
x 1 +x 2 2
上凸函数 ）≤ [f
2 1
如果函数满足条件 f （
x 1 +x 2 2
பைடு நூலகம்
） ≥ [f （x1）
2
1
（x1）+f（x2）]，那么函数 f（x）叫做下 凸函数（x1，x2 是定义域内自变量的任意 两个值）.
y ｆ（ｘ ２ ） ｆ（ｘ １ ）＋ｆ（ｘ １ ） ２ Ｃ ｆ（ｘ １ ） Ａ ｘ２ x O ｘ１ ）
O ｘ １ｘ １ ＋ｘ ２ ２
说 明
点 C 高于 D 点，因此有 f（ （x1）+f（x2）]
）≤ [f
2
1
点 D 高于点 C， 因此有 f （ +f（x2）]
x 1 +x 2 2
） ≥ [f （x1）
2
1
+f（x2）]，那么函数 f（x）叫做上凸函数 （ x1 ， x2 是定义域内自变量的任意两个 值）.
y
ｆ（ｘ） Ｂ
图 像
ｆ（
ｘ １ ＋ｘ ２ ２
２ ｆ（ｘ ２ ） ｆ（ｘ １ ）＋ｆ（ｘ １ ） ２ ｆ（ｘ １ ） Ｃ是线段ＡＢ的中点
ｆ（
ｘ １ ＋ｘ ２
Ｄ ） B Ｃ A ｆ（ｘ） x ｘ２
Ｄ ｘ １ ＋ｘ ２ ２ Ｃ是线段ＡＢ的中点
十、上凸函数和下凸函数
名 称 下凸函数 如果函数满足条件 f（ 定 义
x 1 +x 2 2
上凸函数 ）≤ [f
2 1
如果函数满足条件 f （
x 1 +x 2 2
பைடு நூலகம்
） ≥ [f （x1）
2
1
（x1）+f（x2）]，那么函数 f（x）叫做下 凸函数（x1，x2 是定义域内自变量的任意 两个值）.
y ｆ（ｘ ２ ） ｆ（ｘ １ ）＋ｆ（ｘ １ ） ２ Ｃ ｆ（ｘ １ ） Ａ ｘ２ x O ｘ１ ）