数学建模经典案例讲解
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数学建模经典案例讲解
稳定性模型
• 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间 充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是 否稳定.
• 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性.
• 差分方程的稳定性与微分方程稳定性理论 相似.
7.1 捕鱼业的持续收获
背景
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等）.
x (t) x k y g
y (t) lx y h
, ~ 本方经济实力的制约；
k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力.
军备竞赛的结局 t 时的x(t)，y(t) 微分方程的平衡点及其稳定性
线性常系数 微分方程组
x(t) axby 的平衡点及其稳定性 y(t) cx dy
pNE S(E)
pNE/2 S(E)
cpN/2 (p2c/N)
T(E)
Es Es2 E*生态学捕捞过度 0
Es1 E*
Es2 r
E
捕鱼业的 在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模. 持续收获 用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,
讨论产量、效益和捕捞过度3个模型.
7.2 军备竞赛
目的 • 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程.
临界强度下的渔场鱼量
xs
N(1 Es r
)
c p
S(E)
xs由成本—价格比决定
T(E)
p ,c Es ,xs 捕捞过度 0
ER E*
Es r
E
捕捞 收入 T(E)pN(E1E) 利润 R (E )T(E )S(E )
过度 支出 S(E)cE r
=0 临界强度Es
pN/2cpN(c/Np2c/N) Es Es1E*经济学捕捞过度
假设
• 解释(预测)双方军备竞赛的结局. 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一
方军备增加越快；
2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大；
进一步 假设
3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存 在增加军备的潜力.
1）2）的作用为线性；3）的作用为常数.
建模
x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量
r~固有增长率, N~最大鱼量
• 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比.
建模
h(x)=Ex, E~捕捞强度
记 F (x)f(x) h (x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x (t)F(x)r(x1x)Ex N
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件.
一阶微分方程的平衡点及其稳定性 x F(x) (1) 一阶非线性自治(右端不含t)方程
ax by 0
平衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程 cx dy 0 的根
若从P0某邻域的任一初值出发，都有
limx(t)x,
t
0
lt i my(t)y0, 称P0是微分方程的稳定平衡点
记系数矩阵
A
a c
b
d
特征方程 deAt(I)0
2 p q 0
p
(a
d)
q det A
y=h(x)=Ex
P*
P y=f(x)
F(x)0 f 与h交点P
Erx0稳定 0
x0*=N/2 x0
Nx
P的横坐标 x0~平衡点
P的纵坐标 h~产量
产量最大
P *(x * N /2 ,h rN /4 )
0
m
E*hm/x0*r/2
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
效益模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞
强度使效益最大.
F (x 0) 0 x 0 不(稳 对 (2 )(1 ,)定 )
产量模型 x (t)F(x)r(x1x)Ex N
F(x)0
x N(1E),x0
平衡点
0
r1
稳定性判断 F (x 0 ) E r , F (x 1 ) r E
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0 x0稳定,x1不稳定
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0 x0不稳,定 x1稳定
E~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大. 图解法
F (x)f(x) h (x)
y
x
f(x)rx(1 )
N
hm
h(x)Ex
百度文库
h
y=rx y=E*x
假设 • 鱼销售价格p • 单位捕捞强度费用c
收入 T = ph(x) = pEx
支出 S = cE
单位时间利润 RTSpE cxE
稳定平衡点 x 0N (1 E /r)
R (E ) T (E ) S (E )pN (1 E E ) cE r
求E使R(E)最大
ER
r (1 2
c )
pN
E*
r 2
军备竞赛
模型
x(t)xkyg y(t)lxyh
平衡点
x0 kh kg,l y0 lg khl
稳定性判断
系数 矩阵
• 再生资源应适度开发——在持续稳产 前提下实现最大产量或最佳效益.
问题 及分
析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控制 捕捞使产量最大或效益最佳?
• 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场 鱼量将保持不变，则捕捞量稳定.
产量模型
x(t) ~ 渔场鱼量
假设
• 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律.
x (t)f(x)rx (1x) N
渔场 鱼量
xR
N(1ER r
)
N 2
c 2p
,
h rN(1 c2 )
R4
p2N2
捕捞 过度
• 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 • 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
ER
r (1 2
c) pN
R (E ) T (E ) S (E )pN (1 E r E ) cE 令=0
c
Es
r(1
) pN
R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER ~ 临界强度
特征根
(pp24q)/2 1,2
线性常系数 微分方程组
x(t) axby 的平衡点及其稳定性 y(t) cx dy
平衡点 P0(0,0)
特征根 (pp24q)/2 1,2
微分方程一般解形式 ce1t ce2t
1
2
1,2为负数或有负实部
p>0且q>0 p<0或q<0
平衡点 P0(0,0)稳定 平衡点 P0(0,0)不稳定
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x 0xx
xx0
0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有 lt i mx(t)x0, 称x0是方程(1)的稳定平衡点.
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
(1)的近似线性方程 x F (x 0 )x ( x 0 )(2 ) F (x 0 ) 0 x 0 稳 (对 (2 定 )( 1 ,))
稳定性模型
• 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间 充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是 否稳定.
• 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性.
• 差分方程的稳定性与微分方程稳定性理论 相似.
7.1 捕鱼业的持续收获
背景
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等）.
x (t) x k y g
y (t) lx y h
, ~ 本方经济实力的制约；
k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力.
军备竞赛的结局 t 时的x(t)，y(t) 微分方程的平衡点及其稳定性
线性常系数 微分方程组
x(t) axby 的平衡点及其稳定性 y(t) cx dy
pNE S(E)
pNE/2 S(E)
cpN/2 (p2c/N)
T(E)
Es Es2 E*生态学捕捞过度 0
Es1 E*
Es2 r
E
捕鱼业的 在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模. 持续收获 用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,
讨论产量、效益和捕捞过度3个模型.
7.2 军备竞赛
目的 • 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程.
临界强度下的渔场鱼量
xs
N(1 Es r
)
c p
S(E)
xs由成本—价格比决定
T(E)
p ,c Es ,xs 捕捞过度 0
ER E*
Es r
E
捕捞 收入 T(E)pN(E1E) 利润 R (E )T(E )S(E )
过度 支出 S(E)cE r
=0 临界强度Es
pN/2cpN(c/Np2c/N) Es Es1E*经济学捕捞过度
假设
• 解释(预测)双方军备竞赛的结局. 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一
方军备增加越快；
2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大；
进一步 假设
3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存 在增加军备的潜力.
1）2）的作用为线性；3）的作用为常数.
建模
x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量
r~固有增长率, N~最大鱼量
• 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比.
建模
h(x)=Ex, E~捕捞强度
记 F (x)f(x) h (x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x (t)F(x)r(x1x)Ex N
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件.
一阶微分方程的平衡点及其稳定性 x F(x) (1) 一阶非线性自治(右端不含t)方程
ax by 0
平衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程 cx dy 0 的根
若从P0某邻域的任一初值出发，都有
limx(t)x,
t
0
lt i my(t)y0, 称P0是微分方程的稳定平衡点
记系数矩阵
A
a c
b
d
特征方程 deAt(I)0
2 p q 0
p
(a
d)
q det A
y=h(x)=Ex
P*
P y=f(x)
F(x)0 f 与h交点P
Erx0稳定 0
x0*=N/2 x0
Nx
P的横坐标 x0~平衡点
P的纵坐标 h~产量
产量最大
P *(x * N /2 ,h rN /4 )
0
m
E*hm/x0*r/2
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
效益模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞
强度使效益最大.
F (x 0) 0 x 0 不(稳 对 (2 )(1 ,)定 )
产量模型 x (t)F(x)r(x1x)Ex N
F(x)0
x N(1E),x0
平衡点
0
r1
稳定性判断 F (x 0 ) E r , F (x 1 ) r E
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0 x0稳定,x1不稳定
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0 x0不稳,定 x1稳定
E~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大. 图解法
F (x)f(x) h (x)
y
x
f(x)rx(1 )
N
hm
h(x)Ex
百度文库
h
y=rx y=E*x
假设 • 鱼销售价格p • 单位捕捞强度费用c
收入 T = ph(x) = pEx
支出 S = cE
单位时间利润 RTSpE cxE
稳定平衡点 x 0N (1 E /r)
R (E ) T (E ) S (E )pN (1 E E ) cE r
求E使R(E)最大
ER
r (1 2
c )
pN
E*
r 2
军备竞赛
模型
x(t)xkyg y(t)lxyh
平衡点
x0 kh kg,l y0 lg khl
稳定性判断
系数 矩阵
• 再生资源应适度开发——在持续稳产 前提下实现最大产量或最佳效益.
问题 及分
析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控制 捕捞使产量最大或效益最佳?
• 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场 鱼量将保持不变，则捕捞量稳定.
产量模型
x(t) ~ 渔场鱼量
假设
• 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律.
x (t)f(x)rx (1x) N
渔场 鱼量
xR
N(1ER r
)
N 2
c 2p
,
h rN(1 c2 )
R4
p2N2
捕捞 过度
• 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 • 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
ER
r (1 2
c) pN
R (E ) T (E ) S (E )pN (1 E r E ) cE 令=0
c
Es
r(1
) pN
R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER ~ 临界强度
特征根
(pp24q)/2 1,2
线性常系数 微分方程组
x(t) axby 的平衡点及其稳定性 y(t) cx dy
平衡点 P0(0,0)
特征根 (pp24q)/2 1,2
微分方程一般解形式 ce1t ce2t
1
2
1,2为负数或有负实部
p>0且q>0 p<0或q<0
平衡点 P0(0,0)稳定 平衡点 P0(0,0)不稳定
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x 0xx
xx0
0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有 lt i mx(t)x0, 称x0是方程(1)的稳定平衡点.
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
(1)的近似线性方程 x F (x 0 )x ( x 0 )(2 ) F (x 0 ) 0 x 0 稳 (对 (2 定 )( 1 ,))