电路分析基础 第六章 一阶电路
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第六章 一阶电路 §6-1 分解方法在动态电路分析中的应用 §6-2 零状态响应 §6-3 阶跃响应 冲激响应 §6-4 零输入响应 §6-5 线性动态电路的叠加定理 §6-6 三要素法 §6-7 瞬态和稳态 §6-8 正弦激励的过渡过程和稳态
第六章
一、换路的基本概念
S R Us 设uc(0)=0 ≥0 tt = 0 C .
二、换路定律
duc 由 i（ C 可知，若ic (t )为有限值，则在任意时 刻 c t） dt duc 否则 i c (t ) C 。 uc (t )均不能发生跃变， dt 显然，在任意时刻 uc (t ) uc (t )
在换路时刻 uc (0 ) u c (0 )
iL(0－)= 0
若令
L R （时间常数）.
R t Us i L (t ) (1 e L ) R R t diL u L (t ) L U se L dt
（t≥0）
Us 且 注 意 到 i L ( ) R 则i L (t )可 表 示 为
+ _
t
R
uS t=∞
iC(∞) IS
uc (t ) uc ()(1 e t ) RI s (1 e t
RC
+ u (∞) _ C
)
t=∞
uc (t ) i (t ) I S (1 e t ) R
iC
IS t=0 C uC(0－)= 0
+ u _ C
i R
ic (0 ) I S
di L 由 u L (t ) L 可知，若u L ( t )为有限值，则在任意时 刻 dt di L 否则 u L ( t ) L 。 i L (t )均不能发生跃变 ， dt 显然，在任意时刻 i L (t ) i L (t )
在换路时刻 i L (0 ) i L (0 )
6i1(0+)－2iC(0+)+uL(0+) =12 －2i1(0+) +4iC(0+)－uL(0+) =－2 i1(0+)－iC(0+) =1 整理、化简得：
2i1(0+)+iC(0+) =5
i1(0+)－iC(0+) =1 解得 i1(0+)=2 A iC(0+)=1 A
u (0 ) + u2(0+) _ + 1 + _ + i (0 ) 4Ω 2Ω iC(0+) + + 1 + u3(0+) 2Ω _ + 12V 2V i1(0+) ic(0+) _ _ 1A uL(0+) _ t = 0+
（即零状态响应）
例 2 求uC(t)
+ _
uS
R C 设uC(0－)=0
+ _
uC
(a)
us (t ) (t ) V
uS ( V )
1
uc (t ) ？
0
t （ a）
§6-2 零状态响应
回阅
零状态响应：电路的初始状态为零 [uC(0－)=0 或iL(0－)=0]， 仅由外接电源所引起的响应。 一、RC电路的零状态响应
a + 6V _
i1 4Ω 4Ω +2Ω u1 t= 0 b + 2Ω 12V _ iL(0－) t= 2 0－ _ + 3 2Ω + u_ iL + －) uC(0 L _u _L iC + u2 _ C 2Ω + _
uC
解（ 1 ） uc (0 )
42 6 i L (0 ) 1A 42 uc (0 ) uc (0 ) 2V
6 2V
i L (0 ) i L (0 ) 1A
u (0 ) + u2(0+) _ + 1 + _ + i1(0+) 4Ω 2Ω iC(0+) + + u3(0+) 2Ω _ + 12V 2V ic(0+) i (0 ) 1 + _ _ 1A uL(0+) _ t = 0+
t
④
综上 所 述 ， 在 一 阶电路的零状态响应 中 ， 只要求出 uC(∞)、iC(0+)、iL(∞)、uL(0+)和相应的时间常数 τ，即可分别 根据式①、②、③、④得解。
例6-1 （P192） .
iC IS t=0 C uC(0－)= 0
+ u _ C
i R
解
uC () RI s ， RC
t
t RC
)
U s RC i c (t ) e R uc (t ) uc ()(1 e t )
i c ( t ) i c (0 ) e t
理论上当t→∞时 uc(t)→Us , ic (t)→0 实用中一般认为
当 t 4 时 uC (t ) U S ， i C (t ) 0
u1(0+)=4i1(0+)=8 V
u2(0+)=2iC(0+)=2 V u3(0+)=2iL(0+) =2 V uL(0+)=－u3(0+) + u2(0+) +2 =2 V 或 uL(0+)=－u3(0+)－ u1(0+) +12 =2 V
+ + i1(∞)
u1(∞) _ 4Ω + u3(∞) _
i c ( t ) i c (0 )e I S e t
t
IS
iC(0+) t = 0+
R
RC
或
duc i c (t ) C I S e t RC dt
ic (t ) I S i (t ) I S e t RC
例6-2、例6-3、*例6-4
.
§6-3阶跃响应 冲激响应 .
_
uC
解方程得
（参见P188） .
uc (t ) U s (1 e
t RC
)
t
duc U s RC i c (t ) C e dt R
（t≥0）
uc (t ) U s (1 e
t RC
)
t
duc U s RC i c (t ) C e dt R 则uc (t )可表示为 若令 RC （时间常数 P189 t ） uc (t ) uc ()(1 e ) ① 且注意到 uc () U s
§6-2 零状态响应
零状态响应：电路的初始状态为零 [uC(0－)=0 或iL(0－)=0]， 仅由外接电源所引起的响应。 一、RC电路的零状态响应
R iC C +
Ri c (t ) uc (t ) U s duc RC uc U s （t≥0） dt uc (0) 0
+ t=0 US _ uC(0－)= 0
di L 若i L为定值，则u L L 0 dt
即电路处于直流稳态时 (且i L 0时), 电感可等效为短路。
四、初始值和稳态值的计算 例 电路如下图所示，已知换路前电路处于稳态，求： （1） 各电流和电压（ t =0+时）的初始值。 （2） 电容充电完毕后（ t =∞时）各电流和电压的稳态值。
R + t=0 US _ uC(0－)= 0 iC C + _
Ri c (t ) uc (t ) U s duc RC uc U s （t≥0） dt uc (0) 0
uC
解方程得
uc (t ) U s (1 e
t RC
)
t
duc U s RC i c (t ) C e dt R
uc(V)
4
0 1 2 3
u
d
t(S)
－2
0
1
2
t(S)
（c）
（ d）
uc (t ) 4 (t ) 6 (t 1) 2 (t 3)V
0 ue ( t ) U m sin t 0 t＜0 0＜t＜t 1 t＞t 1
Um
ud (t ) U s (2 t )
换路定律表达式： uc ( 0 ) uc ( 0 )
i L (0 ) i L (0 )
符合换路定律时
uc (0 )、 uc (0 ) 可统一记为 uc (0) i L (0 )、 i L (0 ) 可统一记为 i L (0)
必须注意:
一般情况下，只有 . uc (0 ) uc (0 ) 和 i L (0 ) i L (0 ) 其它各电压或电流 ..y(0 ) y(0 )
iL(∞)
i L (t ) i L ()(1 e
)
③
+ _
R
uS t=∞
iL(∞)
+
_
R
uS
t=0+
+ _
uC
但
uL (t ) uL ()(1 e t ) ！
uL () 0， 而 uL (0 ) U s 0
uL (t ) uL (0 )e
+ u2(∞) _ 2Ω iC(∞) 2Ω + u (∞) _L
+ uC(∞) _
12V
_
iL(∞)
t=∞
(2)
iC(∞)=0
uL(∞)=0 i1(∞)= iL(∞)=12/(4+2)=2A u1(∞)=4i1(∞)=8V u2(∞)=0
uC(∞)=u3(∞)=2iL(∞)=4V
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用（略）
0 (t t 0 ) 1 t＜t 0 即（t t 0）＜0 t＞t 0 即（t t 0）＞0
ub ( V ) 5 1
(t t 0 )
0
t
0
t
例1
5
ua ( V )
0
1
t(S)
1
2
t(S)
（ a）
（ b）
ua (t ) 5 (t 1)V
ub (t ) 5 (t 1) 5 (t 2)V
US _ +
R iC(∞)=0 + uC _
US _
+
R
iC(0+)
iC
t=0+
但
t=∞ ic (t ) ic ()(1 e t )！
ic () 0， 而 ic (0 ) U S R 0
ic (t ) ic (0 )e t
②
uc (t ) U s (1 e
一、阶跃函数 . 1. 单位阶跃函数
0 (t ) 1
t=0 a + b u(t) _
(t )
1
u(t) Us
t
t＜0 t＞0
0
0
t
Us
+
_
动态
网络
U s (t )
+
+
动态 网络
_
u(t)
_
0 u( t ) U s
t＜0 t＞0
u(t ) U s (t )
2．延时单位阶跃函数
一阶电路
. uc ic
Us Us /R
0－, 0, 0+
*电路变量的初始值y(0+)和稳态值y(∞)的计算 ic + uc _
充电前 充电过程 原稳态 过渡过程
0
t
充电后 新稳态
换路: 由于电路中的开关突然动作，改变了电路的结构 . 或元件的参数，使电路从原稳态向新稳态过渡。 t=0 换路时刻 （开关动作瞬间） . t=0－ 换路前一瞬间 （原稳态的终了时刻） . t=0+ 换路后一瞬间 （向新稳态过渡的起始时刻） .
ue t
1
0
t
（e）
ue (t ) U m sin t (t ) U m sin t (t t1 ) 或 ud (t ) U m sin t (t ) U m sin (t t1 ) (t t1 )
二、阶跃响应 电路的初始状态为零，仅由阶跃信号引起的响应。
例如：. ic (0 ) ic (0 ) uL (0 ) uL (0 )
i R (0 ) i R (0 ) uR (0 ) uR (0 )
三、直流稳态的概念
直流稳态：电路中各元件的电压和电流均为定值。
duc 若uc 为定值，则 ic C 0 dt
即电路处于直流稳态时 (且uc 0时), 电容可等效为开路。
0
① ②
Us ic(0+)
uc(t) i(t) 0.982Us
1 2 3 4
t
0.0183ic(0+)
二、RL电路的零状态响应
Ri L (t ) uL (t ) U s diL L Ri L U s （t≥0） dt i L (0) 0
解方程得
+ _
uS
t=0
R
uL
_
+ iL
（t≥0）
二、阶跃响应 电路的初始状态为零，仅由阶跃信号引起的响应。
（即零状态响应）
例 2wenku.baidu.com求uC(t)
+ _
uS
R C 设uC(0－)=0
+ _
uC
(a)
us (t ) (t ) V
uS ( V )
t RC
uc (t ) (1 e
) (t )V
1
（单位阶跃响应）
0
t （ a）
（b）us (t ) 5 (t 1)V
uc (t ) 5(1 e
t 1 RC
5
ua ( V )
) (t 1)V
0
（c） us (t ) 5 (t 1) 5 (t 2)V
第六章
一、换路的基本概念
S R Us 设uc(0)=0 ≥0 tt = 0 C .
二、换路定律
duc 由 i（ C 可知，若ic (t )为有限值，则在任意时 刻 c t） dt duc 否则 i c (t ) C 。 uc (t )均不能发生跃变， dt 显然，在任意时刻 uc (t ) uc (t )
在换路时刻 uc (0 ) u c (0 )
iL(0－)= 0
若令
L R （时间常数）.
R t Us i L (t ) (1 e L ) R R t diL u L (t ) L U se L dt
（t≥0）
Us 且 注 意 到 i L ( ) R 则i L (t )可 表 示 为
+ _
t
R
uS t=∞
iC(∞) IS
uc (t ) uc ()(1 e t ) RI s (1 e t
RC
+ u (∞) _ C
)
t=∞
uc (t ) i (t ) I S (1 e t ) R
iC
IS t=0 C uC(0－)= 0
+ u _ C
i R
ic (0 ) I S
di L 由 u L (t ) L 可知，若u L ( t )为有限值，则在任意时 刻 dt di L 否则 u L ( t ) L 。 i L (t )均不能发生跃变 ， dt 显然，在任意时刻 i L (t ) i L (t )
在换路时刻 i L (0 ) i L (0 )
6i1(0+)－2iC(0+)+uL(0+) =12 －2i1(0+) +4iC(0+)－uL(0+) =－2 i1(0+)－iC(0+) =1 整理、化简得：
2i1(0+)+iC(0+) =5
i1(0+)－iC(0+) =1 解得 i1(0+)=2 A iC(0+)=1 A
u (0 ) + u2(0+) _ + 1 + _ + i (0 ) 4Ω 2Ω iC(0+) + + 1 + u3(0+) 2Ω _ + 12V 2V i1(0+) ic(0+) _ _ 1A uL(0+) _ t = 0+
（即零状态响应）
例 2 求uC(t)
+ _
uS
R C 设uC(0－)=0
+ _
uC
(a)
us (t ) (t ) V
uS ( V )
1
uc (t ) ？
0
t （ a）
§6-2 零状态响应
回阅
零状态响应：电路的初始状态为零 [uC(0－)=0 或iL(0－)=0]， 仅由外接电源所引起的响应。 一、RC电路的零状态响应
a + 6V _
i1 4Ω 4Ω +2Ω u1 t= 0 b + 2Ω 12V _ iL(0－) t= 2 0－ _ + 3 2Ω + u_ iL + －) uC(0 L _u _L iC + u2 _ C 2Ω + _
uC
解（ 1 ） uc (0 )
42 6 i L (0 ) 1A 42 uc (0 ) uc (0 ) 2V
6 2V
i L (0 ) i L (0 ) 1A
u (0 ) + u2(0+) _ + 1 + _ + i1(0+) 4Ω 2Ω iC(0+) + + u3(0+) 2Ω _ + 12V 2V ic(0+) i (0 ) 1 + _ _ 1A uL(0+) _ t = 0+
t
④
综上 所 述 ， 在 一 阶电路的零状态响应 中 ， 只要求出 uC(∞)、iC(0+)、iL(∞)、uL(0+)和相应的时间常数 τ，即可分别 根据式①、②、③、④得解。
例6-1 （P192） .
iC IS t=0 C uC(0－)= 0
+ u _ C
i R
解
uC () RI s ， RC
t
t RC
)
U s RC i c (t ) e R uc (t ) uc ()(1 e t )
i c ( t ) i c (0 ) e t
理论上当t→∞时 uc(t)→Us , ic (t)→0 实用中一般认为
当 t 4 时 uC (t ) U S ， i C (t ) 0
u1(0+)=4i1(0+)=8 V
u2(0+)=2iC(0+)=2 V u3(0+)=2iL(0+) =2 V uL(0+)=－u3(0+) + u2(0+) +2 =2 V 或 uL(0+)=－u3(0+)－ u1(0+) +12 =2 V
+ + i1(∞)
u1(∞) _ 4Ω + u3(∞) _
i c ( t ) i c (0 )e I S e t
t
IS
iC(0+) t = 0+
R
RC
或
duc i c (t ) C I S e t RC dt
ic (t ) I S i (t ) I S e t RC
例6-2、例6-3、*例6-4
.
§6-3阶跃响应 冲激响应 .
_
uC
解方程得
（参见P188） .
uc (t ) U s (1 e
t RC
)
t
duc U s RC i c (t ) C e dt R
（t≥0）
uc (t ) U s (1 e
t RC
)
t
duc U s RC i c (t ) C e dt R 则uc (t )可表示为 若令 RC （时间常数 P189 t ） uc (t ) uc ()(1 e ) ① 且注意到 uc () U s
§6-2 零状态响应
零状态响应：电路的初始状态为零 [uC(0－)=0 或iL(0－)=0]， 仅由外接电源所引起的响应。 一、RC电路的零状态响应
R iC C +
Ri c (t ) uc (t ) U s duc RC uc U s （t≥0） dt uc (0) 0
+ t=0 US _ uC(0－)= 0
di L 若i L为定值，则u L L 0 dt
即电路处于直流稳态时 (且i L 0时), 电感可等效为短路。
四、初始值和稳态值的计算 例 电路如下图所示，已知换路前电路处于稳态，求： （1） 各电流和电压（ t =0+时）的初始值。 （2） 电容充电完毕后（ t =∞时）各电流和电压的稳态值。
R + t=0 US _ uC(0－)= 0 iC C + _
Ri c (t ) uc (t ) U s duc RC uc U s （t≥0） dt uc (0) 0
uC
解方程得
uc (t ) U s (1 e
t RC
)
t
duc U s RC i c (t ) C e dt R
uc(V)
4
0 1 2 3
u
d
t(S)
－2
0
1
2
t(S)
（c）
（ d）
uc (t ) 4 (t ) 6 (t 1) 2 (t 3)V
0 ue ( t ) U m sin t 0 t＜0 0＜t＜t 1 t＞t 1
Um
ud (t ) U s (2 t )
换路定律表达式： uc ( 0 ) uc ( 0 )
i L (0 ) i L (0 )
符合换路定律时
uc (0 )、 uc (0 ) 可统一记为 uc (0) i L (0 )、 i L (0 ) 可统一记为 i L (0)
必须注意:
一般情况下，只有 . uc (0 ) uc (0 ) 和 i L (0 ) i L (0 ) 其它各电压或电流 ..y(0 ) y(0 )
iL(∞)
i L (t ) i L ()(1 e
)
③
+ _
R
uS t=∞
iL(∞)
+
_
R
uS
t=0+
+ _
uC
但
uL (t ) uL ()(1 e t ) ！
uL () 0， 而 uL (0 ) U s 0
uL (t ) uL (0 )e
+ u2(∞) _ 2Ω iC(∞) 2Ω + u (∞) _L
+ uC(∞) _
12V
_
iL(∞)
t=∞
(2)
iC(∞)=0
uL(∞)=0 i1(∞)= iL(∞)=12/(4+2)=2A u1(∞)=4i1(∞)=8V u2(∞)=0
uC(∞)=u3(∞)=2iL(∞)=4V
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用（略）
0 (t t 0 ) 1 t＜t 0 即（t t 0）＜0 t＞t 0 即（t t 0）＞0
ub ( V ) 5 1
(t t 0 )
0
t
0
t
例1
5
ua ( V )
0
1
t(S)
1
2
t(S)
（ a）
（ b）
ua (t ) 5 (t 1)V
ub (t ) 5 (t 1) 5 (t 2)V
US _ +
R iC(∞)=0 + uC _
US _
+
R
iC(0+)
iC
t=0+
但
t=∞ ic (t ) ic ()(1 e t )！
ic () 0， 而 ic (0 ) U S R 0
ic (t ) ic (0 )e t
②
uc (t ) U s (1 e
一、阶跃函数 . 1. 单位阶跃函数
0 (t ) 1
t=0 a + b u(t) _
(t )
1
u(t) Us
t
t＜0 t＞0
0
0
t
Us
+
_
动态
网络
U s (t )
+
+
动态 网络
_
u(t)
_
0 u( t ) U s
t＜0 t＞0
u(t ) U s (t )
2．延时单位阶跃函数
一阶电路
. uc ic
Us Us /R
0－, 0, 0+
*电路变量的初始值y(0+)和稳态值y(∞)的计算 ic + uc _
充电前 充电过程 原稳态 过渡过程
0
t
充电后 新稳态
换路: 由于电路中的开关突然动作，改变了电路的结构 . 或元件的参数，使电路从原稳态向新稳态过渡。 t=0 换路时刻 （开关动作瞬间） . t=0－ 换路前一瞬间 （原稳态的终了时刻） . t=0+ 换路后一瞬间 （向新稳态过渡的起始时刻） .
ue t
1
0
t
（e）
ue (t ) U m sin t (t ) U m sin t (t t1 ) 或 ud (t ) U m sin t (t ) U m sin (t t1 ) (t t1 )
二、阶跃响应 电路的初始状态为零，仅由阶跃信号引起的响应。
例如：. ic (0 ) ic (0 ) uL (0 ) uL (0 )
i R (0 ) i R (0 ) uR (0 ) uR (0 )
三、直流稳态的概念
直流稳态：电路中各元件的电压和电流均为定值。
duc 若uc 为定值，则 ic C 0 dt
即电路处于直流稳态时 (且uc 0时), 电容可等效为开路。
0
① ②
Us ic(0+)
uc(t) i(t) 0.982Us
1 2 3 4
t
0.0183ic(0+)
二、RL电路的零状态响应
Ri L (t ) uL (t ) U s diL L Ri L U s （t≥0） dt i L (0) 0
解方程得
+ _
uS
t=0
R
uL
_
+ iL
（t≥0）
二、阶跃响应 电路的初始状态为零，仅由阶跃信号引起的响应。
（即零状态响应）
例 2wenku.baidu.com求uC(t)
+ _
uS
R C 设uC(0－)=0
+ _
uC
(a)
us (t ) (t ) V
uS ( V )
t RC
uc (t ) (1 e
) (t )V
1
（单位阶跃响应）
0
t （ a）
（b）us (t ) 5 (t 1)V
uc (t ) 5(1 e
t 1 RC
5
ua ( V )
) (t 1)V
0
（c） us (t ) 5 (t 1) 5 (t 2)V