函数的基本性质之单调性

函数的基本性质之单调性

1、函数的单调性

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2

当x 1

当x 1f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

2.函数的单调性与单调区间

函数=y )(x f 在区间D 上是增函数或减函数 函数=y )(x f 在这一区间具有（严格性）单调性 区间D 叫做=y )(x f 的单调区间

3.对函数单调性的理解

（1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x .

（2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点.

（3）单调函数定义的等价变形：)(x f 在区间D 上是增函数⇔任意1x ，2x D ∈，

1x ＜2x ，都有 )(1x f <)(2x f ⇔0)

()(2121>--x x x f x f ⇔[]0)()()(2121>--x x x f x f .

（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“⋃”而应该用“和”或“，”来连接.

题型一 求函数的单调区间

例1：(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数. (2)函数y ＝

1

x －1

的单调递减区间是________.

例2：画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并写出函数的单调区间.

变式练习1 作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=1,3)2(1

,3)(2

x x x x x f 的图象，并指出函数的单调区间.

题型二 函数单调性的判定与证明

利用定义法证明函数单调性的步骤：

第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；

第二步：作差变形，即作差)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子； 第三步：判号，即确定)()(21x f x f -的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论； 第四步：定论，即根据定义得出结论.

例2 已知函数f (x )＝2－x

x ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.

变式练习1.求证：函数11

)(--=x

x f 在区间()+∞,0上是单调增函数.(定义法)

2.证明函数f (x )＝x ＋

x

1

在(0,1)上是减函数．

3.证明函数f (x )＝x 2

－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．

题型三 函数单调性的简单应用

例4：已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，6]上是减函数，求实数a 的取值范围.

变式练习3 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是________.

例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)

变式练习4 已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f(a)

课后作业

1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y ＝|x | B.y ＝3－x C.y ＝1x

D.y ＝－x 2＋4

2.若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是严格单调减函数，则有( ) A.a ≥12 B.a ≤12 C.a >12 D.a <12

3.定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有0)

()(1

212<--x x x f x f ，则

( )

A.f (3)

B.f (1)

C.f (2)

D.f (3)

4.若函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，3)上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a >3 C.a ≤3

D.a <－3

5.已知⎩⎨⎧≥+-<+-=1,11

,4)13()(x x x a x a x f 是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是

( )

A.(－∞，1

3)

B.(1

7

，＋∞) C.[17，13

) D.(－∞，－17]∪(1

3

，＋∞)

6.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是__________________________________.

7.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)

3)的x 的

取值范围是_____.

8.已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (3

4

)的大小关系为________．