不可压MHD方程组及其相关模型适定性和渐近极限研究

不可压MHD方程组及其相关模型适定性和渐近极限研究

本课题研究应用科学中非线性流体动力学的一些模型,包括不可压MHD方程组及其相关流体动力学模型的渐近机制问题,重点研究磁流体动力学中的不可压MHD方程组及其相关模型的边界层问题、以及解的零粘性极限和耗散消失极限等问题.利用傅里叶分析的工具,古典能量方法,Galerkin方法,对称子技巧以及一些重要的不等式,如Poincar′e不等式,Hardy不等式,Cauchy-Schwarz不等式,H¨older不等式,Hausdor?-Young不等式,内插不等式,Sobolev嵌入定理等,研究不可压粘性磁扩散MHD方程组与其极限模型等的相互关系,利用边界层理论证明它们的解在某种范数下之间的收敛关系,从数学角度合理解释磁流体动力学的有关现象,并给出预期的物理结果.第1章绪论,主要介绍不可压MHD方程组及其相关磁流体动力学模型的发展历史、模型及其研究进展以及本文的结构和主要研究内容.第2章主要研究在完美传导物理边界下带有粘性和磁扩散的不可压磁流体方程组.首先给出三种不可压磁流体方程组及其形式上的渐近关系,其次给出关于这三种模型解的已有结果,最后通过构造边界层函数和经典的能量方法,得到了对于不同的水平和垂直的粘性和磁扩散系数,当它们以相同或者不同的速度趋向于零时,在L2空间上带有完美传导物理边界具有粘性和磁扩散不可压磁流体方程组的解收敛到理想无粘性和无磁扩散不可压磁流体方程组的解,并且该结论同样适用于各向异性的不可压磁流体方程组.第3章研究具有粘性和磁扩散的不可压管状磁流体与无粘性具有磁扩散的不可压管状磁流体之间的联系.在柱坐标下利用边界层理论建立了这两类流体方程组的解在不同Sobolev空间的极限关系,即当粘性系数ν→0时,具有粘性和磁扩散的不可压管状磁流体方程组的解在空间L∞(L2),L2(H1)收敛到无粘性具有磁扩散的不可压管状磁流体方程

组的解.第4章研究带有粘性和磁扩散的不可压管状磁流体与有粘性无磁扩散不可压管状磁流体之间的联系.我们同样在柱坐标下利用边界层理论建立了这两类流体模型的解在不同Sobolev空间的极限关系,即当磁扩散系数η→0时,具有粘性和磁扩散不可压管状磁流体方程组的解在空间L∞(L2),L2(H1)收敛到粘性无磁扩散不可压管状磁流体方程组的解.第5章研究带有局部非线性阻尼Petrovsky方程与波方程耦合组初边值问题,利用分片乘子技巧和加权积分不等式建立了方程组解的能量衰减率估计.第6章研究了当0≤α≤2且η≥0情形下带有非负初值的高维可压缩流的Cauchy问题.建立了该模型对于非负初值,η≥0和η>0同时0<α≤2时两种情形下局部光滑解的适定性理论.对不可压MHD方程组及其相关流体动力学模型进行研究不仅具有重要的理论意义,而且能为科学计算提供重要的保障,因而具有广泛的应用价值.