高中数学竞赛系列讲座--进位制
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注意：最高位不能是0
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数， 十进制一般不标注基数.
例如十进制的133.59，写成133.59(10) 七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2)
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k进制可以表示为一串数字连写在一起 的形式：
a n a n 1a 1 a 0 ( k ) ( 0 a n k ,0 a n 1 ,,a 1 ,a 0 k ) .
其它进制数化成十进制数公式
二、 二进制
二进制的表示方法
二进制是用0、1两个数字来描述的．如 11001 区分的写法：11001（2）或者 (1 11001 ( 1)2 2 1 0 )2 4 0 1 2 3 1 0 2 2 0 2 1 1 2 0
八进制呢？如7342(8) k进制呢？ anan-1an-2…a1(k)？
• 则119＝(2) • 所以434(5)＝(2)
十进制转换为二进制
把49化为二进制数
余数
有没有反 复执行的 步骤
2
49 12 24 0源自2 12 026 0
23 1
21 1
0
注意： 1.最后一步商为0， 2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：49=110001（2）
5 89 5 17
53 0
所以，89=324（5）
余数
4 2 3
练习：
完成下列进位制之间的转化：
（1）10231（4）= （2）235（7）= （3）137（10）= （4）1231（5）= （5）213（4）= （6）（2）=
（10）； （10）； （6）； （7）； （3）； （4）。
小结
• 1．进位制是一种记数方式，用有限的数 字在不同的位置表示不同的数值。可使 用数字符号的个数称为基数，基数为k， 即可称k进位制，简称k进制。k进制需要 使用k个数字；
基数： “满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪 些常见的进位制？请举例说明．
• 最常见的进位制应该是我们数学中的十进 制,比如一般的数值计算，但是并不是生活 中的每一种数字都是十进制的.
• 古人有半斤八两之说，就是十六进制与十 进制的转换.
• 比如时间和角度的单位用六十进位制, 计算 “一打”数值时是12进制的。
二进制： 0 1
八进制： 0，1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
十六进制： 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，
6，7，8，9， A ,B,C,D,E,F
10 11 12 13 14 15
K进制数的一般形式： anan1a1a0k 其中
an,an1,a1,a0N 0ank,0an1,,a1,a0k
其它进制：
实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一 记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的 记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进 制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。
二进制、七进制、八进制、十二进制、 六十进制……
二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字 十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.
51
所以，110011（2）=51．
练习 1、将下面的二进制数化为十进制数？
（1）11
（2）110
2、把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么？
a na n 1 a 1 a 0(k) a n kna n 1 kn 1a 1 k1a 0 k0 (1 0)
其它进制数化成十进制数公式
（十进制化成二进制）：
3、十进制的构成
十进制由两个部分构成 十进制：“满十进一”
第一、它有0～9十个数字；
(用10个数字来记数，称基数为10)
第二、它有“数位”，即从右往左为个位、十位、 百位、千位等等。 例如：3721 表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，3 个千即3个10的立方
3 7 2 3 1 3 1 7 0 1 2 2 0 1 1 1 0 1 00
• 2．十进制与二进制之间转换的方法；
先把这个k进制数写成用各位上的数字与 k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制 数的运算规则计算出结果。
将五进制数434化为二进制数． • [解析] 先将五进制数化为十进制数． • 434(5)＝4×52＋3×51＋4×50＝119， • 再将十进制数119化为二进制数．
注意：
2 89 2 44 2 22
2 11 25 22
21 0
余数
1 0 0 1 1 0 1
1.最后一步商为0，
2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：
89=1011001（2） 练习 将下面的十进制数化为二进制数？
（1）10
（2）20
3、十进制转换为其它进制 例1：把89化为五进制数。
解：根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为：
其它进位制的数又是如何的呢？
探究：P43
若 a n a n 1 a 1 a 0 ( k ) 表 示 一 个 k 进 制 数 ， 请 你 把 它 写 成 各 位 上 数 字 与 k 的 幂 的 乘 积 之 和 的 形 式 。
a na n 1 a 1 a 0(k) a n kna n 1 kn 1a 1 k1a 0 k0 (1 0)
一、进位制
1、什么是进位制？
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位 置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基 数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。
比如：
满二进一，就是二进制； 满十进一，就是十进制； 满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，就是六十进制
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。 解：根据进位制的定义可知
11 ( 2 ) 1 0 2 5 1 0 2 4 0 1 2 3 1 0 2 2 1 2 1 1 2 0
1 3 1 2 1 1 6 2 1
• 电子计算机用的是二进制 。
十进制：
我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不 同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。
例如133.59，它可用一个多项式来表示：
133.59=1*102+3*101+3*100 +5*10-1+9*10-2
式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在 个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢 十进一的。
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数， 十进制一般不标注基数.
例如十进制的133.59，写成133.59(10) 七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2)
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k进制可以表示为一串数字连写在一起 的形式：
a n a n 1a 1 a 0 ( k ) ( 0 a n k ,0 a n 1 ,,a 1 ,a 0 k ) .
其它进制数化成十进制数公式
二、 二进制
二进制的表示方法
二进制是用0、1两个数字来描述的．如 11001 区分的写法：11001（2）或者 (1 11001 ( 1)2 2 1 0 )2 4 0 1 2 3 1 0 2 2 0 2 1 1 2 0
八进制呢？如7342(8) k进制呢？ anan-1an-2…a1(k)？
• 则119＝(2) • 所以434(5)＝(2)
十进制转换为二进制
把49化为二进制数
余数
有没有反 复执行的 步骤
2
49 12 24 0源自2 12 026 0
23 1
21 1
0
注意： 1.最后一步商为0， 2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：49=110001（2）
5 89 5 17
53 0
所以，89=324（5）
余数
4 2 3
练习：
完成下列进位制之间的转化：
（1）10231（4）= （2）235（7）= （3）137（10）= （4）1231（5）= （5）213（4）= （6）（2）=
（10）； （10）； （6）； （7）； （3）； （4）。
小结
• 1．进位制是一种记数方式，用有限的数 字在不同的位置表示不同的数值。可使 用数字符号的个数称为基数，基数为k， 即可称k进位制，简称k进制。k进制需要 使用k个数字；
基数： “满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪 些常见的进位制？请举例说明．
• 最常见的进位制应该是我们数学中的十进 制,比如一般的数值计算，但是并不是生活 中的每一种数字都是十进制的.
• 古人有半斤八两之说，就是十六进制与十 进制的转换.
• 比如时间和角度的单位用六十进位制, 计算 “一打”数值时是12进制的。
二进制： 0 1
八进制： 0，1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
十六进制： 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，
6，7，8，9， A ,B,C,D,E,F
10 11 12 13 14 15
K进制数的一般形式： anan1a1a0k 其中
an,an1,a1,a0N 0ank,0an1,,a1,a0k
其它进制：
实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一 记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的 记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进 制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。
二进制、七进制、八进制、十二进制、 六十进制……
二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字 十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.
51
所以，110011（2）=51．
练习 1、将下面的二进制数化为十进制数？
（1）11
（2）110
2、把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么？
a na n 1 a 1 a 0(k) a n kna n 1 kn 1a 1 k1a 0 k0 (1 0)
其它进制数化成十进制数公式
（十进制化成二进制）：
3、十进制的构成
十进制由两个部分构成 十进制：“满十进一”
第一、它有0～9十个数字；
(用10个数字来记数，称基数为10)
第二、它有“数位”，即从右往左为个位、十位、 百位、千位等等。 例如：3721 表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，3 个千即3个10的立方
3 7 2 3 1 3 1 7 0 1 2 2 0 1 1 1 0 1 00
• 2．十进制与二进制之间转换的方法；
先把这个k进制数写成用各位上的数字与 k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制 数的运算规则计算出结果。
将五进制数434化为二进制数． • [解析] 先将五进制数化为十进制数． • 434(5)＝4×52＋3×51＋4×50＝119， • 再将十进制数119化为二进制数．
注意：
2 89 2 44 2 22
2 11 25 22
21 0
余数
1 0 0 1 1 0 1
1.最后一步商为0，
2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：
89=1011001（2） 练习 将下面的十进制数化为二进制数？
（1）10
（2）20
3、十进制转换为其它进制 例1：把89化为五进制数。
解：根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为：
其它进位制的数又是如何的呢？
探究：P43
若 a n a n 1 a 1 a 0 ( k ) 表 示 一 个 k 进 制 数 ， 请 你 把 它 写 成 各 位 上 数 字 与 k 的 幂 的 乘 积 之 和 的 形 式 。
a na n 1 a 1 a 0(k) a n kna n 1 kn 1a 1 k1a 0 k0 (1 0)
一、进位制
1、什么是进位制？
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位 置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基 数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。
比如：
满二进一，就是二进制； 满十进一，就是十进制； 满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，就是六十进制
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。 解：根据进位制的定义可知
11 ( 2 ) 1 0 2 5 1 0 2 4 0 1 2 3 1 0 2 2 1 2 1 1 2 0
1 3 1 2 1 1 6 2 1
• 电子计算机用的是二进制 。
十进制：
我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不 同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。
例如133.59，它可用一个多项式来表示：
133.59=1*102+3*101+3*100 +5*10-1+9*10-2
式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在 个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢 十进一的。