【新教材】新人教A版必修一 对数函数 教案

2019—2020学年新人教A 版必修一 对数函数 教案
1．对数的概念
一般地，如果a x
＝N (a 〉0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a >0，且a ≠1，M 〉0，N 〉0，那么: ①log a （MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M
N
＝log a M －log a N ； ③log a M n
＝n log a M (n ∈R ）． (2）对数的性质 ①log a N
a
＝N ；②log a a N
＝N （a 〉0，且a ≠1）．
（3)对数的换底公式
log a b ＝错误!（a 〉0,且a ≠1；c 〉0,且c ≠1；b 〉0)． 3．对数函数的图象与性质
y ＝log a x a >1 0〈a 〈1
图象
定义域 (1)（0，＋∞)
值域
(2）R
性质
（3）过定点(1，0）,即x ＝1时,y ＝0
（4)当x >1时，y 〉0；当0<x
〈1时，y 〈0
(5）当x 〉1时,y 〈0；当0<x 〈1时，y >0
(6)在(0,＋∞)上是增函数
（7)在(0，＋∞）上是减函
数
4.反函数
指数函数y ＝a x
(a 〉0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x （a 〉0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 概念方法微思考
1．根据对数换底公式:①说出log a b ，log b a 的关系？
②化简log m n
a b 。

提示 ①log a b ·log b a ＝1；②log m n
a b ＝错误!log a b .
2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．
提示 0<c <d 〈1〈a 〈b .
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×") （1）若MN 〉0,则log a （MN )＝log a M ＋log a N 。

（ × ）
（2)对数函数y ＝log a x （a 〉0且a ≠1）在（0，＋∞)上是增函数．（ × ） (3）函数y ＝ln 错误!与y ＝ln （1＋x ）－ln （1－x ）的定义域相同．（ √ )
（4）对数函数y ＝log a x （a 〉0且a ≠1）的图象过定点（1，0)且过点(a ，1)，错误!，函数图象只在第一、四象限．（ √ ） 题组二 教材改编
2．[P68T4］log 29·log 34·log 45·log 52＝. 答案 2
3．[P82A 组T6]已知a ＝21
3
－,b ＝log 21
3
,c ＝12
log 错误!，则a ，b ，c 的大小关系为．
答案 c >a 〉b
解析 ∵0<a 〈1,b 〈0，c ＝12
log 错误!＝log 23>1.
∴c 〉a 〉b 。

4．［P74A 组T7］函数y ＝错误!的定义域是． 答案 错误!
解析 由23
log （2x －1)≥0，得0〈2x －1≤1。

∴1
2
<x ≤1。

∴函数y ＝错误!的定义域是错误!。

题组三 易错自纠
5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d
＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
答案 B
6．已知函数y＝log a（x＋c）(a，c为常数，其中a〉0,a≠1）的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c〉1B．a>1，0<c<1
C．0<a〈1，c>1D．0〈a<1，0〈c〈1
答案 D
解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a〈1,∵图象与x轴的交点在区间(0,1)之间,∴该函数的图象是由函数y＝log a x的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c<1。

7．若log a错误!<1(a〉0且a≠1），则实数a的取值范围是．
答案错误!∪（1，＋∞)
解析当0<a〈1时，log a错误!<log a a＝1，∴0〈a〈错误!;
当a〉1时，log a错误!〈log a a＝1,∴a>1.
∴实数a的取值范围是错误!∪(1，＋∞）.
题型一对数的运算
1．设2a＝5b＝m，且错误!＋错误!＝2，则m等于( ）
A。

错误!B．10C．20D．100
答案 A
解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝log m2＋log m5＝log m10＝2.
解得m＝10.
2．计算：错误!÷100
1
2
－
＝。

答案－20
解析原式＝（lg2－2－lg52)×1001
2＝lg错误!×10
＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.
3．计算：错误!＝。

答案 1
解析 原式＝错误! ＝错误!
＝错误!＝错误!＝错误!＝1。

4．设函数f （x )＝3x
＋9x
，则f （log 32）＝. 答案 6
解析 ∵函数f （x )＝3x
＋9x
，
∴f (log 32)＝339log 2log 2log 43929＋＝＋＝2＋4＝6。

思维升华对数运算的一般思路
(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 题型二 对数函数的图象及应用
例1(1）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时，f (x )＝ln （x ＋1)，则函数
f （x ）的大致图象为( )
答案 C
解析 先作出当x ≥0时，f （x ）＝ln （x ＋1)的图象，显然图象经过点(0,0）,再作此图象关于y 轴对称的图象，可得函数f (x ）在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示． （2)函数f (x )＝2x
｜log 0。

5x |－1的零点个数为（ ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B
解析 函数f (x )＝2x
｜log 0。

5x ｜－1的零点个数即方程｜log 0.5x ｜＝错误!x
的解的个数,即函数y ＝｜log 0.5x |与函数y ＝错误!x
图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点．
（3)当0〈x ≤错误!时，4x
〈log a x ，则a 的取值范围是( ）
A.错误!B。

错误!C．(1，错误!） D．（错误!，2)
答案 B
解析由题意得,当0〈a〈1时,要使得4x〈log a x错误!，
即当0〈x≤错误!时,函数y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方．又当x＝错误!时，
1 2 4
＝2，即函数y＝4x的图象过点错误!.把点错误!代入y＝log a x，得a＝错误!.若函数y＝4x 的图象在函数y＝log a x图象的下方,则需错误!〈a<1(如图所示）．
当a>1时,不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是错误!.
引申探究
若本例(3）变为方程4x＝log a x在错误!上有解，则实数a的取值范围为．
答案错误!
解析若方程4x＝log a x在错误!上有解，则函数y＝4x和函数y＝log a x在错误!上有交点，由图象知错误!解得0<a≤错误!。

思维升华 (1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1（1)函数y＝2log4（1－x）的图象大致是（）
答案 C
解析函数y＝2log4（1－x）的定义域为（－∞，1）,排除A，B;又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减,排除D.故选C。

(2）已知函数f（x)＝错误!且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a
的取值范围是． 答案 （1，＋∞)
解析 如图,在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．
由图可知,当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数值的大小
例2 （2018·潍坊模拟）已知a ＝错误!23
，b ＝错误!23
，c ＝34
log 错误!，则a ，b ,c 的大
小关系是( ) A ．a 〈b <c B ．b 〈a 〈c C ．c 〈a <b D ．a <c 〈b 答案 A
解析 由幂函数性质，可知幂函数f （x ）＝23
x 在(0，＋∞)上为单调递增函数， 所以错误!23<错误!23
<1，即0〈a 〈b 〈1，
又由对数函数的性质可知c ＝34
log 错误!>34
log 错误!＝1，
所以错误!23
<错误!23
〈1<34
log 错误!，即a 〈b 〈c ，故选A.
命题点2 解对数方程、不等式
例3(1)方程log 2（x －1）＝2－log 2（x ＋1)的解为． 答案 x ＝错误!
解析 原方程变形为log 2（x －1)＋log 2（x ＋1）＝log 2(x 2
－1)＝2，即x 2
－1＝4，解得x ＝±错误!，又x >1,所以x ＝错误!.
(2)已知不等式log x (2x 2
＋1)〈log x （3x )<0成立，则实数x 的取值范围是． 答案 错误!
解析 原不等式⇔①错误!
或②错误!
解不等式组①得错误!〈x <错误!，不等式组②无解． 所以实数x 的取值范围为错误!. 命题点3 对数函数性质的综合应用
例4(1）若函数f （x ）＝log 2（x 2
－ax －3a ）在区间(－∞，－2］上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，4） B ．（－4,4］
C ．(－∞,－4)∪［－2,＋∞）
D ．［－4，4） 答案 D
解析 由题意得x 2
－ax －3a 〉0在区间（－∞,－2]上恒成立且函数y ＝x 2
－ax －3a 在（－∞，－2]上单调递减，则错误!≥－2且（－2）2
－（－2)a －3a 〉0，解得实数a 的取值范围是［－4,4），故选D 。

(2)函数f （x ）＝log 2x ·
(2x )的最小值为．
答案 －错误!
解析 依题意得f （x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x ）＝(log 2x )2＋log 2x ＝错误!2－错误!≥－错误!，
当log 2x ＝－错误!，即x ＝错误!时等号成立，所以函数f （x ）的最小值为－错误!。

（3)已知函数f (x ）＝错误!若f (x ）的值域为R ,则实数a 的取值范围是． 答案 （1，2]
解析 当x ≥1时，f (x ）＝1＋log 2x ≥1，当x 〈1时，f （x ）＝（a －1)x ＋4－2a 必须是增
函数,且最大值大于或等于1才能满足f （x ）的值域为R ，可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －1>0，
a －1＋4－2a ≥1，解得
a ∈（1,2]．
思维升华利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
跟踪训练2 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52,c ＝log 23，则( ） A ．a >c 〉b B ．b 〉c >a C ．c >b >a D ．c >a 〉b 答案 D
解析 a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1.
又c＝log23>log22＝1,所以c最大．
由1〈log23<log25，得错误!>错误!,即a〉b，
所以c〉a>b。

(2)已知函数f（x)＝log a（8－ax）（a〉0，且a≠1),若f(x)〉1在区间［1，2］上恒成立，则实数a的取值范围是．
答案错误!
解析当a>1时,f（x)＝log a（8－ax）在[1，2］上是减函数,由f（x）〉1在区间[1，2］上恒成立，
则f（x)min＝f（2)＝log a（8－2a）〉1，且8－2a〉0，
解得1〈a〈错误!。

当0<a<1时，f（x)在[1，2]上是增函数，
由f(x）〉1在区间［1,2]上恒成立，
知f(x）min＝f（1）＝log a(8－a）>1，且8－2a〉0。

∴a〉4，且a〈4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是错误!。

比较指数式、对数式的大小
比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：
（1）比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1。

例（1)设a＝60.4，b＝log0。

40.5,c＝log80.4,则a，b，c的大小关系是________．
答案c〈b<a
解析∵a＝60。

4〉1，b＝log0。

40.5∈（0，1），
c＝log80。

4〈0,∴a>b〉c。

（2）已知a＝log23＋log23，b＝log29－log2错误!,c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＝b<c B．a＝b〉c
C．a〈b<c D．a〉b〉c
答案 B
解析因为a＝log23＋log2错误!＝log23错误!＝错误!log23>1,b＝log29－log2错误!＝log23错误!＝a，c＝log32<log33＝1，所以a＝b〉c。

(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2〈log b 2〈log c 2，则下列关系中不可能成立的是_______．(填序号）
①a 〈b 〈c ；②b <a 〈c ;③c <b <a ;④a <c 〈b 。

答案 ①
解析 由log a 2〈log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下可能：1〈c <b <a ；0〈a 〈1〈c <b ；0〈b <a <1<c ；0〈c <b 〈a 〈1。

对照选项可知①中关系不可能成立． (4)（2018·全国Ⅲ）设a ＝log 0。

20。

3，b ＝log 20。

3，则（ ) A ．a ＋b <ab 〈0B ．ab <a ＋b 〈0 C ．a ＋b 〈0<ab D ．ab 〈0<a ＋b 答案 B
解析 ∵a ＝log 0。

20。

3>log 0.21＝0，
b ＝log 20。

3<log 21＝0，∴ab <0。

∵错误!＝错误!＋错误!＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0。

30。

4， ∴1＝log 0.30。

3>log 0。

30.4>log 0.31＝0， ∴0<
a ＋b
ab
<1，∴ab 〈a ＋b 〈0。

（5）已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞）时，f （x ）＝|log 2x ｜，若a ＝f (－3），b ＝f 错误!，c ＝f （2），则a ,b ，c 的大小关系是． 答案 b 〉a >c
解析 易知y ＝f (x ）是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f 错误!＝|log 2x |,且当x ∈［1，＋∞）时，f （x ）＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f （3)，b ＝f 错误!＝f (4）,所以b >a 〉
c 。

1．log 29·log 34等于( ) A 。

错误!B.错误!C ．2D ．4 答案 D
解析 方法一 原式＝错误!·错误!＝错误!＝4。

方法二 原式＝2log 23·错误!＝2×2＝4。

2．(2018·宁夏银川一中模拟）设a ＝0。

50。

4
，b ＝log 0。

40.3,c ＝log 80。

4，则a ，b ,c 的大
小关系是（ ) A ．a 〈b <c B ．c 〈b <a
C ．c <a 〈b
D ．b <c 〈a 答案 C
解析 ∵0<a ＝0。

5
0。

4
<0。

50
＝1，
b ＝log 0.40。

3〉log 0.40.4＝1，
c ＝log 80。

4〈log 81＝0,
∴a ，b ，c 的大小关系是c <a <b .
3．已知函数f (x )＝错误!则f (f （1））＋f 错误!的值是( ) A ．5B ．3C ．－1D.错误! 答案 A
解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0，
f （f （1))＝f （0）＝30＋1＝2， f 错误!＝3
31
log log 22
3
13－＋＝＋1＝2＋1＝3，
所以f （f (1)）＋f 错误!＝5。

4．函数f （x ）＝错误!（0<a 〈1）的大致图象是( )
答案 C
解析 当x 〉0时，f (x )＝log a x 单调递减，排除A ，B ；当x 〈0时,f (x ）＝－log a （－x ）单调递减，排除D.故选C 。

5．已知函数f (x )＝ln 错误!，若f 错误!＋f 错误!＋…＋f 错误!＝1009（a ＋b ），则a 2
＋b 2
的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B
解析 ∵f (x ）＋f （e －x )＝2， ∴f 错误!＋f 错误!＋…＋f 错误!＝2018, ∴1009(a ＋b ）＝2018,∴a ＋b ＝2. ∴a 2
＋b 2
≥错误!＝2， 当且仅当a ＝b ＝1时取等号．
6．若函数f (x )＝log a 错误!(a >0,a ≠1)在区间错误!内恒有f (x )>0，则f （x )的单调递增区
间为( ）
A ．(0,＋∞）
B ．（2,＋∞)
C ．（1，＋∞） D.错误!
答案 A
解析 令M ＝x 2
＋错误!x ，当x ∈错误!时，M ∈（1，＋∞），f (x ）>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数,又M ＝错误!2－错误!，
因此M 的单调递增区间为错误!。

又x 2＋错误!x >0，所以x >0或x <－错误!，
所以函数f （x )的单调递增区间为(0，＋∞）．
7．已知a >b >1。

若log a b ＋log b a ＝错误!，a b ＝b a ，则a ＝,b ＝。

答案 4 2
解析 令log a b ＝t ，∵a >b 〉1,∴0〈t <1，由log a b ＋log b a ＝错误!，得t ＋错误!＝错误!，解得t ＝错误!或t ＝2（舍去）,即log a b ＝错误!，∴b ＝错误!，又a b ＝b a ，∴a a ＝（错误!）a ，即a a ＝2
a
a ，即a ＝错误!，解得a ＝4，∴
b ＝2。

8．设函数f （x )＝错误!则满足f （x )≤2的x 的取值范围是．
答案 [0，＋∞)
解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；
当x 〉1时，由1－log 2x ≤2,解得x ≥错误!，所以x 〉1。

综上可知x ≥0。

9．设实数a ，b 是关于x 的方程｜lg x ｜＝c 的两个不同实数根,且a 〈b 〈10，则abc 的取值范围是．
答案 （0，1)
解析 由题意知，在（0，10）上，函数y ＝|lg x ｜的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0〈c <lg10＝1，∴abc 的取值范围是（0，1）．
10．已知函数f (x )＝ln 错误!，若f (a ）＋f （b )＝0，且0〈a 〈b 〈1，则ab 的取值范围是．
答案 错误!
解析 由题意可知ln 错误!＋ln 错误!＝0，
即ln 错误!＝0,从而错误!×错误!＝1，
化简得a ＋b ＝1，
故ab＝a(1－a）＝－a2＋a＝－错误!2＋错误!，
又0<a〈b〈1，
∴0<a〈错误!，故0〈－错误!2＋错误!〈错误!。

11．设f（x）＝log a（1＋x）＋log a(3－x)(a>0，且a≠1)，且f（1)＝2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2）求f（x）在区间错误!上的最大值．
解（1）∵f(1）＝2，∴log a4＝2(a〉0，且a≠1）,
∴a＝2。

由错误!得－1〈x<3，
∴函数f（x）的定义域为（－1,3）．
(2）f（x）＝log2(1＋x）＋log2(3－x）
＝log2［（1＋x）(3－x)]＝log2［－（x－1)2＋4］,
∴当x∈(－1,1］时，f(x）是增函数；
当x∈（1，3)时，f（x）是减函数,
故函数f(x）在错误!上的最大值是f(1）＝log24＝2.
12．(2018·长沙模拟)已知函数f（x）是定义在R上的偶函数,f(0)＝0，当x>0时,f（x) log x.
＝
1
2
（1)求函数f（x)的解析式;
(2)解不等式f(x2－1)〉－2.
解(1)当x<0时，－x>0，
log(－x)．
则f(－x）＝
1
2
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x）＝f（x)．
log（－x)，
所以x<0时，f(x)＝
1
2
所以函数f(x)的解析式为
f（x）＝错误!
log4＝－2，f（x）是偶函数，
(2)因为f（4)＝
1
2
所以不等式f（x2－1）>－2可化为f(｜x2－1｜）>f（4)．
又因为函数f(x）在（0,＋∞）上是减函数，所以0〈|x2－1|<4，解得－错误!〈x〈错误!且x≠±1，
而x2－1＝0时，f（0)＝0〉－2,所以x＝1或x＝－1。

所以－5〈x< 5.
所以不等式的解集为{x|－错误!〈x〈错误!}．
13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与错误!最接近的是( ）
（参考数据:lg3≈0。

48)
A ．1033
B ．1053
C ．1073
D ．1093
答案 D
解析 由题意，lg 错误!＝lg 错误!＝lg3361－lg1080
＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93。

28。

又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93， 故与M N 最接近的是1093。

故选D.
14．已知函数f （x ）＝log a (2x －a ）在区间错误!上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A 。

错误!B.错误!C 。

错误!D 。

错误!
答案 A
解析 当0〈a <1时，函数f （x )在区间错误!上是减函数，所以log a 错误!>0，即0〈错误!－a <1，解得13
<a <错误!,故错误!〈a 〈1；当a >1时，函数f (x ）在区间错误!上是增函数，所以log a (1－a ）>0，即1－a >1，解得a 〈0,此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是错误!。

15．若函数f (x ）＝log a (x 2－x ＋2）在区间［0，2]上的最大值为2，则实数a ＝。

答案 2
解析 令u （x )＝x 2－x ＋2,则u (x )在［0，2]上的最大值u (x ）max ＝4，最小值u （x )min ＝74。

当a >1时,y ＝log a u 是增函数,f （x ）max ＝log a 4＝2，得a ＝2；
当0〈a 〈1时，y ＝log a u 是减函数，f （x )max ＝log a 错误!＝2，得a ＝错误!(舍去）．故a ＝2。

16．已知函数f （x )＝lg 错误!。

(1）计算：f （2020）＋f （－2020);
（2)对于x ∈［2,6]，f (x ）<lg 错误!恒成立，求实数m 的取值范围．
解 （1）由错误!>0，得x 〉1或x 〈－1。

∴函数的定义域为｛x ｜x >1或x <－1}．
又f (x ）＋f （－x ）＝lg 错误!＝0，∴f (x )为奇函数．故f （2020)＋f （－2020)＝0。

(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lg 错误!恒成立可化为错误!〈错误!恒成立．
即m 〉(x －1）（7－x )在[2，6］上恒成立．
又当x ∈［2，6］时，（x －1)（7－x ）＝－x 2＋8x －7＝－（x －4)2＋9。

∴当x＝4时,[(x－1）（7－x)］max＝9,∴m>9。

即实数m的取值范围是(9，＋∞）．。