7.6光学之圆孔夫琅禾费衍射和瑞利判据

当两个点光源 相距较近时， 通过圆孔衍射 的总光强只有 一个峰或者有 两个相距很近 的峰，这时无 法分辨出两个 点光源。
当两个点光源恰好能分 辨时，总光强有两个明 显的峰，两峰之间有一 个较低的“鞍”点。
当两个点光源相距较远时， 总光强仍然有两个明显的 峰，峰的高度基本不变， 但中间的“鞍”点更低， 能够分辨两个光点。
λ θ1 = arcsin(0.61 )
a
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爱里斑角半径 就是第1级暗 环的衍射角。
圆孔衍射光强的曲面是轴对称的，中央明斑的 光强相对很大，一级明环的光强相对很小。
在圆孔的夫 琅禾费衍射 图中，中央 是明斑，称 为爱里斑。
爱里斑中 心的光强 最大，其 他明环的 强度迅速 降低。
*{范例7.6} 圆孔夫琅禾费衍射和瑞利判据
红色外面 是紫色和 蓝色等， 这都是次 级明纹。
*{范例7.6} 圆孔夫琅禾费衍射和瑞利判据
(3)两个强度和波长都相同的光点关于圆孔对称分布，单色光 通过圆孔产生的衍射图样叠加结果如何？说明瑞利判据。 [解析](3)光源上一个光点发出的光通过圆孔后，由于 存在衍射，不能聚集为一个点，而主要是一个亮斑。 两个点光源发出的光通过圆孔后，就形成两个亮斑。 如果两个点光源相距很近，两个亮斑就重 叠得比较多，从而无法分辨出两个点光源。 这就是瑞 利判据。
根据光强导数的分子 曲线可知：圆孔衍射 的光强导数的零点坐 标asinθ/λ分别为0.817， 1.34和1.85，这也是次 峰的横坐标。
圆孔衍射的光强曲 线与单缝衍射的光 强曲线类似，但是 次级明纹的强度更 加低，三个次极大 的相对强度分别为 0.0175、0.00416和 0.0016。
第1级暗环 的条件为 asinθ1/λ = 0.61，第1 级暗纹的衍 射角为
利用公式J'n(x) = [Jn - 1(x) - Jn + 1(x)]/2，可得
dI du
J1 (u ) 8 I 0 3 {u[J 0 (u ) − J 2 (u )] / 2 − J1 (u )} u
其中，J0是零阶贝塞尔函数，J2是二阶贝塞尔函数。 对于分子部分u[J0(u) – J2(u)]/2 – J1(u)， 其零点处的u值就是其他明纹的最强处。
当一个点光源形成的亮斑中央与另一个点光源形成的第1级暗 纹重叠时，另一个点光源形成的亮斑中央也与前一个点光源形 成的第1级暗纹重叠，正常的人眼刚好能够分辨两个光点的像。 这时，两个点光源对圆孔 θ = θ= arcsin(0.61 λ ) ≈ 1.22 λ R 1 所张的角为最小分辨角 a d d是圆孔的直径。
*{范例7.6} 圆孔夫琅禾费衍射和瑞利判据
(1)波长为λ的平行单色光，垂直通过半径为a的圆孔。在什么 地方光强最大？衍射条纹的分布规律是什么？是什么颜色？
I = I0[ 2J1 (u ) 2 ] u
u = 2πasinθ/λ
′ 为了计算中央明斑之外其他明纹最 dI = 8 I J1 (u ) uJ1 (u ) − J1 (u ) 0 大强度的所在处，对光强求导数得 du u u2
*{范例7.6} 圆孔夫琅禾费衍射和瑞利判据
(1)波长为λ的平行单色光，垂直通过半径为a的圆孔。在什么 地方光强最大？衍射条纹的分布规律是什么？ (2)紫光、蓝光、青光、绿光、黄光和红光的波长分别为 400nm、440nm、480nm、540nm、610nm和760nm，当这些 光同时通过圆孔时，混合光衍射的光斑和条纹是什么颜色？ (3)两个强度和波长都相同的光点关于圆孔对称分布，单色光 通过圆孔产生的衍射图样叠加结果如何？说明瑞利判据。 [解析](1)根据光学理论，平行单色光垂直通过半 I = I [ 2J1 (u ) ]2 0 u 径为a的圆孔后，产生夫琅禾费衍射的光强为 其中，I0是最大光强，J1为一阶贝塞尔函数， u = 2πasinθ/λ，θ为衍射角。 贝塞尔函数的零点处是光强最暗的地方。
*{范例7.6} 圆孔夫琅禾费衍射和瑞利判据
(3)两个强度和波长都相同的光点关于圆孔对称分布，单色光 通过圆孔产生的衍射图样叠加的结果如何？说明瑞利判据。 设两个点光源的强度相同，产生的光强分别为 2J1 (u1 ) 2 2J (u ) I 2 = I 0 [ 1 2 ]2 I1 = I 0 [ ], u2 u1 其中，u1 = 2πasinθ1/λ，u2 = 2πasinθ2/λ， θ1和θ2为两个点光源的衍射角。 总光强为 I = I1 + I 2 = I 0 [
2J1 (u1 ) 2 2J1 (u2 ) 2 ] + I0[ ]. u1 u2
当两个点光源恰好能分辨时，中间的 光强只有一个光点最大光强的73.5%。 当两个点 光源相距 较近时， 通过圆孔 衍射，中 心的光强 与爱里斑 中心的光 强差不多， 这时无法 分辨出两 个点光源。 当两 个点 光源 较远 时， 通过 圆孔 衍射， 中间 的光 强较 小， 能够 分辨 两个 光点。
(2)紫光、蓝光、青光、绿光、黄光和红光的波长分别为 400nm、440nm、480nm、540nm、610nm和760nm，当这些 光同时通过圆孔时，混合光衍射的光斑和条纹是什么颜色？ [解析](2)单色光的波长越长，爱里斑的角半径就越大。 当各种波长的单色光混合之后，将出现彩色光谱。
当多种光混 合在一起通 过圆孔时， 中央明斑的 中间部分为 白色，这是 各种光混合 的结果； 白色外面是 黄色，这是 因为缺少紫 色和蓝色； 黄色外面是 红色，这是 因为缺少了 其他颜色； 离中心越远，光环的亮度越暗。