动量守恒十模型

【名师解析】 (1)设球 b 的质量为 m2，细线长为 L，球 b 下落至最低点，但未与球 a 相碰时的速率为 v，由机械能守恒 定律得
m2gL＝ m2v2
1 2
①
式中 g 为重力加速度的大小．设球 a 的质量为 m1，在两球碰后的瞬间，两球的共同速度为 v′，以向左为正方向， 由动量守恒定律得
m2v＝(m1＋m2)v′
②
设两球共同向左运动到最高处时，细线与竖直方向的夹角为 θ ，由机械能守恒定律得 1 (m1＋m2)v′2＝(m1＋m2)gL(1－cosθ ) 2 联立①②③式得 ＝ ③ ④
m1 m2 m1 m2
1 －1 1－cosθ ⑤
代入题给数据得 ＝ 2－1.
(2)两球在碰撞过程中的机械能损失为
Q＝m2gL－(m1＋m2)gL (1－cosθ )
图6 (1)滑块 a、b 的质量之比； (2)整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之 比．
【解析】 (1)设 a、b 的质量分别为 m1、m2，a、b 碰撞前的速度为 v1、v2. 由题给图象得 v1＝－2 m/s v2＝1 m/s a、b 发生完全非弹性碰撞，碰撞后两滑块的共同速度为 v. ① ②
2.25 10 △m= QxM + m = +m mv m
2
2.25 102 = ，即 m
m=0.15 kg 时，△m 有极小值，故总耗氧量最低时，应一次喷
出 m=0.15 kg 的氧气。 将 m=0.15 kg 代入①②两式可解得返回时间：t=600 s。
• 【点评】若向前瞬时喷出微量 气体，根据动量定理，则受到 一个向后的瞬时作用力，具有 一个瞬时加速度，获得一个速 度后退。若向前持续喷出气体， 则获得一个向后的持续力，具 有持续的加速度。
【点评】此题涉及两个模型，子弹打木块模型和轻弹簧模 型。子弹打木块模型，一定有机械能损失，损失的机械能 等于系统动能之差， 也等于子弹所受阻力乘以子弹打入木 块的深度（若子弹从木块穿出，则损失的机械能等于子弹 所受阻力乘以木块长度） 。
【名师解析】 炮弹射出后根据竖直上抛规律计算出初速度， 再由射出过程中系统动量守恒可计算出相关速 度和物理量 设炮弹止升到达最高点的高度为 H,根据匀变速直线运动规律,有： „„1 分 解得， =180m„„„1 分 设质量为 M 的弹片刚爆炸后，其中质量为 m 的一块的速度为 ,另一块的速度为 ,根据动量 守恒定律,有： „„2 分
2017高考物理动量守恒定律10个模型
1、碰撞模型 2、爆炸模型 3、反冲模型 4、子弹打木块模型 5、人船模型 6、弹簧连接体模型 7、物块板叠放体模型 8、多次碰撞模型 9、临界模型 10、多体作用模型
一．碰撞模型
【模型解读】
• 1、在碰撞的瞬间，相互作用力很大， 作用时间很短，作用瞬间位移为零， 碰撞前后系统的动量守恒。 • 2、无机械能损失的弹性碰撞，碰撞后 系统的动能之和等于碰撞前系统动能 之和。 • 3、碰撞后合为一体的完全非弹性碰撞， 机械能损失最大。
⑥
1 联立①⑥式，Q 与碰前球 b 的最大动能 Ek(Ek＝ m2v2)之比为 2
Q m1＋m2 ＝1－ (1－cosθ ) ⑦ Ek m2
联立⑤⑦式，并代入题给数据得 ＝1－
Q Ek
2 .⑧ 2
二．爆炸模型
【模型解读】
爆炸是在极短时间内完成的， 爆炸时物体之间的相 互作用力远远大于系统所受外力，系统动量守恒。 在爆炸过程中，由于有其它形式的能量（炸药的化 学能）转化为机械能，爆炸过程中系统动能一定增 加。
例 1：连同炮弹在内的炮车停放在水平地面上，炮车 质量为 M,炮膛中炮弹质量为 m,炮车与地面间的动摩 擦因数为 μ ,炮筒的仰角为 α ,设炮弹以相对于炮筒 的速度 v0 射出,那么炮车在地面上后退多远?
【名师解析】：在发炮瞬间，炮车与炮弹组成的系统在水平方向上动量守恒． ，
所以
．
发炮后，炮车受地面阻力作用而做匀减速运动，利用运动学公式，
，其中
，
，
所以
．
例题:2：一个连同装备总质量为 M=100kg 的宇航员， 在距离飞船 x=45m 处与飞船处于相对静止状态，宇航 员背着装有质量为 m0=0.5 kg 氧气的贮气筒。筒上装有 可以使氧气以 v=50 m/s 的速度喷出的喷嘴，宇航员必 须向着返回飞船的相反方向放出氧气，才能回到飞船， 同时又必须保留一部分氧气供途中呼吸用，宇航员的 耗氧率为 Q=2.5³10-4 kg/s，不考虑喷出氧气对设备及 宇航员总质量的影响，则： (1)瞬时喷出多少氧气，宇航员才能安全返回飞船？ (2)为了使总耗氧量最低，应一次喷出多少氧气？返回 时间又是多少？
例题 1：如图所示，水平面上 OM 正中间有质量分别为 2m、m 的两物块 B、C （中间粘有炸药） ，现点燃炸药，B、C 被水平 弹开，物块 C 运动到 O 点时与刚好到达该点速度为 v0 的小物 块 A 发生迎面正碰，碰后两者结合为一体向左滑动并刚好在 M 点与 B 相碰，不计一切摩擦，三物块均可视为质点，重力 加速度为 g=10m/s2，求炸药点燃后释放的能量 E．
【名师解析】 1 2 Hale Waihona Puke Baiduv0>μ mgl 2
2 v0 即μ < 。 2gl
设物块与地面间的动摩擦因数为 μ 。若要物块 a、b 能够发生碰撞，应有 ① ②
设在 a、b 发生弹性碰撞前的瞬间，a 的速度大小为 v1。由能量守恒定律得 1 2 1 2 mv0＝ mv1＋μ mgl 2 2 ③
设在 a、b 碰撞后的瞬间，a、b 的速度大小分别为 v1′、v2′，由动量守恒和能量守恒有
由题给图象得 2 v＝3 m/s 由动量守恒定律得 m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v 联立①②③④式得 m1∶m2＝1∶8. ⑤ ④ ③
(2)由能量守恒得，两滑块因碰撞而损失的机械能为 1 1 1 2 2 ΔE＝2m1v2 ＋ m v － ( m 1 2 2 1＋m2)v 2 2 ⑥
由图象可知，两滑块最后停止运动．由动能定理得，两滑块克服摩擦力所 做的功为 1 W＝2(m1＋m2)v2 联立⑥ 代入题给数据得 W∶ΔE＝1∶2. 【答案】 (1)1∶8 (2)1∶2 ⑧ ⑦ ⑦式， 并
例 1：如图所示，在光滑水平地面上的木块 M 紧挨轻弹簧靠 墙放置。子弹 m 以速度 v0 沿水平方向射入木块并在极短时 间内相对于木块静止下来，然后木块压缩劲度系数未知弹 簧至弹簧最短．已知子弹质量为 m，木块质量是子弹质量的 9 倍，即 M=9m；弹簧最短时弹簧被压缩了△x；劲度系数为
2 k、形变量为 x 的弹簧的弹性势能可表示为 Ep= 1 kx 。求： 2
• 【点评】凡是内力瞬时做功， 使系统机械能瞬时增大的都可 以归纳为爆炸模型。在“爆炸” 过程中，动量守恒，内力瞬时 做功等于系统增大的机械能。
例 2：有一炮竖直向上发射炮弹,炮弹的质量为 M=6.0kg(内含炸药的质量可以忽略不计 ),射出时的初 速度 v0=60m/s。当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方 向运动的两片,其中一片质量为 m=4.0kg。现要求这一 片不能落到以发射点为圆心、以 R=600m 为半径的圆周 范围内 , 则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大？ ( ,忽略空气阻力)
设质量为 的弹片运动的时间为 ,根据平抛运动规律,有： „„1 分 解得，v=100m/s, V=200m/s„„„2 分（各 1 分） 炮弹刚爆炸后,两弹片的总动能 „„1 分 代入数值得 „„„1 分 „„1 分
例 3：从地面竖直向上发射一枚礼花弹，当上升速度 为 30 m／s 时，距地面高度为 150 m，恰好此时礼花 弹炸开，分裂成质量相等的两部分，其中一部分经 5 s 落回发射点，求： （1）另一部分炸开时的速度. (2) 另一部分落点位置和落回地面的时间。
四．子弹打木块模型
【模型解读】
• 若木块不固定，子弹打木块过程中，子弹与木块 的作用力远大于木块所受阻力，系统动量守恒。 子弹打木块过程中，子弹和木块的位移不同，二 者相互作用，导致系统机械能减小，减小的机械 能转化为内能。对于子弹打木块问题，若计算相 互作用前后的速度，可利用动量守恒定律列方程 解答；若涉及相互作用的时间，一般需要利用动 量定理列方程解答；若涉及子弹打入木块的深度， 一般需要分别对子弹和木块分别运用动量定理列 方程解答。
联立②⑧式，a 与 b 发生碰撞、但没有与墙发生碰撞的条件
32 v2 0 v2 0 ≤μ < 。 113gl 2gl
例 2．两滑块 a、b 沿水平面上同一条直线运动，并发生碰撞；碰撞后两者 粘在一起运动；经过一段时间后，从光滑路段进入粗糙路段．两者的位置 x 随 时间 t 变化的图象如图 6 所示．求：
例 3：如图 5－4 所示，一对杂技演员(都视为质点)荡秋千(秋 千绳处于水平位置)从 A 点由静止出发绕 O 点下摆，当摆到最 低点 B 时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然 后自己刚好能回到高处 A。求男演员落地点 C 与 O 点的水平距 m1 离 x。已知男演员质量 m1 和女演员质量 m2 之比 ＝2，秋千的 m2 质量不计，秋千的摆长为 R，C 点比 O 点低 5R。
【解析】 (1)由题述可知所求的喷出氧气的质量 m 应有一个范围，若 m 太小，宇航员获得 的速度也小，虽贮气筒中剩余的氧气较多，但由于返回飞船所用的时间太长，将 无法满足他途中呼吸所用，若 m 太大，宇航员获得的速度虽然大了，而筒中氧气 太少，也无法满足其呼吸作用，所以 m 对应的最小和最大两个临界值都应是氧气 恰好用完的情况，设瞬间喷气 m kg 时，宇航员恰能安全返回，根据动量守恒定 律可得： mv=MV ① ② ③ ④ 宇航员匀速返回的时间为 t=x/V 贮气筒中氧气的总质量：m0≥m+Qt 代入数据可得 0.05 kg≤m≤0. 45 kg (2)当总耗氧量最低时，宇航员安全返回，共消耗氧气△m，则△m=m+Qt 由①②④可得 当m
例 1．如图，水平地面上有两个静止 的小物块 a 和 b，其连线与墙垂直； a 和 b 相距 l，b 与墙之间也相距 l； 3 a 的质量为 m，b 的质量为 m。两物块与地面间的动摩擦因数 4 均相同。现使 a 以初速度 v0 向右滑动。此后 a 与 b 发生弹性 碰撞，但 b 没有与墙发生碰撞。重力加速度大小为 g。求物 块与地面间的动摩擦因数满足的条件。
例 3．如图，小球 a、b 用等长细线悬挂于同一固定点 O. 让球 a 静止下垂，将球 b 向右拉起，使细线水平．从静止 释放球 b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖 直方向之间的最大偏角为 60°.忽略空气阻力，求： (1)两球 a、b 的质量之比； (2)两球在碰撞过程中损失的机械能与球 b 在碰前的最 大动能之比．
（2）另一部分做竖直上抛运动，落回到抛出点。
2 由- h=v2t2- 1 gt 2 ， 2
解得：t2= 13 2 289 s。 舍弃负值，得 t2= 13 2 289 s。
• 例4：
三．反冲模型
【模型解读】
• 物体的不同部分在内力作用下向相反方向 的运动，称为反冲。反冲的特点是物体间 相互作用的内力大，在外力远远小于内力 情况下，可以认为动量守恒。常见的反冲 现象有：喷气式飞机的运动，火箭的运动， 放射性元素的衰变等。
mv1＝mv1′＋ mv2′
3 4
④ ⑤ ⑥ ⑦
1 2 1 1 3 mv1＝ mv1′2＋ ² mv2′2 2 2 2 4 联立④⑤式解得 8 v2′＝ v1 7
1 3 3m 2 由题意，b 没有与墙发生碰撞，由功能关系可知 ² mv2′ ≤μ ² gl 2 4 4 联立③⑥⑦式，可得 μ ≥ 32 v2 0 113gl ⑧
（i）子弹射入木块到刚相对于木块静止的过程中损失的机 械能； （ii）弹簧的劲度系数。
（2）设弹簧的劲度系数为 k，根据题述，弹簧最短 时弹簧被压缩了△x，其弹性势能可表示为
Ep= 12 k(△x)2
木块压缩轻弹簧过程，由机械能守恒定律，
1 2
(m+M)v2=Ep
2 mv0 2
解得：弹簧的劲度系数 k= 10 x