两角和与差的正切公式

两角和与差的正切公式

一、选择题

1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322

C.322

D.318

解析：选C ∵tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫β－π4＝14，

∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤

(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4

＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14

＝322

.

2．已知1－tan α1＋tan α＝2，则tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫

α＋π4的值是( )

A ．2

B ．－2

C.12 D ．－12

解析：选C 法一：由1－tan α

1＋tan α＝2，得tan α＝－13.

∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－13＋1

1－⎝ ⎛

⎭⎪⎫－13×1

＝

12.

法二：∵1－tan α1＋tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋1

1－tan α＝12.

3．在△ABC 中，若tan A tan B >1，则△ABC 的形状是( )

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．直角三角形

D ．不能确定

解析：选A 由tan A tan B >1，知tan A >0，tan B >0，从而A ，B 均为锐角．

又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B

1－tan A tan B

<0，即tan C ＝－tan(A ＋B )>0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．

4.tan 10°＋tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°

的值等于( ) A ．－1

B ．1 C. 3 D ．－ 3 解析：选D ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°

， ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°.

∴原式＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°

＝－ 3.

5．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( )

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2

解析：选C 由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，

(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，

故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.

二、填空题

6．tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________. 解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°·(tan 20°＋tan 10°)

＝tan 10°tan 20°＋ 3 [tan(20°＋10°)·(1－tan 20°tan 10°)]

＝tan 10°tan 20°＋3×

3

3(1－tan 20°tan 10°)

＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°

＝1.

答案：1

7．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________.

解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝

2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β

1－tan αtan β

＝－1，

即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－π

4，k∈Z.

答案：kπ－π

4，k∈Z

8．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________. 解析：由已知得：

sin θcos 24°＋cos θsin 24°＝cos 24°cos θ＋sin θsin 24°

⇒(sin θ－cos θ)(cos 24°－sin 24°)＝0

⇒sin θ＝cos θ⇒tan θ＝1，

∴tan(θ＋60°)＝1＋3

1－3＝－2－ 3.

答案：－2－ 3

三、解答题

9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始

边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，

B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，25

5.

(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求α＋2β的值．

解：由条件得cos α＝210，cos β＝25

5.

∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝72

10，

sin β＝1－cos 2β＝5

5.

因此tan α＝7，tan β＝1

2.

(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝

7＋1

21－7×12

＝－3.

(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]

＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝－3＋1

2

1－(－3)×12

＝－1，

又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2

β＝3π

4.