系统的瞬态响应与误差分析
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xo (t ) 1 e
t T
, t0
xo (t ) 1 e
t T
, t0
xo(t) 1
斜率=1wenku.baidu.comT
xo (t ) 1 e t / T
B
86.5%
99.3%
5T
98.2%
0
63.2%
1T
2T
3T
4T
99.8% 6T
0.632
A
95%
t
一阶系统单位阶跃响应的特点
将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：
e
t T
1 xo (t )
1 t ln1 xo (t ) T
即ln[1-xo(t)]与时间t成线性关系。 该性质可用于判别系统是否为
ln[1-xo(t)]
0 t
惯性环节，以及测量惯性环节的时 间常数。
二、一阶系统的单位速度响应
1 G (s) ， Ts 1
xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；
dxo (t ) 1 2 dt t 0 T
对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽 度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。
一阶系统的时间响应
时间响应：系统在典型输入信号的作用下之输出。 1.单位阶跃响应
1
xi (t )
1
xi (t )
xi (t )
0
t
0
t
0
t
xi (t )
xi (t )
t
0 0
t
二、对典型输入信号的要求
能够反映系统工作在最不利的情形； 形式简单，便于解析分析； 实际中可以实现或近似实现。
常用的典型输入信号的数学表达
名 单位阶跃信号 单位速度(斜坡)信号 称 时域表达式 1(t)，t0 t， t0
p1、p2 n n 2 1
s1 p1、s2 p2
c1 1
c2 1 2(1 2 1 2 ) 1
c3
2(1 2 1 2 )
3. 过阻尼（ > 1）状态
xo (t ) 1
第四章
系统的瞬态响应与误差分析
本章主要内容
一、典型输入信号
二、一阶系统的时间响应 三、二阶系统的时间响应
※ 四、高阶系统的时间响应 五、误差分析和计算 六、稳定性分析
教学目的： 1.掌握一阶、二阶系统在典型输入信号作用下的时域响
应和时域性能指标。
2.了解高阶系统时域响应的特点。 3.掌握系统误差的概念和计算稳态误差的方法。
2
e
2
n t 2
e
e
n t
1
sin d t
1
n t
( 1 cos d t sin d t )
1 2
sin(d t )，t 0
2
d n 1
arctg
1 2
xo (t ) 1
e nt 1 2
xo (t ) 1 e
xo (t )
1
t T
2.单位速度响应
xo (t ) t T Te
x0 (t )
t T
3.单位脉冲响应
1 T xo (t ) e , t 0 T
x0 (t )
1 T
t
, t0
, t0
xi (t )
T T
t
0 0
t
t 4T
0
t
四、线性定常系统时间响应的性质 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者
D(s) s 2n s 0
2 2 n
p1, 2 n n 2 1 极点（特征根）：
1. 欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0<<1
具有一对共轭复数极点：
p1,2 n jn 1 2 n jd
其中：d n 1 2 称为有阻尼振荡频率。
响应分为两部分
瞬态响应： e
t T
xo (t ) 1 e
t T
, t0
表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）
稳 态 响 应1 ：
表示t时，系统的输出状态。
e(t ) xi (t ) xo (t ) e t T
e() 0 xo(0) = 0，xo() = 1 无稳态误差；随时间的推移， xo(t) 指数增大，且无振荡。
1 输入信号：单位阶跃 1(t), 其拉氏变换为： X i ( s) s
由传递函数的定义可得到二阶系统的输出为：
2 n X 0 ( s) G( s) X i ( s) 2 s(s 2 2n s n )
1. 欠阻尼（0< <1）状态
2 n s 2n 1 X 0 ( s) 2 2 2 2 s( s 2n s n ) s s 2n s n s n n 1 令：d n 1 2 2 s ( s n ) 2 n (n ) 2 2
2. 临界阻尼二阶系统： 3. 过阻尼二阶系统：
＝1
s j
j
具有两个相等的负实数极点： p1,2 n
>1
d
n
n
具有两个不相等的负实数极点：
0
p1, 2 n n 1
2
d
4. 零阻尼二阶系统：＝0
s
2 2 2n s n
三、 一阶系统的单位脉冲响应
x0 (t )
1 T
X i ( s) 1
1 1 X o ( s) G( s) T s 1 T
斜率：
1 T2
1 0.368 T
1 xo (t ) T
t
t e T
, t 0
0
T
一阶系统单位脉冲响应的特点
瞬态响应：(1/T )e – t /T ；稳态响应：0；
xi (t ) t
X i ( s) 1 s
2
x0 (t )
xi (t )
X o (s) G (s) X i (s) 1 1 1 T T 2 2 Ts 1 s s s s 1 T
xo (t ) t T Te
稳态响应： T t
t T
t
0
, t0
瞬态响应： t T Te
2
xo (t ) 1
e nt 1
2
sin( d t )
的正弦振荡。
其振幅衰减的快慢由 和n决定。阻尼振荡频率为：
d n 1
2
振荡幅值随 减小而加大。
2. 临界阻尼（ = 1）状态 具有两个相等的负实数极点： p1,2 n
2 2 n n n 1 1 X 0 ( s) 2 2 2 s(s 2n s n ) s(s n ) s s n (s n ) 2
xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T，系统响应达到其
稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时
间常数T；
dxo (t ) 1 dt t 0 T
时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线 达到并保持在稳态值的95%～98%时，认为系统响应过程基本 结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。
4.掌握系统稳定的概念和分析、判别系统稳定的方法。
重点：二阶系统的时域响应及其性能指标。
难点：二阶系统时域响应的数学表达式。
时间响应
任一系统的时间响应都是由瞬态响应或 稳态响应两部分组成。 瞬态响应：系统受到外加作用力激励后， 从初始状态到最终状态的响应过程。 稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的 输出状态。 瞬态响应反映了系统动态性能，而稳态 响应偏离系统希望值的程度可用来衡量系统 的精确程度。
1 2 t , 2 t0
复数域表达式
1 s 1
s2 1
单位加速度信号
单位脉冲信号 正弦信号
s3
(t)，t=0
Asint
1
A s2 2
三、典型输入信号的选择原则
脉冲信号：模拟系统突遭脉动电压、机械碰撞、敲打冲击等；
阶跃信号：实际系统的输入具有突变性质，例：模拟电源突然
接通、负荷突然变化、指令突然转换等； 速度信号：实际系统的输入随时间逐渐变化（匀速变化）。 保证典型输入信号与实际输入信号有着良好的对应关系， 且代表最恶劣的输入情况，因此，当系统的设计基于典型信 号来进行时，那么在实际输入的情况下，系统响应特性一般 是能够满足要求的。 注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域 分析法所表示的系统本身的性能不会改变。
j
s j
0
n
n
0
n
具有一对共轭虚极点：
p1,2 jn
5. 负阻尼二阶系统： < 0
p1, 2 n n 2 1
n
极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。
x0 (t ) Ae
nt
sin(d t )
二、二阶系统的单位阶跃响应
时域分析的目的
在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系
统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控
制性能。 优点：直观、简便
§4.1 典型输入信号
在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制
性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立
分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输
入信号。
一、典型输入信号
反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。
注意到：
1 T xo (t ) e T
d (t ) 1(t ) dt t d 1(t ) (t ) xo1 (t ) 1 e T dt t d 1 2 t ( t ) xot (t ) t T Te T dt 2
d
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
s n d 1 X 0 ( s) 2 2 2 2 s (s n ) d (s n ) 2 d 1
xo (t ) 1 e xo (t ) 1
xo (t ) 1
式中，
n t
cos d t
§4.3 二阶系统的时间响应
二阶系统：（凡是能够用二阶微分方程描述的系统） 2 n 1 G( s) 2 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2n s n 其中：T 为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期。
称为阻尼比；
n＝1/T 为系统的无阻尼固有频率。
一、二阶系统的特征方程：
一阶系统单位速度响应的特点
xo (t ) t T
t Te T
x0 (t )
xi (t )
T T
, t0
经过足够长的时间(稳态时， 如：t 4T)，输出增长速率近似 与输入相同，此时输出为：t – T，即输出相对于输入滞后时 间T； 系统响应误差为：
t
0
t 4T
e(t ) xi (t ) xo (t ) T (1 e t T ) e() T
t
d xo (t ) xo1 (t ) dt d xo1 (t ) xot (t ) dt
即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号 这种输入－输出间的积 响应的导数。系统对输入信号积分的响应等于系统对该 分微分性质对任何线性 输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。 定常系统均成立。
sin( d t )
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
=0.2 =0.4 =0.6 =0.8
5
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
t
10
15
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点 xo() = 1，无稳态误差；
瞬态分量为振幅等于
e nt 1
xo (t ) 1 (1 nt )ent , t 0
xo(t)
特点
1
●单调上升，无 振荡、无超调；
● xo () = 1， 无稳态误差。
t
0
3. 过阻尼（ > 1）状态
2 n c3 c1 c2 X 0 ( s) 2 2 s(s 2n s n ) s s s1 s s2
§4.2 一阶系统的时间响应
一阶系统：
X i (s)
G (s )
X 0 ( s)
凡是能够用一阶微分方程描述的系统。
1 典型形式： G( s) Ts 1
X i ( s) 1 s
极点（特征根）：-1/T
1 1 s T
一、一阶系统的单位阶跃响应
1 1 1 T X o ( s) G ( s) X i ( s) Ts 1 s s Ts 1
t T
, t0
xo (t ) 1 e
t T
, t0
xo(t) 1
斜率=1wenku.baidu.comT
xo (t ) 1 e t / T
B
86.5%
99.3%
5T
98.2%
0
63.2%
1T
2T
3T
4T
99.8% 6T
0.632
A
95%
t
一阶系统单位阶跃响应的特点
将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：
e
t T
1 xo (t )
1 t ln1 xo (t ) T
即ln[1-xo(t)]与时间t成线性关系。 该性质可用于判别系统是否为
ln[1-xo(t)]
0 t
惯性环节，以及测量惯性环节的时 间常数。
二、一阶系统的单位速度响应
1 G (s) ， Ts 1
xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；
dxo (t ) 1 2 dt t 0 T
对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽 度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。
一阶系统的时间响应
时间响应：系统在典型输入信号的作用下之输出。 1.单位阶跃响应
1
xi (t )
1
xi (t )
xi (t )
0
t
0
t
0
t
xi (t )
xi (t )
t
0 0
t
二、对典型输入信号的要求
能够反映系统工作在最不利的情形； 形式简单，便于解析分析； 实际中可以实现或近似实现。
常用的典型输入信号的数学表达
名 单位阶跃信号 单位速度(斜坡)信号 称 时域表达式 1(t)，t0 t， t0
p1、p2 n n 2 1
s1 p1、s2 p2
c1 1
c2 1 2(1 2 1 2 ) 1
c3
2(1 2 1 2 )
3. 过阻尼（ > 1）状态
xo (t ) 1
第四章
系统的瞬态响应与误差分析
本章主要内容
一、典型输入信号
二、一阶系统的时间响应 三、二阶系统的时间响应
※ 四、高阶系统的时间响应 五、误差分析和计算 六、稳定性分析
教学目的： 1.掌握一阶、二阶系统在典型输入信号作用下的时域响
应和时域性能指标。
2.了解高阶系统时域响应的特点。 3.掌握系统误差的概念和计算稳态误差的方法。
2
e
2
n t 2
e
e
n t
1
sin d t
1
n t
( 1 cos d t sin d t )
1 2
sin(d t )，t 0
2
d n 1
arctg
1 2
xo (t ) 1
e nt 1 2
xo (t ) 1 e
xo (t )
1
t T
2.单位速度响应
xo (t ) t T Te
x0 (t )
t T
3.单位脉冲响应
1 T xo (t ) e , t 0 T
x0 (t )
1 T
t
, t0
, t0
xi (t )
T T
t
0 0
t
t 4T
0
t
四、线性定常系统时间响应的性质 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者
D(s) s 2n s 0
2 2 n
p1, 2 n n 2 1 极点（特征根）：
1. 欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0<<1
具有一对共轭复数极点：
p1,2 n jn 1 2 n jd
其中：d n 1 2 称为有阻尼振荡频率。
响应分为两部分
瞬态响应： e
t T
xo (t ) 1 e
t T
, t0
表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）
稳 态 响 应1 ：
表示t时，系统的输出状态。
e(t ) xi (t ) xo (t ) e t T
e() 0 xo(0) = 0，xo() = 1 无稳态误差；随时间的推移， xo(t) 指数增大，且无振荡。
1 输入信号：单位阶跃 1(t), 其拉氏变换为： X i ( s) s
由传递函数的定义可得到二阶系统的输出为：
2 n X 0 ( s) G( s) X i ( s) 2 s(s 2 2n s n )
1. 欠阻尼（0< <1）状态
2 n s 2n 1 X 0 ( s) 2 2 2 2 s( s 2n s n ) s s 2n s n s n n 1 令：d n 1 2 2 s ( s n ) 2 n (n ) 2 2
2. 临界阻尼二阶系统： 3. 过阻尼二阶系统：
＝1
s j
j
具有两个相等的负实数极点： p1,2 n
>1
d
n
n
具有两个不相等的负实数极点：
0
p1, 2 n n 1
2
d
4. 零阻尼二阶系统：＝0
s
2 2 2n s n
三、 一阶系统的单位脉冲响应
x0 (t )
1 T
X i ( s) 1
1 1 X o ( s) G( s) T s 1 T
斜率：
1 T2
1 0.368 T
1 xo (t ) T
t
t e T
, t 0
0
T
一阶系统单位脉冲响应的特点
瞬态响应：(1/T )e – t /T ；稳态响应：0；
xi (t ) t
X i ( s) 1 s
2
x0 (t )
xi (t )
X o (s) G (s) X i (s) 1 1 1 T T 2 2 Ts 1 s s s s 1 T
xo (t ) t T Te
稳态响应： T t
t T
t
0
, t0
瞬态响应： t T Te
2
xo (t ) 1
e nt 1
2
sin( d t )
的正弦振荡。
其振幅衰减的快慢由 和n决定。阻尼振荡频率为：
d n 1
2
振荡幅值随 减小而加大。
2. 临界阻尼（ = 1）状态 具有两个相等的负实数极点： p1,2 n
2 2 n n n 1 1 X 0 ( s) 2 2 2 s(s 2n s n ) s(s n ) s s n (s n ) 2
xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T，系统响应达到其
稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时
间常数T；
dxo (t ) 1 dt t 0 T
时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线 达到并保持在稳态值的95%～98%时，认为系统响应过程基本 结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。
4.掌握系统稳定的概念和分析、判别系统稳定的方法。
重点：二阶系统的时域响应及其性能指标。
难点：二阶系统时域响应的数学表达式。
时间响应
任一系统的时间响应都是由瞬态响应或 稳态响应两部分组成。 瞬态响应：系统受到外加作用力激励后， 从初始状态到最终状态的响应过程。 稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的 输出状态。 瞬态响应反映了系统动态性能，而稳态 响应偏离系统希望值的程度可用来衡量系统 的精确程度。
1 2 t , 2 t0
复数域表达式
1 s 1
s2 1
单位加速度信号
单位脉冲信号 正弦信号
s3
(t)，t=0
Asint
1
A s2 2
三、典型输入信号的选择原则
脉冲信号：模拟系统突遭脉动电压、机械碰撞、敲打冲击等；
阶跃信号：实际系统的输入具有突变性质，例：模拟电源突然
接通、负荷突然变化、指令突然转换等； 速度信号：实际系统的输入随时间逐渐变化（匀速变化）。 保证典型输入信号与实际输入信号有着良好的对应关系， 且代表最恶劣的输入情况，因此，当系统的设计基于典型信 号来进行时，那么在实际输入的情况下，系统响应特性一般 是能够满足要求的。 注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域 分析法所表示的系统本身的性能不会改变。
j
s j
0
n
n
0
n
具有一对共轭虚极点：
p1,2 jn
5. 负阻尼二阶系统： < 0
p1, 2 n n 2 1
n
极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。
x0 (t ) Ae
nt
sin(d t )
二、二阶系统的单位阶跃响应
时域分析的目的
在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系
统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控
制性能。 优点：直观、简便
§4.1 典型输入信号
在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制
性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立
分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输
入信号。
一、典型输入信号
反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。
注意到：
1 T xo (t ) e T
d (t ) 1(t ) dt t d 1(t ) (t ) xo1 (t ) 1 e T dt t d 1 2 t ( t ) xot (t ) t T Te T dt 2
d
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
s n d 1 X 0 ( s) 2 2 2 2 s (s n ) d (s n ) 2 d 1
xo (t ) 1 e xo (t ) 1
xo (t ) 1
式中，
n t
cos d t
§4.3 二阶系统的时间响应
二阶系统：（凡是能够用二阶微分方程描述的系统） 2 n 1 G( s) 2 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2n s n 其中：T 为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期。
称为阻尼比；
n＝1/T 为系统的无阻尼固有频率。
一、二阶系统的特征方程：
一阶系统单位速度响应的特点
xo (t ) t T
t Te T
x0 (t )
xi (t )
T T
, t0
经过足够长的时间(稳态时， 如：t 4T)，输出增长速率近似 与输入相同，此时输出为：t – T，即输出相对于输入滞后时 间T； 系统响应误差为：
t
0
t 4T
e(t ) xi (t ) xo (t ) T (1 e t T ) e() T
t
d xo (t ) xo1 (t ) dt d xo1 (t ) xot (t ) dt
即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号 这种输入－输出间的积 响应的导数。系统对输入信号积分的响应等于系统对该 分微分性质对任何线性 输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。 定常系统均成立。
sin( d t )
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
=0.2 =0.4 =0.6 =0.8
5
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
t
10
15
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点 xo() = 1，无稳态误差；
瞬态分量为振幅等于
e nt 1
xo (t ) 1 (1 nt )ent , t 0
xo(t)
特点
1
●单调上升，无 振荡、无超调；
● xo () = 1， 无稳态误差。
t
0
3. 过阻尼（ > 1）状态
2 n c3 c1 c2 X 0 ( s) 2 2 s(s 2n s n ) s s s1 s s2
§4.2 一阶系统的时间响应
一阶系统：
X i (s)
G (s )
X 0 ( s)
凡是能够用一阶微分方程描述的系统。
1 典型形式： G( s) Ts 1
X i ( s) 1 s
极点（特征根）：-1/T
1 1 s T
一、一阶系统的单位阶跃响应
1 1 1 T X o ( s) G ( s) X i ( s) Ts 1 s s Ts 1