第二章常用统计技术
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斥两者间有其它函数关系。
相关系数的检验 根据r的绝对值的大小可判断两个变量间线性相关
的程度 对于给定的α，当|r|>r1- α/2(n-2)，可认为两个变
量间存在一定的线性相关关系 r1- α/2(n-2)的临界值可从表2.2.2中查到
例2.2.1 计算相关系数r，并判断其线性相关关系
因子A是显著的，表明不同工厂的零件 强度有显著差异
b、当因子A是显著时，可找出最佳水平 c、可估计误差方差及标准差
例2.1.2，与2.1.1相似
如果没有给出原始数据yij，仅给出各水平下的试 验次数、数据的均值与标准差，那么可将前面的 公式稍作变化后作方差分析
对2.1.2的数据进行分析：
r
优点：信息量大，可选最佳条件 缺点：试验次数太多，估计不出试验误差
② 单因子条件试验法（因子轮换法）
取A2B3C2为最佳条件 优点：试验次数少 缺点：各因子水平间搭配不全面，信息量不够；试验误 差未知，当试验误差大时，有时会选错最佳条件
③ 正交试验法 用正交表安排试验，并利用正交表的特点进行数 据分析，找出最好或满意的试验条件。用单因子 条件试验法的相同试验次数，各因子水平间全面 搭配，信息量丰富，能估计出试验误差
避免混杂现象——表头设计的一个原则 在进行表头设计时，若一列上出现两个因子， 或两个交互作用，或一个因子与一个交互作用 时，称为混杂现象，这是不允许的 在用正交表安排试验时，因子应与所在列的自 由度相同，而交互作用所占列的自由度之和应 与交互作用的自由度相同
根据表头设计避免混杂的原则选择正交表时必 须满足下面一个条件：“所考察的因子与交互 作用自由度之和≤n－1”，这是一个必要条件， 不是充分条件
fe = n-r = fT-fA
⑥ MSA=SA/fA
MSe=Se/fe
⑦ 填写方差分析表
⑧ F检验：F比 = MSA/MSe 当F比 > F1-α(fA,fe)，认为因子A是显著的 当F比 < F1-α(fA,fe)，认为因子A是不显著的
对2.1.1数据进行分析 结论： a、F比 = 31.21 > F0.95(2,9) = 4.26
相关系数：用一个统计量来表示两个变量间关系 的密切程度，这个量成为相关系数r
r (xix)(yiy) Lxy (xix)2(yiy)2 LxxLyy
不同r值的示意图：图2.2.2
性质：|r|≤1 r=±1时，表示n个点在一条直线上，这时两个变
量间完全线性相关。 r>0，两个变量间具有线性正相关 r<0，两个变量间具有线性负相关 r=0表示两个变量间没有线性相关关系，但并不排
第二章常用统计技术
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第二章 常用统计技术 （中级）
一、方差分析
几个概念 因子：在试验中改变状态的因素称为因子，常用
大写英文字母A、B、C等表示。 水平：因子在试验中所处的状态称为因子的水平。
用代表因子的字母加下标表示，记为A1，A2，…。
方差分析类型： 单因子方差分析 多因子方差分析 有交互作用的多因子方差分析
(1)明确试验目的 (2)明确试验指标 (3)确定因子与水平 (4)选用合适的正交表,进行表头设计,列出试验计划
进行试验和记录试验结果 试验的次序最好要随机化 试验结果记录在对应的试验条件后面
数据分析 数据的直观分析 ① 寻找最好的试验条件 直观分析计算表，见表2.3.1 ② 各因子对指标影响程度大小的分析用极差来判断影 响大小 B因子影响最大，其次是A因子，C因子影响最小
② 在表中计算因子A的每一水平下数据的和T1、 T2、…TR及总和T
③ 计算各类数据的平方和
④ 依次计算ST、SA、Se
rm
ST
(yij y)2
i1 j1
r
2
SA m yi y
i1
r m
2
Se
yij yi
i1 j1
⑤ 依次计算fT、fA、fe
fT = n-1 = rm-1
fA = r-a
(2) 将任意两列的同行数字看成一个数对，那么 一切可能数对重复次数相同。 在表L9(34)中，任意两列有9种可能的数对：
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3)每一对出现一次。
无交互作用的正交设计与数据分析 试验设计，以2.3.1为例
Se=S4
ST=S1+S2+S3+S4
n
Ti1yi
对满足2.3.1式要求的一类正交表则有： ST=S1+S2+…+Sp
最后的方差分析表见表2.3.6，由于 FA>F0.90(2,2)，FB>F0.95(2,2) 因子A影响显著，因子B影响高度显著，因子C 影 响不显著
F比<F0.90
影响不显著
一元线性回归方程 当两个变量间存在线性相关关系时，常希望建 立两者间的定量关系表达式，这便是两个变量 间的一元线性回归方程
一元线性回归方程的求法
yˆ a b x b L xy L xx a y bx
例2.2.1求回归方程 由回归方程 yˆ abx 画出的回归直线一定通过（0，a）
当F比F1（fR,fe） 时，
所求得的回归方程是有意义的
例2.2.1的单因子方差分析
利用回归方程进行预测：给定了自变量x后，对因
变量y做出推断
预测值： y0 abx0
观测区间：(y0-,y0+)
t1/2(n2)
1
1 n
(x0
x)2
/
Lxx
u1/2
SE / fe
例2.2.1中指定x0=0.16，预测y0的区间可化为一 元线性回归的曲线回归
正交表
a、常用正交表
“L”表示正交表
Ln（qp）
“n”是表的行数，在试验中表示试验的条件数
“p”是列数，在试验中表示可以安排因子的最多个数
“q”是表的主体只有三个不同数字，在试验中表示每 一因子可以取的水平数
常用的正交表有两大类 (1) 一类正交表的行数n，列数p，水平数q间有如 下关系： n=qk, k=2,3,4,…, p=(n-1)/(q-1) 如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等， 可以考察因子间的交互作用。
r
1)
T
i1myi
m i1
yi
r 4，m 4
T 4(0.0310.1000.0790.058)
2) Ti myi
n rm
SA
r
Ti2
i1 m
T2 n
r
m i1
yi2
T2 rm
4(0.0312 0.1002 0.0792 0.0582) 1.0722 0.01044 44
fA r 1 3
有交互作用的正交设计与数据分析 试验设计
明确试验目的 明确试验指标 确定试验中所考虑的因子与水平，并确定可能存在并
要考察的交互作用 选用合适的正交表，进行表头设计 Baidu Nhomakorabea进行试验，并记录试验结果
数据分析 多因子有交互作用的方差分析 计算表见2.3.11，方差分析表见2.3.12
最佳条件的选择 对显著因子可通过比较两个水平下的数据均值 得到最佳水平，因子C取C2为好 对显著的交互作用，先要计算两个因子不同搭 配下的数据均值，再通过比较得出哪种水平组 合较好 不显著因子，其水平可任取
F0.95>F比>F0.90 影响显著
F0.99>F比>F0.95 影响高度显著
F比>F0.99
显著性特大
最佳条件的选择 对显著因子应该取最好的水平； 对不显著因子的水平可以任意选取，在实际中 通常从降低成本、操作方便等角度加以选择。 上面的例子中对因子A与B应该选择A2B2，因子C 可以任选，譬如为节约材料可选择C1。
单因子方差分析 假设检验：
H0：μ1 =μ2 = … = μr H1：μ1、μ2、…、μr不全相等 （至少有两个不相等）
方差分析作的三个基本假定 在水平Ai下，指标服从正态分布N(μ,α2)； 在不同水平下，各方差相等； 各数据yij相互独立。
分析步骤
① 列出单因子试验数据表，yij表示在第i个水平， 第j次试验指标值
例2.3.3
确定曲线回归方程形式，方法有两种： 一是根据专业知识 二是根据数据所画的散布图，将它与一些标准 的函数图像进行比较后加以选择
例2.2.2 散布图2.2.5 常见的函数图像 图2.2.4
曲线回归方程中参数的估计，我们采用线性化的 方法，即通过变化将它化为一元线性回归方程的 形式，用线性回归方法来获得参数的估计
(2) 另一类正交表的行数，列数，水平数之间不 满足上述的两个关系
如：L12(211)，L18(37)，L20(219)，L36(313)等 这类正交表不能用来考察因子间的交互作用
正交表具有正交性，这是指它有如下两个特点： (1) 每列中不同的数字重复次数相同。 在表L9(34)中，每列有3个不同数字：1,2,3， 每一个出现3次。
和（ x , y ）两点。
回归方程的显著性检验 检验两个变量间是否存在线性相关关系的问题 便是对回归方程的显著性检验问题
相关系数检验法：当|r|>r1- α/2(n-2)时，便认为两 个变量间存在线性相关关系，所求得的回归方程 是有意义的
方差分析检验法：是单因子方差分析
F比SSRE//
fR fe
r
3)
Si
(
i 1
yij
yi
)2
m 1
r
(
i 1
yij
yi )2
(m 1)Si2
rm
r
r
Se
i 1
(
j 1
yij
yi )2
(m
i 1
1)Si2
(m
1)
i 1
Si
2
3(0.0092 0.0142 0.0102 0.0112 ) 0.001494
fe r(m 1) 12 ST SA Se 0.01044 0.001494 0.11934 fT fA fe 3 13 16
例2.2.2 u 1 /x v 1 /y v a b u
曲线回归方程的比较，比较准则两个： 一是要求相关系数R大 二是要求剩余标准差S小
R 2 1 ( yi y)2 ( yi y)2
S ( yi y)2 n2
三 试验设计
试验设计的基本概念与正交性 试验设计 ① 全面搭配 试验三个因子，每个因子三个 水平
重复数不等情况下的单因子方差分析
r
ni 1m i
SAi r1T m i2 i T n2
对2.1.3的数据进行分析
二 回归分析
散布图：为研究两个变量间存在什么关系，把每 一对（xi，yi）（i=1、2、…、n）看成直角坐标 系中的一个点，在图中标出n个点，称此图为散布 图
例2.2.1，表2.2.1，图2.2.1
③ 各因子不同水平对指标的影响图
A
B
C
220
205
190 RA
175
160 900 1100 1300 10
RB 11 12 70
RC 80 90
数据的方差分析（多因子方差分析） 数据的方差分析计算见表2.3.5
ST
n
i1(yi
y)2
n
i1yi2
T2 n
3
SA
3(Ti i1
y)2
SA=S1 SB=S2 SC=S3
因子的贡献率
当试验指标不服从正态分布时,进行方差分析 的依据就不够充足,此时可通过比较各因子的 “贡献率”来衡量因子作用的大小。由于S因中 除因子的效应外，还包含误差，从而称S因-f因 MSe为因子的纯离差平方和，将因子的纯离差平 方和与ST的比称为因子的贡献率。
验证试验 验证的最佳条件不一定在试验中出现，为此通 常需要进行验证试验。即使选择的最佳条件在 试验中出现，也需要通过验证看其是否稳定
相关系数的检验 根据r的绝对值的大小可判断两个变量间线性相关
的程度 对于给定的α，当|r|>r1- α/2(n-2)，可认为两个变
量间存在一定的线性相关关系 r1- α/2(n-2)的临界值可从表2.2.2中查到
例2.2.1 计算相关系数r，并判断其线性相关关系
因子A是显著的，表明不同工厂的零件 强度有显著差异
b、当因子A是显著时，可找出最佳水平 c、可估计误差方差及标准差
例2.1.2，与2.1.1相似
如果没有给出原始数据yij，仅给出各水平下的试 验次数、数据的均值与标准差，那么可将前面的 公式稍作变化后作方差分析
对2.1.2的数据进行分析：
r
优点：信息量大，可选最佳条件 缺点：试验次数太多，估计不出试验误差
② 单因子条件试验法（因子轮换法）
取A2B3C2为最佳条件 优点：试验次数少 缺点：各因子水平间搭配不全面，信息量不够；试验误 差未知，当试验误差大时，有时会选错最佳条件
③ 正交试验法 用正交表安排试验，并利用正交表的特点进行数 据分析，找出最好或满意的试验条件。用单因子 条件试验法的相同试验次数，各因子水平间全面 搭配，信息量丰富，能估计出试验误差
避免混杂现象——表头设计的一个原则 在进行表头设计时，若一列上出现两个因子， 或两个交互作用，或一个因子与一个交互作用 时，称为混杂现象，这是不允许的 在用正交表安排试验时，因子应与所在列的自 由度相同，而交互作用所占列的自由度之和应 与交互作用的自由度相同
根据表头设计避免混杂的原则选择正交表时必 须满足下面一个条件：“所考察的因子与交互 作用自由度之和≤n－1”，这是一个必要条件， 不是充分条件
fe = n-r = fT-fA
⑥ MSA=SA/fA
MSe=Se/fe
⑦ 填写方差分析表
⑧ F检验：F比 = MSA/MSe 当F比 > F1-α(fA,fe)，认为因子A是显著的 当F比 < F1-α(fA,fe)，认为因子A是不显著的
对2.1.1数据进行分析 结论： a、F比 = 31.21 > F0.95(2,9) = 4.26
相关系数：用一个统计量来表示两个变量间关系 的密切程度，这个量成为相关系数r
r (xix)(yiy) Lxy (xix)2(yiy)2 LxxLyy
不同r值的示意图：图2.2.2
性质：|r|≤1 r=±1时，表示n个点在一条直线上，这时两个变
量间完全线性相关。 r>0，两个变量间具有线性正相关 r<0，两个变量间具有线性负相关 r=0表示两个变量间没有线性相关关系，但并不排
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第二章 常用统计技术 （中级）
一、方差分析
几个概念 因子：在试验中改变状态的因素称为因子，常用
大写英文字母A、B、C等表示。 水平：因子在试验中所处的状态称为因子的水平。
用代表因子的字母加下标表示，记为A1，A2，…。
方差分析类型： 单因子方差分析 多因子方差分析 有交互作用的多因子方差分析
(1)明确试验目的 (2)明确试验指标 (3)确定因子与水平 (4)选用合适的正交表,进行表头设计,列出试验计划
进行试验和记录试验结果 试验的次序最好要随机化 试验结果记录在对应的试验条件后面
数据分析 数据的直观分析 ① 寻找最好的试验条件 直观分析计算表，见表2.3.1 ② 各因子对指标影响程度大小的分析用极差来判断影 响大小 B因子影响最大，其次是A因子，C因子影响最小
② 在表中计算因子A的每一水平下数据的和T1、 T2、…TR及总和T
③ 计算各类数据的平方和
④ 依次计算ST、SA、Se
rm
ST
(yij y)2
i1 j1
r
2
SA m yi y
i1
r m
2
Se
yij yi
i1 j1
⑤ 依次计算fT、fA、fe
fT = n-1 = rm-1
fA = r-a
(2) 将任意两列的同行数字看成一个数对，那么 一切可能数对重复次数相同。 在表L9(34)中，任意两列有9种可能的数对：
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3)每一对出现一次。
无交互作用的正交设计与数据分析 试验设计，以2.3.1为例
Se=S4
ST=S1+S2+S3+S4
n
Ti1yi
对满足2.3.1式要求的一类正交表则有： ST=S1+S2+…+Sp
最后的方差分析表见表2.3.6，由于 FA>F0.90(2,2)，FB>F0.95(2,2) 因子A影响显著，因子B影响高度显著，因子C 影 响不显著
F比<F0.90
影响不显著
一元线性回归方程 当两个变量间存在线性相关关系时，常希望建 立两者间的定量关系表达式，这便是两个变量 间的一元线性回归方程
一元线性回归方程的求法
yˆ a b x b L xy L xx a y bx
例2.2.1求回归方程 由回归方程 yˆ abx 画出的回归直线一定通过（0，a）
当F比F1（fR,fe） 时，
所求得的回归方程是有意义的
例2.2.1的单因子方差分析
利用回归方程进行预测：给定了自变量x后，对因
变量y做出推断
预测值： y0 abx0
观测区间：(y0-,y0+)
t1/2(n2)
1
1 n
(x0
x)2
/
Lxx
u1/2
SE / fe
例2.2.1中指定x0=0.16，预测y0的区间可化为一 元线性回归的曲线回归
正交表
a、常用正交表
“L”表示正交表
Ln（qp）
“n”是表的行数，在试验中表示试验的条件数
“p”是列数，在试验中表示可以安排因子的最多个数
“q”是表的主体只有三个不同数字，在试验中表示每 一因子可以取的水平数
常用的正交表有两大类 (1) 一类正交表的行数n，列数p，水平数q间有如 下关系： n=qk, k=2,3,4,…, p=(n-1)/(q-1) 如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等， 可以考察因子间的交互作用。
r
1)
T
i1myi
m i1
yi
r 4，m 4
T 4(0.0310.1000.0790.058)
2) Ti myi
n rm
SA
r
Ti2
i1 m
T2 n
r
m i1
yi2
T2 rm
4(0.0312 0.1002 0.0792 0.0582) 1.0722 0.01044 44
fA r 1 3
有交互作用的正交设计与数据分析 试验设计
明确试验目的 明确试验指标 确定试验中所考虑的因子与水平，并确定可能存在并
要考察的交互作用 选用合适的正交表，进行表头设计 Baidu Nhomakorabea进行试验，并记录试验结果
数据分析 多因子有交互作用的方差分析 计算表见2.3.11，方差分析表见2.3.12
最佳条件的选择 对显著因子可通过比较两个水平下的数据均值 得到最佳水平，因子C取C2为好 对显著的交互作用，先要计算两个因子不同搭 配下的数据均值，再通过比较得出哪种水平组 合较好 不显著因子，其水平可任取
F0.95>F比>F0.90 影响显著
F0.99>F比>F0.95 影响高度显著
F比>F0.99
显著性特大
最佳条件的选择 对显著因子应该取最好的水平； 对不显著因子的水平可以任意选取，在实际中 通常从降低成本、操作方便等角度加以选择。 上面的例子中对因子A与B应该选择A2B2，因子C 可以任选，譬如为节约材料可选择C1。
单因子方差分析 假设检验：
H0：μ1 =μ2 = … = μr H1：μ1、μ2、…、μr不全相等 （至少有两个不相等）
方差分析作的三个基本假定 在水平Ai下，指标服从正态分布N(μ,α2)； 在不同水平下，各方差相等； 各数据yij相互独立。
分析步骤
① 列出单因子试验数据表，yij表示在第i个水平， 第j次试验指标值
例2.3.3
确定曲线回归方程形式，方法有两种： 一是根据专业知识 二是根据数据所画的散布图，将它与一些标准 的函数图像进行比较后加以选择
例2.2.2 散布图2.2.5 常见的函数图像 图2.2.4
曲线回归方程中参数的估计，我们采用线性化的 方法，即通过变化将它化为一元线性回归方程的 形式，用线性回归方法来获得参数的估计
(2) 另一类正交表的行数，列数，水平数之间不 满足上述的两个关系
如：L12(211)，L18(37)，L20(219)，L36(313)等 这类正交表不能用来考察因子间的交互作用
正交表具有正交性，这是指它有如下两个特点： (1) 每列中不同的数字重复次数相同。 在表L9(34)中，每列有3个不同数字：1,2,3， 每一个出现3次。
和（ x , y ）两点。
回归方程的显著性检验 检验两个变量间是否存在线性相关关系的问题 便是对回归方程的显著性检验问题
相关系数检验法：当|r|>r1- α/2(n-2)时，便认为两 个变量间存在线性相关关系，所求得的回归方程 是有意义的
方差分析检验法：是单因子方差分析
F比SSRE//
fR fe
r
3)
Si
(
i 1
yij
yi
)2
m 1
r
(
i 1
yij
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(m 1)Si2
rm
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i 1
(
j 1
yij
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(m
i 1
1)Si2
(m
1)
i 1
Si
2
3(0.0092 0.0142 0.0102 0.0112 ) 0.001494
fe r(m 1) 12 ST SA Se 0.01044 0.001494 0.11934 fT fA fe 3 13 16
例2.2.2 u 1 /x v 1 /y v a b u
曲线回归方程的比较，比较准则两个： 一是要求相关系数R大 二是要求剩余标准差S小
R 2 1 ( yi y)2 ( yi y)2
S ( yi y)2 n2
三 试验设计
试验设计的基本概念与正交性 试验设计 ① 全面搭配 试验三个因子，每个因子三个 水平
重复数不等情况下的单因子方差分析
r
ni 1m i
SAi r1T m i2 i T n2
对2.1.3的数据进行分析
二 回归分析
散布图：为研究两个变量间存在什么关系，把每 一对（xi，yi）（i=1、2、…、n）看成直角坐标 系中的一个点，在图中标出n个点，称此图为散布 图
例2.2.1，表2.2.1，图2.2.1
③ 各因子不同水平对指标的影响图
A
B
C
220
205
190 RA
175
160 900 1100 1300 10
RB 11 12 70
RC 80 90
数据的方差分析（多因子方差分析） 数据的方差分析计算见表2.3.5
ST
n
i1(yi
y)2
n
i1yi2
T2 n
3
SA
3(Ti i1
y)2
SA=S1 SB=S2 SC=S3
因子的贡献率
当试验指标不服从正态分布时,进行方差分析 的依据就不够充足,此时可通过比较各因子的 “贡献率”来衡量因子作用的大小。由于S因中 除因子的效应外，还包含误差，从而称S因-f因 MSe为因子的纯离差平方和，将因子的纯离差平 方和与ST的比称为因子的贡献率。
验证试验 验证的最佳条件不一定在试验中出现，为此通 常需要进行验证试验。即使选择的最佳条件在 试验中出现，也需要通过验证看其是否稳定