锐角三角函数的知识点训练及答案

锐角三角函数的知识点训练及答案

一、选择题

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG、CH分别平分∠EAD、∠FCB，则GH长为（）

A．3 B．4 C．5 D．7

【答案】B

【解析】

【分析】

如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MN＝AB＝3BN＝AM＝3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GH＝TN即可解决问题．

【详解】

解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．

∵△ABE沿着AE翻折后得到△AGE，

∴∠GAM＝∠BAE，AB＝AG＝3

∵AG分别平分∠EAD，

∴∠BAE＝∠EAG，

∵∠BAD＝90°，

∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，

∵GM⊥AD，

∴∠AMG＝90°，

∴在Rt△AGM中，sin∠GAM＝GM

AG

，cos∠GAM＝

AM

AG

，

∴GM＝AG•sin30°3AM＝AG•cos30°＝3，同理可得HT3CT＝3，

∵∠AMG＝∠B＝∠BAD＝90°，

∴四边形ABNM为矩形，

∴MN＝AB＝3BN＝AM＝3，

∴GN＝MN﹣GM3，

∴GN＝HT，

又∵GN∥HT，

∴四边形GHTN是平行四边形，

∴GH ＝TN ＝BC ﹣BN ﹣CT ＝10﹣3﹣3＝4，

故选：B ．

【点睛】

本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）

A ．500sin55m o

B ．500cos55m o

C ．500tan55m o

D ．500cos55

m o 【答案】B

【解析】 【分析】

根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可．

【详解】 在Rt △BDE 中，cosD=

DE BD

， ∴DE=BD •cosD=500cos55°．

故选B ．

【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ）

A ．22

B ．223

C ．23

D ．322

【答案】C

【解析】

【分析】

在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度．

【详解】

∵AD ⊥BC

∴∠ADC=∠ADB=90︒

在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45︒

∴AD=CD=

在Rt △ADB 中，AD=ABD=60︒

∴BD=3AD=3．

∵BE 平分∠ABC ，

∴∠EBD=30°．

在Rt △EBD 中，BD=3，∠EBD=30°

∴

∴AE=AD −DE=3

故选：C

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．

4．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC ，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．

【详解】

利用垂径定理可知：AE ．

sin∠AOD=

3

2

，∴∠AOD=60°；

sin∠AOE=

2

2

，∴∠AOE=45°；

∴∠BAC=75°．

当两弦共弧的时候就是15°．

故选：C．

【点睛】

此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.

5．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()

A．3 cm B．2+10) cm C．64 cm D．54cm

【答案】C

【解析】

【分析】

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．

【详解】

如图所示，

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则

Rt△ACE中，AE=1

2

AC=

1

2

×54=27（cm），

同理可得，BF=27cm，

又∵点A与B之间的距离为10cm，

∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），

故选C．

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

6．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

A．πB．2πC．3πD．31)π

【答案】C

【解析】

【分析】

3

为2，据此即可得出表面积．

【详解】

3的正三角形．

∴正三角形的边长

3

2 sin60

==

︒

．

∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π