空间几何中的向量方法(夹角)

练习 正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1. 求B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.
解 建立直角坐标系.
z
D1 A1
B1
则 B1C1 (0， 1， 0)
C1 平面AB1C的一个法向量为D1 B (1,1,1)


E
D
0 1 0 3 cos D1B, B1C1 3 3

π cos( - θ) = cos < a, u > 2



π cos( + θ) = cos < a, u > 2
例2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求直线AD与平面EDB所成角的正弦值.
P
E
D A
C B
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
线线夹角问题：
设直线l , m的方向向量分别为a , b
l , m的夹角为 (0


l
2
), 则 cos cos a, b
l

m

m
例1.直角三角形 ABC中， BCA 900，现将 ABC沿着平面 ABC 的法向量平移到 A1 B1C1位置，已知 BC CA CC1 , 取A1 B1、A1C1 的中点 D1、F1，求 AF1与D1 B所成角的余弦值 .
（回到图形问题）
作业：
习题3.2 2，3，4
则 n DE, n DB
平面的一个法向量 n (1,1,1)

z
P




E
C
则直线 AD与平面 EBD所 1 0 0 3 成角的正弦值为 3 3
D
y
x
A
B
• [ 题后感悟 ] 如何用坐标法求直线和平面 所成的角？ • (1)建立适当的空间直角坐标系； • (2) 找到直线的方向向量与平面法向量的坐 标形式； • (3) 利用向量的夹角公式计算直线的方向向 量与平面法向量的夹角； • (4) 结合直线与平面所成角的范围得到直线 与平面所成的角．
1 1 1 A(1,0,0), B(1,0,0), F1 ( ,0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2
1 1 1 AF1 ( ,0,1) BD1 ( , ,1) 2 2 2

30 = . 10
所以
与
30 所成角的余弦值为 10
• [ 题后感悟 ] 如何用坐标法求异面直线所 成的角？ • (1)建立适当的空间直角坐标系； • (2) 找到两条异面直线的方向向量的坐标形 式； • (3) 利用向量的夹角公式计算两直线的方向 向量的夹角； • (4) 结合异面直线所成角的范围得到异面直 线所成的角．
解：如图所示建立空间直角坐标系. 依题意得 D(0,0,0), P(0,0,1), A(1,0,0) 1 1 E (0, , ), B(1,1,0) 2 2 直线 AD的方向向量 DA (1， 0,0) 1 1 DE (0, , ), DB (1,1,0) 2 2 设平 面 的 法 向 量 为 n ( x, y , z )
例1.直角三角形 ABC中， BCA 900，现将 ABC沿着平面 ABC 的法向量平移到 A1 B1C1位置，已知 BC CA CC1 , 取A1 B1、A1C1 的中点 D1、F1，求 AF1与D1 B所成角的余弦值 .
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：
练习：
正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 为AB的中 点，求DB1与CM所成角的余弦值
D1
A1 P D A M B
C1
B1
C
设直线l的方向向量为a , 平面的法向量为u ,
l , 的夹角为 (0
线面夹角问题：


l
2
), 则 sin cos a, u
பைடு நூலகம்
l
会宁二中
李斌
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 n ( x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0

x
F
A y
C
B
3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
小结：
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间
向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的
位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。