数学必修一：函数及其表示课件

求函数的定义域， 关键是依据含自变量 x 的代数式有 意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定 是非负数．本题中 k2x2＋3kx＋1≠0 应注意二次项系数 k2 的讨 论，不可掉以轻心．
单击此处进入
活页限时训练
②关于对应关系 f， 它是函数的本质特征， 它好比是计算机中的 某个“程序”， 当 f( )中括号内输入一个值时， 在此“程序”
作用下便可输出某个数据，即函数值．如 f(x)＝3x＋5，f 表示 “自变量的 3 倍加上 5”，如 f(4)＝3×4＋5＝17. 提醒 f(x)与 f(a)，a∈A 的区别与联系：f(a)表示当 x＝a 时的函
{x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
3．其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
想一想：数集都能用区间表示吗？ 提示 区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能 用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．
数值，是常量，而 f(x)表示自变量为 x 的函数，表示的是变量．
2．定义域的求法： (1)如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R； (2)如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为 0 的实数 的集合； (3)如果 f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子 大于或等于 0 的实数的集合； (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义 域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
域不同，故 f(x)与 g(x)不是相等函数． (2)f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为 R，即定义域相同． 由于 f(x)与 g(x)解析式不相同， 则 f(x)与 g(x)不是相等函数． (3)两函数自变量所用字母虽然不同，但其定义域和对应关系一 致，故是相等函数．
规律方法
判断两个函数 f(x)和 g(x)是否是相等函数的步骤是：
(3 分)
解得 x≤1 且 x≠－1， 即函数定义域为 {x|x≤1，且 x≠－1}．(6 分) (2)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足
5－x≥0， |x|－3≠0，
(9 分)
解得 x≤5，且 x≠± 3， 即函数定义域为{x|x≤5，且 x≠± 3}．(12 分)
【题后反思】 (1)求函数的定义域之前，不能对函数的解析式 进行变形，否则可能会引起函数定义域的变化． (2)求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有 意义为准则，其原则有：①分式中分母不为零；②偶次根式中， 被开方数非负；③对于 y＝x0 要求 x≠0.
题型三
求函数的定义域
【例 3】 (12 分)求下列函数的定义域： x＋12 (1)y＝ － 1－x； x＋1 5－x (2)y＝ . |x|－3 审题指导 列出不等式组 → 解不等式组 → 得定义域
[规范解答] (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足
x＋1≠0， 1－x≥0，
题型二 相等函数的判定 【例 2】 判断下列各组函数是否是相等函数： x2－4 (1)f(x)＝x＋2，g(x)＝ ； x－2 (2)f(x)＝(x－1)2，g(x)＝x－1； (3)f(x)＝|x|，g(t)＝ t2. [思路探索] 可根据函数的三要素进行判定．
解
(1)f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为{x|x≠2}．由于定义
名师点睛 1．对函数的概念的理解 (1)y＝f(x)表示 y 是 x 的函数，是一个整体符号，不是 f 与 x 的 乘积． (2)在 y＝f(x)中，x 是自变量，f 代表对应关系． ①关于自变量，同学们刚接触的时候，会因为函数的定义而认 为自变量只能用 x 表示，其实用什么字母表示自变量都可以， 关键是符合定义，x 只是一个较为常用的习惯性符号，当然也 可以用 t 等表示自变量．
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实 际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． (6)①若 y＝f(x)的定义域为[a，b]，则 f(g(x))的定义域是 a≤g(x)≤b 的解集；②已知 f(g(x))的定义域为[a，b]，则当 x∈ [a，b]时，g(x)的函数值的取值集合就是 f(x)的定义域．
①先求函数 f(x)和 g(x)的定义域， 如果定义域不同， 那么它们不 相等，如果定义域相同，再执行下一步；②化简函数的解析式， 如果化简后的函数解析式相同，那么它们相等，否则它们不相 等．
【变式 2】 判断下列函数是否是相等函数． (1)f(x)＝2x＋1(x∈R)，g(x)＝2x＋1(x∈N*)； (2)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2； (3)f(x)＝x2，g(x)＝x x2. 解 (1)对应关系相同，但定义域不同，因而不是相等函数． (2)定义域、值域均相同，但对应关系不同，因而不是相等函数． (3)定义域相同，但对应关系不同，因而不是相等函数．
1.2
函数及其表示 函数的概念
1．2.1
【课标要求】 1．理解函数的概念，明确函数的三要素． 2．能正确使用区间表示数集． 3．会求一些简单函数的定义域． 【核心扫描】 1．函数的概念，求函数的定义域．(重点) 2．对函数符号 y＝f(x)的理解．(难点) 3．函数相等的判定．
自学导引 1．函数的概念
想一想：如何理解函数的对应法则？ 提示：对应法则 f 是函数关系的本质特征，y＝f(x)的意义是：y 就是 x 在关系 f 下的对应值， 而 f 是“对应”得以实现的方法和 途径， 如 f(x)＝2x＋6， f 表示 2 倍的自变量加上 6， 如 f(3)＝2×3 ＋6＝12.
2．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} 名称 闭区间 开区间 符号 [a，b] (a，b) 数轴表示
解 (1)A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素， 故不是 A 到 B 的函数； (2)对于集合 A 中的任意一个整数 x，按照对应关系 f：x→y＝x2， 在集合 B 中都有唯一一个确定的整数 x2 与其对应，故是集合 A 到 集合 B 的函数； (3)A 中为负数的元素没有平方根，故在 B 中没有对应的元素且 x 不一定为整数，故此对应关系不是 A 到 B 的函数； (4)对于集合 A 中任意一个实数 x，按照对应关系 f：x→y＝0，在 集合 B 中都有唯一一个确定的数 0 与它对应，故是集合 A 到集合 B 的函数．
【变式 3】 若 f(x－1)的定义域是[0,1]，求 f(－x)的定义域． 解 ∵0≤x≤1，∴－1≤x－1≤0，
∴f(x)的定义域是[－1,0]， 又由－1≤－x≤0，得 0≤x≤1， ∴函数 f(－x)的定义域是[0,1]
误区警示
考虑问题不全面导致丢解
2kx－8 【示例】 已知函数 y＝ 2 2 的定义域为 R，求实数 k k x ＋3kx＋1 的值． [错解] 函数的定义域为 R， 即 k2x2＋3kx＋1≠0 对任意的实数 x 恒成立，∴Δ＝9k2－4k2<0，此时 5k2<0，无解，∴k 值不存在． 本题忽视了 k＝0 的讨论， 误认为 f(x)＝k2x2＋3kx＋1 一定是二次函数．
规律方法 判断一个对应关系是否为函数的步骤： (1)判断 A，B 是否是非空数集． (2)判断 A 中任一元素在 B 中是否有元素与之对应； (3)判断 A 中任一元素在 B百度文库中是否有唯一确定的元素与之对应．
【变式 1】 判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的函数． (1)A＝R，B＝{0,1}，对应关系
1 f：x→y＝ 0
x≥0， x<0；
1 (2)A＝Z，B＝Q，对应关系 f：x→y＝ ； x (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 2x－1； (4)A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,1}，对应关系如图．
解 (1)(4)是函数，(2)(3)不是函数． (1)对于 A 中任意一个非负数在 B 中都有唯一元素 1 与之对应， 对于 A 中任意一个负数在 B 中都有唯一元素 0 与之对应，所以 是函数． (2)集合 A 中的 0 元素在 B 中没有元素和它对应，故不是函数． (3)集合 A 中的 0 元素(或－1 等等)， 在 B 中没有元素和它对应， 故不是函数． (4)集合 A 中的 1 和 3 在集合 B 中有唯一的－1 与之对应，集合 A 中的 2 和 4 在集合 B 中有唯一的 1 与之对应，故是函数．
[正解] 问题转化为：求使 k2x2＋3kx＋1≠0 成立的 k 的值． －8 (1)k＝0 时，y＝ 1 ＝－8，定义域为 R，∴k＝0 符合题意． (2)k≠0 时，k2>0， ∴k2x2＋3kx＋1≠0，即 Δ＝9k2－4k2<0，此时 5k2<0，无解． 2kx－8 综上，k＝0 时函数 y＝ 2 2 的定义域为 R. k x ＋3kx＋1
题型一
函数概念的应用
【例 1】 下列对应关系是否为 A 到 B 的函数． (1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝ x； (4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0. [思路探索] 可根据函数的定义直接判断．