1990 年第2 届北京市大学生(非理科)数学竞赛

m
圣来自百度文库才
学
f ( a ) + f (b) 1 b ⎛ a+b⎞ f⎜ f x dx ≤ . ( ) ⎟≤ ∫ 2 ⎝ 2 ⎠ b−a a
圣
习
网
证明：
才 学
ww
f⎡ ⎣tx1 + (1 − t ) x2 ⎤ ⎦ ≤ tf ( x1 ) + (1 − t ) f ( x2 ) .
w.
10
设函数 f 在 [ a ， b ] 上连续，且对于 t ∈ [ 0 ， 1] 及对于 x1 ， x2 ∈ [ a ， b ] 满足：
w.
ue xi
P2 ( x ) ， Q ( x ) 为已知函数且
10 0
y2 ( x ) − y1 ( x ) ≠ 常数 .试证明： y3 ( x ) − y1 ( x )
.c
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om
′ 2 ( x ) y = Q ( x ) 的特解，其中 P 设 y1 ( x ) ， y2 ( x ) ， y3 ( x ) 均为非齐次线性方程 y ′′ + P 1 ( x) y + P 1 ( x) ，
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设函数 f ( x ) =
xn ， 0 ≤ x ≤ 1. ∑ 2 n =1 n
∞
（ 1 ）证明： f ( x ) + f (1 − x ) + ln x ln (1 − x ) = （ 2 ）计算：
0
七、
设函数 u = f ln
ww
(
x 2 + y 2 ，满足
)
3 ∂ 2u ∂ 2u 2 2 2 + = + x y ( ) ，试求函数 f 的表达式. ∂x 2 ∂y 2
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1990 年第 2 届北京市大学生（非理科）数学竞赛
一、
证明： f ′ ( x ) ≤ 2 .对于 x ∈ I ，且有函数使得等式成立.
二、
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三、计算：
（1） I =
ex
xu
e
−2 nπ
w.
ww
四、
习
才
圣
六、
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圣
对 p 讨论幂级数
xn 的收敛区间. ∑ p n = 2 n ln n
∞
才
学
五、
习
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⎡ 1 dx ⎤ ⎡ 1 ⎤ (m + M ) . ⎢ ∫0 ⎥ ⎢ ∫0 f ( x ) dx ⎥ ≤ ⎦ 4mM ⎣ f ( x) ⎦ ⎣
学
ww
w.
设 f 是定义在闭区间 [ 0 ， 1] 的连续函数，且 0 < m ≤ f ( x ) ≤ M ，对于 x ∈ [ 0 ， 1] ，证明：
w. 10 0x ue xi .c om
π2
6
，对于 x ∈ [ 0 ， 1] .
才 学
积.
已知曲线积分
1 ∫ ϕ ( x ) + y ( xdy − tdx ) ≡ A （常数）.其中 ϕ ( x ) 是可导函数且 ϕ (1) = 1 ， L 是绕原点
L
2
xu
ww
网
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学
才
圣
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圣
才
学
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w.
10
0x
y ( x ) = (1 − C1 − C2 ) y1 ( x ) + C1 y2 ( x ) + C2 y3 ( x ) 为给定方程的通解（ C1 ， C2 为任意常数）.
2
网
10
0x
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ue xi
（3） I =
∫
1
10 0
d ⎛ 1⎞ cos ⎜ ln ⎟ dx ， n ∈ N . dx ⎝ x⎠
.c
om
（2）I =
∫
ln (1 + x ) dx . 0 1 + x2
1
i.
co
e − sin x sin 2 x ∫ 4 ⎛ π x ⎞ dx . sin ⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠
ex
i.
十、
co
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（ 0 ， 0 ）一周的任意正向闭曲线，试求出 ϕ ( x ) 及 A .
圣 才
学
九、
圣
习
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计算：由曲线 y = x 与直线 y = mx （ m > 0 ）在第一象限内所围成的图形绕该直线旋转所产生的体
2
w.
八、
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0x ue xi .c om
∫
1
1 1 ln dx . 2− x x
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0x ue xi .c om
设 f 是一定义于长度不小于 2 的闭区间 I 上的实函数，满足： f ( x ) ≤ 1 ， f ′′ ( x ) ≤ 1 .对于 x ∈ I ，
w. 10 0x ue xi .c om
（时间：1990 年 10 月 21 日上午 9:00—11:30）
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