2021版新高考数学(山东专用)一轮课件：第8章 第5讲 椭圆
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第八章 解析几何
第五讲 椭圆
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
• 知识点一 椭圆的定义
• 平做___面椭__内 圆___与 ，. 两 这个 两定 个点定点F1、叫F做2焦的椭点_距圆_离__的的__和__等____于___常___数___(_大，_于__两|F_1F_焦2_|)_点___间__的___距的离点焦叫距的做轨椭迹圆叫的 • 注且：a、若c为集常合数P＝，{M则||有M如F1|下＋结|M论F2：|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0， • (1)若a＞c，则集合P为__椭_圆_____； • (2)若a＝c，则集合P为__线__段_F_1_F2_____； • (3)若a＜c，则集合P为__空__集____.
A．1－
3 2
B．2－ 3
C．
3－1 2
D． 3－1
[解析] 设|PF2|＝x，则|PF1|＝ 3x，|F1F2|＝2x，故 2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋ 3)x,2c
＝|F1F2|＝2x，于是离心率
e＝ac＝22ac＝1＋2x
＝ 3x
3－1．
考点突破 • 互动探究
考点一 椭圆的定义及应用——自主练透
• •
个A．动圆点例，1 如(1)果(20M1是9·线泉段州F模1P拟的)中已点知，椭B那．圆么椭的动圆焦点点MB是的F1轨、迹F2，是P( 是椭)圆上的一
• C．双曲线的一支
D．抛物线
• (2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是 一定点．则|PA|＋|PF|的最大值和最小值分别为 _______Baidu Nhomakorabea________.
6．AB 为椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)， 则
(1)弦长 l＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|； (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－ba22xy00．
题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论正确的是( CD ) A．平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 B．椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 C．方程 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆 D．ax22＋by22＝1(a＞b＞0)与ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)的焦距相同
___c2_＝_a_2_－_b_2_____
1．a＋c 与 a－c 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝2ab2，称为通径． 3．若过焦点 F1 的弦为 AB，则△ABF2 的周长为 4a． 4．e＝ 1－ba22．
5．椭圆的焦点在 x 轴上⇔标准方程中 x2 项的分母较大，椭圆的焦点在 y 轴上⇔ 标准方程中 y2 项的分母较大．
[解析] ∵椭圆上一点到焦点的最小距离为 a－c， ∴a－c＝2 2－2，∵离心率 e＝ 22，∴ac＝ 22， 解得 a＝2 2，c＝2，则 b2＝a2－c2＝4， ∴椭圆 E 的方程为x82＋y42＝1．
5．(2018·课标全国Ⅱ)已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则 C 的离心率为( D )
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(0，－b)，B2(0，b)
B1(－b,0)，B2(b,0)
长轴 A1A2 的长为__2_a ___；短轴 B1B2 的长为__2_b___ |F1F2|＝__2_c___
c e＝___a___∈(0,1)
(2)如图所示，设椭圆右焦点为 F1，则|PF|＋|PF1|＝6． ∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6． 由椭圆方程x92＋y52＝1 知 c＝ 9－5＝2， ∴F1(2,0)，∴|AF1|＝ 2． 利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当 P、A、F1 共线时等号成立)． ∴|PA|＋|PF|≤6＋ 2，|PA|＋|PF|≥6－ 2． 故|PA|＋|PF|的最大值为 6＋ 2，最小值为 6－ 2．
3．(必修 2P68A 组 T3)过点 A(3，－2)且与椭圆x92＋y42＝1 有相同焦点的椭圆的方
程为( A )
A．1x52 ＋1y02 ＝1
B．2x52 ＋2y02 ＝1
C．1x02 ＋1y52 ＝1
D．2x02 ＋1y52 ＝1
题组三 考题再现
4．(2019·湖南郴州二模)已知椭圆 E 的中心为原点，焦点在 x 轴上，椭圆上一点 到焦点的最小距离为 2 2－2，离心率为 22，则椭圆 E 的方程为___x8_2＋__y4_2_＝__1___.
• 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
标准方程 对称性
顶点
性质
轴
焦距
离心率
a、b、c 的关系
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
题组二 走进教材
2．(必修 2P42T4)椭圆10x－2 m＋m－ y2 2＝1 的焦距为 4，则 m 等于( C )
A．4
B．8
C．4 或 8
D．12
[解析] 当焦点在 x 轴上时，10－m＞m－2＞0， 10－m－(m－2)＝4，∴m＝4． 当焦点在 y 轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8． ∴m＝4 或 8．
6＋ 2，6－ 2
(3)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，
且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2 的面积为 3 3，则 b＝__3___.
[解析] (1)如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，设椭圆方程：ax22＋by22＝1(其中 a ＞b＞0)．连接 MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO|＝a(a＞|F1O|)，则 M 的轨 迹为以 F1、O 为焦点的椭圆．
第五讲 椭圆
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
• 知识点一 椭圆的定义
• 平做___面椭__内 圆___与 ，. 两 这个 两定 个点定点F1、叫F做2焦的椭点_距圆_离__的的__和__等____于___常___数___(_大，_于__两|F_1F_焦2_|)_点___间__的___距的离点焦叫距的做轨椭迹圆叫的 • 注且：a、若c为集常合数P＝，{M则||有M如F1|下＋结|M论F2：|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0， • (1)若a＞c，则集合P为__椭_圆_____； • (2)若a＝c，则集合P为__线__段_F_1_F2_____； • (3)若a＜c，则集合P为__空__集____.
A．1－
3 2
B．2－ 3
C．
3－1 2
D． 3－1
[解析] 设|PF2|＝x，则|PF1|＝ 3x，|F1F2|＝2x，故 2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋ 3)x,2c
＝|F1F2|＝2x，于是离心率
e＝ac＝22ac＝1＋2x
＝ 3x
3－1．
考点突破 • 互动探究
考点一 椭圆的定义及应用——自主练透
• •
个A．动圆点例，1 如(1)果(20M1是9·线泉段州F模1P拟的)中已点知，椭B那．圆么椭的动圆焦点点MB是的F1轨、迹F2，是P( 是椭)圆上的一
• C．双曲线的一支
D．抛物线
• (2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是 一定点．则|PA|＋|PF|的最大值和最小值分别为 _______Baidu Nhomakorabea________.
6．AB 为椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)， 则
(1)弦长 l＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|； (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－ba22xy00．
题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论正确的是( CD ) A．平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 B．椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 C．方程 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆 D．ax22＋by22＝1(a＞b＞0)与ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)的焦距相同
___c2_＝_a_2_－_b_2_____
1．a＋c 与 a－c 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝2ab2，称为通径． 3．若过焦点 F1 的弦为 AB，则△ABF2 的周长为 4a． 4．e＝ 1－ba22．
5．椭圆的焦点在 x 轴上⇔标准方程中 x2 项的分母较大，椭圆的焦点在 y 轴上⇔ 标准方程中 y2 项的分母较大．
[解析] ∵椭圆上一点到焦点的最小距离为 a－c， ∴a－c＝2 2－2，∵离心率 e＝ 22，∴ac＝ 22， 解得 a＝2 2，c＝2，则 b2＝a2－c2＝4， ∴椭圆 E 的方程为x82＋y42＝1．
5．(2018·课标全国Ⅱ)已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则 C 的离心率为( D )
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(0，－b)，B2(0，b)
B1(－b,0)，B2(b,0)
长轴 A1A2 的长为__2_a ___；短轴 B1B2 的长为__2_b___ |F1F2|＝__2_c___
c e＝___a___∈(0,1)
(2)如图所示，设椭圆右焦点为 F1，则|PF|＋|PF1|＝6． ∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6． 由椭圆方程x92＋y52＝1 知 c＝ 9－5＝2， ∴F1(2,0)，∴|AF1|＝ 2． 利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当 P、A、F1 共线时等号成立)． ∴|PA|＋|PF|≤6＋ 2，|PA|＋|PF|≥6－ 2． 故|PA|＋|PF|的最大值为 6＋ 2，最小值为 6－ 2．
3．(必修 2P68A 组 T3)过点 A(3，－2)且与椭圆x92＋y42＝1 有相同焦点的椭圆的方
程为( A )
A．1x52 ＋1y02 ＝1
B．2x52 ＋2y02 ＝1
C．1x02 ＋1y52 ＝1
D．2x02 ＋1y52 ＝1
题组三 考题再现
4．(2019·湖南郴州二模)已知椭圆 E 的中心为原点，焦点在 x 轴上，椭圆上一点 到焦点的最小距离为 2 2－2，离心率为 22，则椭圆 E 的方程为___x8_2＋__y4_2_＝__1___.
• 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
标准方程 对称性
顶点
性质
轴
焦距
离心率
a、b、c 的关系
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
题组二 走进教材
2．(必修 2P42T4)椭圆10x－2 m＋m－ y2 2＝1 的焦距为 4，则 m 等于( C )
A．4
B．8
C．4 或 8
D．12
[解析] 当焦点在 x 轴上时，10－m＞m－2＞0， 10－m－(m－2)＝4，∴m＝4． 当焦点在 y 轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8． ∴m＝4 或 8．
6＋ 2，6－ 2
(3)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，
且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2 的面积为 3 3，则 b＝__3___.
[解析] (1)如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，设椭圆方程：ax22＋by22＝1(其中 a ＞b＞0)．连接 MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO|＝a(a＞|F1O|)，则 M 的轨 迹为以 F1、O 为焦点的椭圆．