(完整版)统计学习题答案第5章参数估计

第5章 参数估计
• 1.从一个标准差为 5的总体中抽出一个容量为 40的样本，样本均值为 25。

(1) 样本均值的抽样标准差(T x 等于多少？ (2)
在95%的置信水平下，允许误差是多少？
解：已知总体标准差b =5，样本容量n =40,为大样本，样本均值 x =25,
(2)已知置信水平1 - a =95%，得Z a /2 =1.96 ,
• 2•某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期 3周的时间里选取 49名顾客
组成了一个简单随机样本。

(3) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； (4) 在95%的置信水平下，求允许误差；
(5)
如果样本均值为120元，求总体均值 95%的置信区间。

解：(1)已假定总体标准差为 b =15元，
(2)已知置信水平1 - a =95%，得Z a /2 =1.96 ,
(3)已知样本均值为 x =120元，置信水平1- a =95%，得 乙/2 =1.96 ,
可知，如果样本均值为 120元，总体均值95%的置信区间为(115.8 , 124.2 )元。

• 3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校 7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽 取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据(单位：小时)：
3.3 3.1 6.2 5.8 2.3
4.1
5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6
6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1
1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7
1.4
1.2
29
35
2.4
05
36
2.5
(1 )样本均值的抽样标准差
=0.7906
于是，允许误差是
E
=
Z
a
/2
b
,n
=1.96X 0.7906= 1.5496。

则样本均值的抽样标准误差为
(T 15
CT - = ----- = ------- =2.1429
x
..n 49
于是，允许误差是 E = Z a /2
=1.96X 2.1429=4.2000。

这时总体均值的置信区间为
Z
a
/2
=120± 4.2=
124.2 115.8
求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为 解：⑴计算样本均值 X :将上表数据复制到 Excel 表中，并整理成一列，点击最后数据下面 空格，选择自动求平均值，回车，得到
X =3.316667 ,
⑵计算样本方差s ：删除Excel 表中的平均值，点击自动求值T 其它函数T STDEV 宀选
定计算数据列T 确定T 确定，得到
s=1.6093
也可以利用Excel 进行列表计算：选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格，
输
入“=(a7-3.316667)A 2 ”，回车，即得到各数据的离差平方，在最下行求总和，得到：
(X i -X 2 =90.65
再对总和除以n-仁35后，求平方根，即为样本方差的值
⑶计算样本均值的抽样标准误差: 已知样本容量 n=36，为大样本,
⑷分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间:
① 置信水平为90%时：
由双侧正态分布的置信水平
1 — a =90%，通过
2 0 — 1=0.9换算为单侧正态分
布的置信水平0 =0.95，查单侧正态分布表得 Z a /2 =1.64 ,
计算得此时总体均值的置信区间为
=3.3167± 1.64 X 0.2682" 3.7565
\ 2.8769
可知，当置信水平为 90%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为(
2.87 ,
3.76 )
小时；
② 置信水平为95%时：
由双侧正态分布的置信水平 1 — a =95%，得 乙/2 =1.96 , 计算得此时总体均值的置信区间为
=3.3167± 1.96 X 0.2682= ^8423
\ 2.7910
可知，当置信水平为 95%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为(
2.79 ,
3.84 )
小时;
③ 置信水平为99%时：
若双侧正态分布的置信水平
1— a =99%，通过2 0 —仁0.99换算为单侧正态
90%、95%和 99%。

s=
(X j -x )2 n 1
得样本均值的抽样标准误差为
1.6093 = x
,n
=一=0.2682
.36
乙/2
乙/2
分布的置信水平卩=0.995，查单侧正态分布表得 J /2 =2.58 ,
计算得此时总体均值的置信区间为
X Z a /2 s
=3.3167± 2.58 X 0.2682=；倔87 a 麻
\
2.6247 可知，当置信水平为 99%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（ 小时。

2.62 , 4.01 ) 4.从一个正态总体中随机抽取容量为 8的样本，各样本值分别为：10,8,12,15,6,13,5,11。

求 总体均值95%的置信区间。

解:( 7.1,12.9 )。

5.某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离, 他们到单位的距离（公里）分别是： 抽取了由16个人组成的一个随机样本, 10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2 求职工上班从家里到单位平均距离 95%的置信区间。

解:（ 7.18,11.57 ）。

• 6.在一项家电市场调查中，随机抽取了 200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电 视机。

其中拥有该品牌电视机的家庭占 23%。

求总体比率的置信区间， 置信水平分别为90% 和 95%。

解：已知样本容量 n =200，为大样本，拥有该品牌电视机的家庭比率 p =23% , 拥有该品牌电视机的家庭比率的抽样标准误差为 …
P (1n 叫 0.2算
7
=2.98% ⑴双侧置信水平为 90%时，通过2卩—1=0.90换算为单侧正态分布的置信水平 卩=0.95 , 查单侧正态分布表得 Z a /2 =1.64 , 此时的置信区间为 p 乙 /2 .
P （1 P ）=23%± 1.64 X 2.98%=：' 27.89%
V n \18.11% 可知，当置信水平为 90%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为 （18.11% , 27.89% ）。

⑵双侧置信水平为 95%时，得 Z a /2 =1.96 , 此时的置信区间为
=23%± 1.96 X 2.98%='28^408%
\17.1592%
可知，当置信水平为 95%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为
;(17.16% , 28.84% )。

• 7•某居民小区共有居民 500户，小区管理者准备采取一项新的供水设施，想了解居民是否 赞成。

采取重复抽样方法随机抽取了 50户，其中有32户赞成，18户反对。

(1) 求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间，置信水平为 95% ；
(2) 如果小区管理者预计赞成的比率能达到 80%，应抽取多少户进行调查？
解： 已知总体单位数 N=500，重复抽样，样本容量
n =50，为大样本，
n 32
样本中，赞成的人数为 n i =32，得到赞成的比率为 p =」=一=64%
n 50
由双侧正态分布的置信水平 1 - a =95%，得Z a /2 =1.96 , 计算得此时总体户数中赞成该项改革的户数比率的置信区间为
可知，置信水平为
95%时，总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间为
(50.70%,77.30% )。

(2)如预计赞成的比率能达到
80%，即p=80% ,
由
P (1_P )=6.788%,即.°8 °2
=6.788%
n = O.8
ON ? = 34.72 取整为 35, (6.788%) 即可得，如果小区管理者预计赞成的比率能达到 80%,应抽取35户进行调查。

8.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表:
来自总体 1的样本
来自总体2的样本
n 1 14
7
X 53.2
X 2
43.4
2 S
1
96.8
2
S
2
102.0
(1) 求1 2
90%的置信区间；
(2)
求1
2
95%的置信区间。

解:( 1.86,17.74 ); (0.19,19.41 )。

9.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表
来自总体 1的样本 来自总体 2的样本
x 2 23
(1)赞成比率的抽样标准误差为
0.64 0.36
=6.788%
50
P (1 P) n
=64%± 1.96 X 6.788%=
77.304% 50.696% 得样本容量为
2 2
q 16
s 2
20
（1 ）设n i n 2 100
，求1
2
95%的置信区间;
（2
）
设n 1
n 2 10 2
2 2
,求
1 2
95%的置信区间； （3）
设n 1 n 2
10
2
2 2 ,求
1
2
95%的置信区间；
（4） 设n 1 10, n 2 20 2 2 1 2 , 求1 2
95%的置信区间； （5
）
设n 1
10, n 2 20
2 2 1
2
, 求1
2
95%的置信区间。

解： (1) 2 ± 1.176 ; ( 2)
2 ±
3.986 ;
(3)
2 ± 3.986 ； ( 4) 2 ± 3.587 ； ( 5) 2 ± 3.364。

10.卜表是由 4对观察值组成的随机样本：
配对号 来自总体A 的样本
来自总体B 的样本
1 2 0 2 5 7 3 10 6 4
8
5
（1） 计算A 与B 各对观察值之差，再利用得出的差值计算 d 和
S d
;
（2） 设1
和2
分别为总体A 和总体B 的均值，构造
d
（
1
2
）95%的置信区间。

解：（1）d 1.75， s d 2.63 ； （ 2）1.75 ± 4.27。

11.从两个总体中各抽取一个
n 1 n 2 250
的独立随机样本，来自总体 1的样本比率为
口 40%，来自总体2的样本比率为P 2 30%。

(1) 构造 1 2 90%的置信区间； (2) 构造
1
2
95%的置信区间。

解：（1） 10% ± 6.98% ； ( 2) 10% ±
8.32%。

机器1
机器2
3.45 3.22 3.90 3.22 3.28 3.35 3.20 2.98 3.70 3.38 3.19 3.30 3.22 3.75 3.28 3.30 3.20 3.05 3.50 3.38 3.35 3.30 3.29 3.33 2.95 3.45 3.20 3.34 3.35 3.27 3.16 3.48 3.12 3.28 3.16 3.28 3.20
3.18
3.25
3.30
3.34
3.25
12.生产工序的方差是共需质量的一个重要度量。

当方差较大时，需要对共需进行改进以减 小方差。

下面是两部机器生产的袋茶重量（克）的数据：
构造两个总体方差比
2 1
2 2
95%的置信区间。

解：(4.06,14.35 )。

• 13•根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2%。

如果要求95%的置信区间，若要求允许误差不超过4%，应抽取多大的样本？
解：已知总体比率=2%=0.02，由置信水平1-沪95%，得置信度Z a2 =1.96，允许误差E<
4%
即由允许误差公式E=Z a/2 —：整理得到样本容量n的计算公式：
Z a2 中 2 n= ( E)=
z ”2. n1- n、2 z2a2 njn、1.96 0.02 0.98
=( )= 2 2
=47.0596
E E20.042
由于计算结果大于47,故为保证使成立，至少应取48个单位的样本。

• 14•某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。

根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求允许误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本？
解:已知总体标准差x=120 ,由置信水平1-a=95%，得置信度Z ”2=1.96，允许误差E W 20即由允许误差公式E=Z a/2Q整理得到样本容量n的计算公式：
/Z aa Q、2、
n=( E ) >
1.96 120 2
( )=138.2976
由于计算结果大于
47 ,故为保证使成立，至少应取139个顾客作为样本。

15.假定两个总体的标准差分别为： 1 12, 2 15，若要求误差范围不超过5,相应的置信水平为95%,假定n1 n2 ,估计两个总体均值之差 1 2时所需的样本容量为多大？
解：57。

16.假定①n2,允许误差E 0.05，相应的置信水平为95%，估计两个总体比率之差1 2时所需的样本容量为多大？
解：769 。