第7章 电力系统小干扰稳定分析分析

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特征值 正实根
负实根
根在复平面上的 分 微分方程式的解 布
说明
解按指数规律不断增大， 系统将非周期性地失去稳 定
按指数规律不断减小，系 统是稳定的。
共轭虚根
实部为正的 共轭复根
实部为负的共 轭复根
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周期性等幅振荡，稳定的 临界情况。
周期性振荡，其振荡幅值 按指数规律增大。系统发 生自发振荡，周期性地失 去稳定。
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二、运动稳定性的基本概念和小干扰法的基本原理
小干扰法：用李雅普诺夫一次近似法分析电力系统静态稳 定性的方法，根据描述受扰系统的线性化微分方程组的特 征方程式的根的性质来判定为受扰运动是否稳定的方法。
线性化微分方程组 dX AX dt
特征方程 det[A pI] 0
a0 p n a1 p n1 an1 p an 0 xi (t) ki1e p1t ki2e p2t kine pnt
sin s1
Eq0V0 Xd
PEqm
这就是系统保持静态稳定时发电机所能输送的 最大功率，称为稳定极限。
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2.计及发电机组的阻尼作用的静态稳定
假定阻尼作用所产生的转矩（或功率）都与转速 呈线性关系（D为综合阻尼系数）
MD
PD
D
D(
N )
D d
计及 dXe 0 和 F(Xe) 0 ,展开式变为: dΔX AX R(X)
dt
dt
忽略高阶项: dX AX dt
这就是原非线性方程的线性近似(一次近似)方程,或呈线性化的小 扰动方程.
李雅普诺夫稳定性判断原则为:若线性化方程中的雅可比矩阵 A没有零值或实部为零值的特征值,则非线性系统的稳定 性可以完全由线性化方程的稳定性来决定.
B
结论：当SEq>0时，电力系统受扰动后，功角δ将在δ0附近 作等幅振荡，考虑能量损耗，振荡会逐渐衰减，系统趋于稳 定。
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静态稳定判据： S Eq 0
0 90
稳定极限情况：SEq=0，极限运行角δs1=900，与 此对应的发电机输出功率为：
PEqs1
Eq0V0 Xd
f
(
,
)
PEq ( )
PEq ( 0
)
百度文库
PEq ( 0 )
dPEq
d
0
1 2!
d 2 PEq
d 2
2
略去高阶项
0
PEq ( ) PEq ( 0 ) S Eq
S Eq
dPEq
d
0
PEq ( ) PEq ( 0 ) Pe
Pe S Eq
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d dt
N
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对稳定性的简单分析
p1,2
N S Eq
TJ
当SEq<0时，特征值为两个实数，其中一个为正 实数，系统不稳定。
(t) k 1e p1t k 2e p2t
随时间按指数规律增大
当SEq>0时，特征值为一对共轭虚数
p1,2 j
N SEq
TJ
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方程的解为：
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二、运动稳定性的基本概念和小干扰法的基本原理
稳定性判断
(1)若线性化方程A矩阵的所有特征值的实部均为负值,线 性化方程的解是稳定的,则非线性系统也是稳定的. (2)若线性化方程A矩阵至少有一个实部为正值的特征值, 线性化方程的解是不稳定的,则非线性系统也是不稳定的. (3)若线性化方程A矩阵有零值或实部为零值的特征值,则 非线性系统稳定性需要计及非线性部分R(ΔX )才能判定.
电力系统小干扰法稳定分析
动力学系统运动的稳定性：由描述动力学系统的微分方程 组的解来表征，反映为微分方程组解的稳定性。
李雅普诺夫运动稳定性理论：某一运动系统受到一个非常
微小并随即消失的力（小扰动）的作用，使某些相应的量 X1、X2……产生偏移，经过一段时间，这些偏移量都小于 某一预先指定的任意小的正数，则未受扰系统是稳定的， 否则不稳定。
dX AX , X T
dt
0
1
A
N
SEq
0
TJ
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dX AX , X T
dt
0
1
A
N
SEq
0
TJ
S Eq
dPEq
d
0
Eq0V0 X d
cos 0
代入
p
det
NS TJ
Eq
1
p
p2
N S Eq
TJ
0
p1,2
N S Eq
TJ
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如果未受扰系统是稳定的，并且：
lim
t
X
i
(t)
0
则称为受扰系统是渐近稳定的。
电力系统静态稳定属于渐近稳定。
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二、运动稳定性的基本概念和小扰动法原理
非线性系统的线性近似稳定性判断法
设有一个不显含时间变量t的非线性系统,其运动方程为: dX F(X) dt
Xe是系统的一个平衡状态 ,如果系统受扰动偏离平衡状态,记X=Xe+ΔX 将其代入运动方程并展开成泰勒级数:
周期性振荡，其振荡幅值
按指数规律减小，系统是
稳定的。
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三、小干扰法分析电力系统暂态稳定性
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1.不计发电机组的阻尼作用
d
dt
N
d
dt
N
TJ
(PT 0
Pe )
Pe
PEq
Eq 0V0 X dΣ
sin
d
dt
N
f ( ,)
d
dt
N
TJ
[PT 0
PEq( )]
PEq ( )
d (Xe ΔX) dt
F(Xe )
dF(X) dX
|XXe
ΔX R(ΔX)
R(ΔX )为ΔX 的二阶及以上阶各项之和.
令
dF(X) dX |XXe A [aij ]nn
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二、运动稳定性的基本概念和小扰动法原理
矩阵A称为雅可比矩阵,其元素为:
aij
f i x j
|X Xe
(t) k 1e jt k 2e jt (k1 k 2 ) cost j(k1 k 2 ) sin t
(t
)应为实数，因而k
1、k
应为一对共轭复数。
2
设k1 A jB，k 2＝A jB
(t)
2 A c os t
2B sin
t
k
sin(t
)
k 2
A2 B2 , arctg A
f ( ,)
d dt
N TJ
[PT 0
PEq ( )]
f
(
,
)
代入
PEq ( ) PEq ( 0 ) Pe
Pe S Eq
d
dt
d ( 0 )
dt
d
dt
N
d
dt
d ( N )
dt
d
dt
N
TJ
Pe
N SEq
TJ
d 0
dt
d
dt
NS TJ
Eq
1
0