控制系统数学模型p

课程回顾 (2)
2 拉氏变换的定义
3 常见函数L变换
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
F (s) f (t ) etsdt 0
f (t)
F(s)
(t)
1
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
1s 1 s2 1 s3
s 2
s
π 3
52
)
s
Le
2t
π s
e 15
s2
cos5(t
π 15
2
s2 s2 2
)
52
2.1 控制系统的时域数学模型—微分方程 复习拉普拉斯变换有关内容（3）补充
初值定理
f t t
例10
F(s)
1 s2
终值定理
f (0)
lim s F(s)
s
lim s
s
1 s2
0
1 例11 F (s)
lim j! s p1
ds j
微分定理
例1 求 L (t) ?
解. t 1t
L f t s F s f 0
Lδt L1t s 1 10 1 0 1 s
例2 求 Lcos( t) ?
解. cos t 1 sin t
Lcos t 1
Lsin t
1
s s2 2
s
s2 2
2.1 控制系统的时域数学模型—微分方程
自动控制原理
本次课程作业
2 —9，10
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
复习： 拉普拉斯变换有关知识 §2.2 控制系统的复域数学模型
课程回顾 (1)
控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程
• 元部件及系统微分方程的建立 • 线性定常系统微分方程的特点 • 非线性方程的线性化 • 微分方程求解
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt
t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
复习拉普拉斯变换有关内容
5 拉氏反变换
（1）反演公式
f (t) 1
j
F
(
s
)
e
t
s
ds
2 j j
（2）查表法（分解部分分式法）
试凑法 系数比较法 留数法
II. 当
Baidu Nhomakorabea
有重根时 (设 p1为m重根，其余为单根)
F(s)
Cm (s-p1 )m
C m- 1 (s-p1 )m-1
C1 s-p1
Cm1 s-pm1
Cn s-pn
Cm
lim
s p1
(s
p1
)m .F(s)
Cm- 1
1 lim
1! s p1
d ds
(s
p1 )m .F(s)
C m-j
1
d( j)
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
课程回顾 (3)
4 L变换重要定理
（1）线性性质 （2）微分定理
La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s) L f t s F s f 0
（3）积分定理 （4）实位移定理 （5）复位移定理
L
f tdt
1 Fs 1
1 s3
实位移定理
t0
0 t 0
例5 f t 1 0 t a , 求F(s)
0 t a
解. f (t) 1(t) 1(t a)
L f
(t)
L1(t ) 1(t
a)
1 s
e as
1 s
1 e as s
2.1 控制系统的时域数学模型—微分方程
复习拉普拉斯变换有关内容（3）补充
F(s) C1 C2 Cn
n
Ci
s p1 s p2
s pn i1 s pi
其中：
Ci
lim (s
s pi
pi
).F(s)
B(s) Ci A(s) s pi
n
f (t ) C1e p1t C2e p2t Cne pnt Cie pit
复习拉普拉斯变换有关内容
A(s) (s p1 ) (s pn ) 0
s
s
f -10
L f (t ) eτs F(s)
L e At f (t) F (s A)
（6）初值定理 （7）终值定理
lim f (t) lim s F(s)
t 0
s
lim f (t) lim s F(s)
t
s0
2.1 控制系统的时域数学模型—微分方程 复习拉普拉斯变换有关内容
例7
L eat L 1t eat
1 s
s s sa
1 a
L e At f (t) F (s A)
例8
L e-3t cos 5t
s 2
s 52
s s3
s3 s 3 2 52
L f (t ) eτs F(s)
例9
Le
2t cos
- π s e 15
( 5t
用留数法分解部分分式
一般有 设
F(s)
B(s) A(s)
bm sm an s n
bm1sm1 ... b0 an1sn1 ... a0
(n m)
A(s) ansn an1sn1 ... a0 (s p1 )(s p2 ) (s pn )
I. 当 A(s) 0 无重根时
例1 已知 F(s) 1 ，求 f (t) ? s(s a)
解. F(s) 1 (s a)-s a s(s a)
1 a
1 s
s
1
a
f(t) 1 1 eat a
复习拉普拉斯变换有关内容
用L变换方法解线性常微分方程
anc(n)
a c(n1) n1
...
a1c
a0c
bmr (m)
b r (m1) m1
...
b1r
b0r
0 初条件 n>m
L : (ansn an1sn1 ... a1s a0 )C(s) (bm sm bm1sm1 ... b1s b0 )R(s)
C(s)
bm sm an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
R(s)
C
(
s
)
r
(
t
)
(
t
)
bm sm ansn
bm1sm1 ... b0 an1sn1 ... a0
C1
s 1
C2
s 2
Cn
s n
L1 : c(t ) L1[C(s)] C1e1t C2e2t Cnent
i: 特征根（极点） ei:t 相对于i 的模态
复习拉普拉斯变换有关内容
复习拉普拉斯变换有关内容（3）补充
积分定理
例3 求 L[t]=?
t 1tdt
L
f tdt
1 Fs 1
s
s
f -10
解.
Lt L 1t dt
1 s
1 s
1 s
t
t 0
1 s2
例4
解.
求
t2
L
2
?
L t2 2 L
t2 t dt
2
t dt
1 s
1 s2
1 t2 s2