微分几何 空间曲线
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
于是有
k ( s ) ( s ) (s)
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系 数组成一反称方阵 k (s) 0 0 0 (s) k (s) 0 (s) 0
k ( s)
所以
2 3 2 ds ds d s ds r r r r r 2 r r , dt dt dt dt
3 ds ) 因此 r r r r sin k r ( r 1, r r dt r r 由此得到曲率的一般参数的表示式 k 3 r
4、例题 P34
3、3 空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式
设空间曲线（C）为 C 3 的，且以 s 为参数。
1、曲率 定义（C）在 P 为的曲率为
k ( s) lim s 0 s
有 k ( s)
P ( s) P1 (s s)
（一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）
2、密切平面的方程
P(t0 ) 给出 C 类的曲线（C）： r r (t ) r (t0 ) 有 PQ r (t t ) r (t ) Q(t0 t ) 0 0 2 1 r (t0 )t 2 (r (t0 ) )t R 因为向量 r (t0 )和 PQ 都在平面 上，所以它们的 O 线性组合 22 [ PQ r (t0 )t ] r (t0 ) 也在平面 上。 t
P
3、2
空间曲线的基本三棱形
dr 2 1、给出 C 类曲线 r r ( s) 得一单位向量 r ，称为曲 ds
1 线（C）上 P 点的单位切向量。 （ 注意到 ）
称
r r
为曲线在 P 点的主法向量,它垂直于单位切向量。 称 为曲线在 P 点的付法向量。
把两两正交的单位向量 , , 称为曲线在 P 点的伏雷内
（Frenet)标架。
2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法 平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成 的图形叫做曲线的基本三棱形。
2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的
弯曲程度。
3、挠率 与曲率类似有 lim s 0 s
r k (s) r k ( s) , ( ) k ( s)
ห้องสมุดไป่ตู้、曲率和挠率的一般参数表示式
给出 C 3 类的曲线（C）：
dr ds ds ds r r (t ) , r r r . ds dt dt dt
2
2 2 2 2 ds d s d r ds d s ds d s r (r ) r 2 r 2 r r 2 , dt dt ds dt dt dt dt
2
两边取极限得 r (t0 )在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此
只要 r (t ) r (t ) 0 这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。 密切平面方程为 (R r (t0 ), r (t0 ), r (t0 )) 0
用 R {X , Y , Z} 表示 P 点的密切平面上任一点的向径，
则上式表示为
X x(t0 ) Y y (t0 ) Z z (t0 ) x(t0 ) y(t0 ) z (t0 ) 0 x(t0 ) y(t0 ) z (t0 )
如果曲线用自然参数 s 表示，则将上式中的撇改成点。 平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。 例题 求园柱螺线上任一点的密切平面。
3、对于曲线（C）的一般参数表示 r r (t ), 有
r , r (r r )r (r r )r r r , r r r r r
挠率的绝对值是曲线的付法向量对于弧长的旋转速度。
4、由定义可得
(s)
又 ( ) ( s) k ( s) k ( s) ( s)
( s) (s s)
(s s)
, .( 1) // .
定义 曲线（C）在 P 点的挠率为
,当 和 异向,
( s)
,当 和 同向.
k ( s ) ( s ) (s)
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系 数组成一反称方阵 k (s) 0 0 0 (s) k (s) 0 (s) 0
k ( s)
所以
2 3 2 ds ds d s ds r r r r r 2 r r , dt dt dt dt
3 ds ) 因此 r r r r sin k r ( r 1, r r dt r r 由此得到曲率的一般参数的表示式 k 3 r
4、例题 P34
3、3 空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式
设空间曲线（C）为 C 3 的，且以 s 为参数。
1、曲率 定义（C）在 P 为的曲率为
k ( s) lim s 0 s
有 k ( s)
P ( s) P1 (s s)
（一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）
2、密切平面的方程
P(t0 ) 给出 C 类的曲线（C）： r r (t ) r (t0 ) 有 PQ r (t t ) r (t ) Q(t0 t ) 0 0 2 1 r (t0 )t 2 (r (t0 ) )t R 因为向量 r (t0 )和 PQ 都在平面 上，所以它们的 O 线性组合 22 [ PQ r (t0 )t ] r (t0 ) 也在平面 上。 t
P
3、2
空间曲线的基本三棱形
dr 2 1、给出 C 类曲线 r r ( s) 得一单位向量 r ，称为曲 ds
1 线（C）上 P 点的单位切向量。 （ 注意到 ）
称
r r
为曲线在 P 点的主法向量,它垂直于单位切向量。 称 为曲线在 P 点的付法向量。
把两两正交的单位向量 , , 称为曲线在 P 点的伏雷内
（Frenet)标架。
2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法 平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成 的图形叫做曲线的基本三棱形。
2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的
弯曲程度。
3、挠率 与曲率类似有 lim s 0 s
r k (s) r k ( s) , ( ) k ( s)
ห้องสมุดไป่ตู้、曲率和挠率的一般参数表示式
给出 C 3 类的曲线（C）：
dr ds ds ds r r (t ) , r r r . ds dt dt dt
2
2 2 2 2 ds d s d r ds d s ds d s r (r ) r 2 r 2 r r 2 , dt dt ds dt dt dt dt
2
两边取极限得 r (t0 )在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此
只要 r (t ) r (t ) 0 这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。 密切平面方程为 (R r (t0 ), r (t0 ), r (t0 )) 0
用 R {X , Y , Z} 表示 P 点的密切平面上任一点的向径，
则上式表示为
X x(t0 ) Y y (t0 ) Z z (t0 ) x(t0 ) y(t0 ) z (t0 ) 0 x(t0 ) y(t0 ) z (t0 )
如果曲线用自然参数 s 表示，则将上式中的撇改成点。 平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。 例题 求园柱螺线上任一点的密切平面。
3、对于曲线（C）的一般参数表示 r r (t ), 有
r , r (r r )r (r r )r r r , r r r r r
挠率的绝对值是曲线的付法向量对于弧长的旋转速度。
4、由定义可得
(s)
又 ( ) ( s) k ( s) k ( s) ( s)
( s) (s s)
(s s)
, .( 1) // .
定义 曲线（C）在 P 点的挠率为
,当 和 异向,
( s)
,当 和 同向.