大学物理5.4波的能量与能流

u
t = t0
ξ=0→w k wp同时最大 (1/4) ρω2A2
ξ 最大→ wk wp同时为 0
o
wk wp
λ
x
ξ
波形与能量分布示意图
注意：有波传播时，振动质元的能量不守恒。
(3) 与谐振子的能量比较
(1/2)kA2 Ep
E
=
Ek
+
Ep
=
1 kA2 2
E Ek
o
Tt
x
Ep和Ek是t的函数，但总机械能守恒，
振动过程 中动能与势能交替转换。
E
E
谐振子能量随空间位置的变化
Ek Ep
-A
Ax
二. 能流、能流密度、波的强度 1. 能流 单位时间内通过某 一截面的能量 能= 流 : p w= ⋅ u∆t ⋅ S wuS
∆t
u
u∆t S
设能量密度为w
平面简谐波 w = ρω 2A2sin2(ω t-kx) 平面简谐波能流： p =uS ρω 2A2sin2(ω t-kx)
wk = wp
w能 = 1 ρω 2 A2
2
ξ=0→w k w p最大
ξ 最大→ wk w p为 0
平衡位置形 变最大，势 能最大
(1) 固定x
x = x0
质元的wk、w p均随 t 周 期性变化，
w k= w p
(1/4) ρω 2A2
o
wk wp
Tt
ξ
质元能量变化示意图
(2) 固定t
wk、wp随x在空间周期 分布
ξ(x,t)=Acos(ω t-kx)
动能与势能密度：
wk
1 ρω 2 A2 sin2 (ω t − kx)
2
wp
1 Yk 2 A2 sin2 (ω t − kx)
2
k = 2π = ω λu
u2 = Y
ρ
1 ρω 2 A2 sin2 (ω t − kx)
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
w能 = wk + w p = ρω 2 A2 sin2 (ω t − kx)
平均能流： p = w ⋅ u ⋅ S
w
=
1 T
T
∫0
wdt
=
1 2
ρω
2
A2
2.能流密度 波的强度
通过垂直于传播方向的单位面积的能流
p = wu S
能流密度的时间平均值
I =w⋅u
平面简谐波波强:
I = w ⋅ u = 1 ρ uω 2 A2
2
单位：W/m2
I ∝ A2 频率确定时，常用振幅的平方代表波强
§4 波的能量
一. 弹性波的能量 能量密度
媒质内振动动能 + 形变势能 = 波的能量
1 弹性波的能量密度 (以细长棒为例)
动能
∆Ek
=1 ∆mv 2 2
=1 2
ρ
S
∆x

∂ξ
∂t
2
动能密度
wk
=
∆E k S∆x
=
1 2
ρ

∂ξ
∂t
2
F = SY ∆ξ = k∆ξ
∆x
F = Y ∂ξ
S
∂x
弹性势能
∆E p
=
1 2
k(
∆ξ
)2
=1 YS∆x( ∆ξ
)2
=1 Y
∆ξ
(
)2 dV
2
∆x 2 ∆x
势能密度
wp
=
1 Y 2
∂ξ
∂x
2

能量密度
w能
=
wk
+
wp
=
1 2
ρ

∂ξ ∂t
2
+
1Y 2

∂ξ ∂x
2
2 平面简谐波的能量密度