二阶及高阶导数的概念及计算ppt课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导，如果对应的 曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在 (a,b)内是凹的，
如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方， 则称曲线在(a,b)内是凸的。
从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段 向下弯曲是凸的。
[定理4.7]
设函数y＝f(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b) 内f"(x)＞0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的， 如果在(a,b)内f"(x)＜0，那么对应的曲线在(a,b) 内是凸的。
4
例4.13 判定曲线y＝1 的凹凸性
解：∵y＝ 1
x
∴f'(x)＝－
1
，f"(x)＝ 1
，
x
x2
x3
无拐点但有间断点x＝0
当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，
当x＞0时，f"(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。
5
例4.14 判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性
解：∵y'＝－sinx，y"＝－cosx，
的点不一定都是拐点。 [求拐点的一般步骤]
⑴ 求二阶导数f"(x)； ⑵ 求出f"(x)＝0的全部实根；
⑶ 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的 符号，如果x0两侧f"(x)的符号不同，则点(x0,f(x0)) 是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点
(x0,f(x0))不是曲线的拐点。
其中Rn(x)＝
f (n1) ( ) xn1
(n 1)!
(ξ在0与x之间)
上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展
开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。
11
当x→0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于xn的高阶无 穷小量，可表示为Rn(x)＝O(xn)。
O(xn)称为皮亚诺余项。
2
例4.11 求下列函数的极值
⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]
解:⑵ f'(x)＝cosx－sinx，令cosx－sinx＝0，
得驻点为x1＝
4
，x2＝5
4
，又f"(x)＝－sinx－cosx，
f " () s ic n o 2 s 0f " ( 5 ) s5 i c n 5 o 2 s 0
⑵ 计算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的驻点、极值 点和增减区间；
⑶ 计算f“(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐点和凹凸 区间；
⑷ 计算驻点、拐点处的函数值； ⑸ 列表，描绘函数的图象。
9
三、高阶导数的应用
4.8 用多项式近似表达函数──泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示
1
例4.11 求下列函数的极值 ⑴ f(x)＝2x3－3x2 ⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]
解：⑴f'(x)＝6x2－6x，f"(x)＝12x－6 令6x2－6x＝0，得驻点为x1＝1，x2＝0 ∵f"(1)＝6＞0，f"(0)＝－6＜0 把x1＝1，x2＝0代入原函数计算得f(1)＝－1、 f(0)＝0 ∴当x＝1时，y极小＝－1，x＝0时，y极大＝0
这样，函数f(x)在x＝0点附近的泰勒展开式又表
示为：
f(x ) f( 0 ) f'( 0 )x f" ( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n O (x n )
2 !
n !
一般地，函数f(x)在x＝x0点附近泰勒展开式为：
f( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) x ( x 0 ) f" 2 ( ! x 0 ) ( x x 0 ) 2 f( n n ) ( ! x 0 ) ( x x 0 ) n O ( x x 0 ) n
令y"＝0，得x1＝
2
，x2＝
3
2
∴当x∈(0, 2 )时，f”(x)＜0，曲线在(0, 2 )内为
凸的，
当x∈( , 3 )时，f”(x)＞0，曲线在( , 3 )
22
22
内是凹的，
当x∈( 3 ,2π)时，f”(x)＜0，曲线在(3 ,2π)
2
2
内为凸的。
6
2. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。 因此拐点一定是使f"(x)＝0的点，但是使f"(x)＝0
∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0 因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的， 点(0,－1)不是拐点。
8
4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准
确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为：
⑴ 确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函 数图象和两坐标轴的交点；
4 把x1＝4 4 ，4 x2＝ 54
44
代入原函数计算得
4
f( )＝
4
2
、f( 5 )＝－
4
2
。所以当x＝
4
时，
y极大＝
2 ，x＝ 5
4
时，y极小＝－
2
[注意]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如果f'(x0)＝0，f"(x0)＝0或不存在，本
定理无效，则需要考察点x0两边f'(x)的符号来判
定是否为函数的极值点。
3
4.6 函数的凹凸性和拐点 1. 曲线的凹凸性
12
4.9 几个初等函数的泰勒公式
例4.19 求函数f(x)＝ex在x＝0点的泰勒展开式
一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么
我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?
10
[定理4.8]
设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导 数，那么
f(x ) f( 0 ) f'( 0 )x f" 2 ( ! 0 )x 2 f(n n ) ! ( 0 )x n R n (x )
7
例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0
当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，y"＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为曲 线上的拐点。
例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f"(x)＝12x2
二、二阶导数的应用
4.5 函数极值的判定 [定理4.6]
如 果 函 数 f(x) 在 x0 附 近 有 连 续 的 二 阶 导 数 f"(x)，且f'(x0)＝0，f"(x)≠0，那么 ⑴若f"(x0)＜0，则函数f(x)在点x0处取得极大值 ⑵若f"(x0)＞0，则函数f(x)在点x0处取得极小值
如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方， 则称曲线在(a,b)内是凸的。
从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段 向下弯曲是凸的。
[定理4.7]
设函数y＝f(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b) 内f"(x)＞0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的， 如果在(a,b)内f"(x)＜0，那么对应的曲线在(a,b) 内是凸的。
4
例4.13 判定曲线y＝1 的凹凸性
解：∵y＝ 1
x
∴f'(x)＝－
1
，f"(x)＝ 1
，
x
x2
x3
无拐点但有间断点x＝0
当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，
当x＞0时，f"(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。
5
例4.14 判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性
解：∵y'＝－sinx，y"＝－cosx，
的点不一定都是拐点。 [求拐点的一般步骤]
⑴ 求二阶导数f"(x)； ⑵ 求出f"(x)＝0的全部实根；
⑶ 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的 符号，如果x0两侧f"(x)的符号不同，则点(x0,f(x0)) 是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点
(x0,f(x0))不是曲线的拐点。
其中Rn(x)＝
f (n1) ( ) xn1
(n 1)!
(ξ在0与x之间)
上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展
开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。
11
当x→0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于xn的高阶无 穷小量，可表示为Rn(x)＝O(xn)。
O(xn)称为皮亚诺余项。
2
例4.11 求下列函数的极值
⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]
解:⑵ f'(x)＝cosx－sinx，令cosx－sinx＝0，
得驻点为x1＝
4
，x2＝5
4
，又f"(x)＝－sinx－cosx，
f " () s ic n o 2 s 0f " ( 5 ) s5 i c n 5 o 2 s 0
⑵ 计算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的驻点、极值 点和增减区间；
⑶ 计算f“(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐点和凹凸 区间；
⑷ 计算驻点、拐点处的函数值； ⑸ 列表，描绘函数的图象。
9
三、高阶导数的应用
4.8 用多项式近似表达函数──泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示
1
例4.11 求下列函数的极值 ⑴ f(x)＝2x3－3x2 ⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]
解：⑴f'(x)＝6x2－6x，f"(x)＝12x－6 令6x2－6x＝0，得驻点为x1＝1，x2＝0 ∵f"(1)＝6＞0，f"(0)＝－6＜0 把x1＝1，x2＝0代入原函数计算得f(1)＝－1、 f(0)＝0 ∴当x＝1时，y极小＝－1，x＝0时，y极大＝0
这样，函数f(x)在x＝0点附近的泰勒展开式又表
示为：
f(x ) f( 0 ) f'( 0 )x f" ( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n O (x n )
2 !
n !
一般地，函数f(x)在x＝x0点附近泰勒展开式为：
f( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) x ( x 0 ) f" 2 ( ! x 0 ) ( x x 0 ) 2 f( n n ) ( ! x 0 ) ( x x 0 ) n O ( x x 0 ) n
令y"＝0，得x1＝
2
，x2＝
3
2
∴当x∈(0, 2 )时，f”(x)＜0，曲线在(0, 2 )内为
凸的，
当x∈( , 3 )时，f”(x)＞0，曲线在( , 3 )
22
22
内是凹的，
当x∈( 3 ,2π)时，f”(x)＜0，曲线在(3 ,2π)
2
2
内为凸的。
6
2. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。 因此拐点一定是使f"(x)＝0的点，但是使f"(x)＝0
∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0 因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的， 点(0,－1)不是拐点。
8
4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准
确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为：
⑴ 确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函 数图象和两坐标轴的交点；
4 把x1＝4 4 ，4 x2＝ 54
44
代入原函数计算得
4
f( )＝
4
2
、f( 5 )＝－
4
2
。所以当x＝
4
时，
y极大＝
2 ，x＝ 5
4
时，y极小＝－
2
[注意]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如果f'(x0)＝0，f"(x0)＝0或不存在，本
定理无效，则需要考察点x0两边f'(x)的符号来判
定是否为函数的极值点。
3
4.6 函数的凹凸性和拐点 1. 曲线的凹凸性
12
4.9 几个初等函数的泰勒公式
例4.19 求函数f(x)＝ex在x＝0点的泰勒展开式
一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么
我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?
10
[定理4.8]
设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导 数，那么
f(x ) f( 0 ) f'( 0 )x f" 2 ( ! 0 )x 2 f(n n ) ! ( 0 )x n R n (x )
7
例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0
当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，y"＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为曲 线上的拐点。
例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f"(x)＝12x2
二、二阶导数的应用
4.5 函数极值的判定 [定理4.6]
如 果 函 数 f(x) 在 x0 附 近 有 连 续 的 二 阶 导 数 f"(x)，且f'(x0)＝0，f"(x)≠0，那么 ⑴若f"(x0)＜0，则函数f(x)在点x0处取得极大值 ⑵若f"(x0)＞0，则函数f(x)在点x0处取得极小值