第32讲第一章高等数学(十七)
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（3）收敛半径
1）如果幂级数 当 时绝对收敛， 时发散，则称正数 为其收敛半径。
规定：如果幂级数 在 内收敛，则 ，如果幂级数 仅在 点收敛，则
2）收敛半径 的求法
1°对标准幂级数 ，收敛半径 （或 ）。
注：当 时， 。
2°对缺项幂级数 （或 ），则需用比值审敛法，求极限
，由 ，则 为收敛半径。
（4）收敛区间和收敛域
(C)
(D)
解：这是公比为 首项为 的等比级数，故应选(B)
【例题8-13】幂级数 的和函数 等于：
（A）
（B）
（C）
（D）
解： ，故应选C。
课后练习：
【练习题8-1】已知级数 是收敛的，则下列结果成立的是：
（A） 必收敛
（B） 必收敛
（C） 未必收敛
（D） 发散
【练习题8-2】对正项级数 则 是此正项级数收敛的：
若幂级数 的收敛半径为 ，则收敛区间为开区间 。将再 代入 ，讨论相应数项级数的收敛性，从而可得收敛域。
【例题8-8】下列幂级数中，收敛半径为 的幂级数是：
(A)
(B)
(C)
(D)
解：对于幂级数 ， ，故应选(D)。
【例题8-9】幂级数 的收敛域是：
(A)
(B)
(C)
(D)
解：令 ，得级数 ，由于 ，当 时，级数 发散；当 时，级数 收敛，收敛域为 ，原级数的收敛域为 ，即 ，故应选(A)
2．用间接法求函数的幂级数展开式
利用两个重要函数的麦克劳林展开式
【例题8-10】函数 展开成 的幂级数是：
(A)
(B)
(C)
(D)
解： ，应选(B).
【例题8-11】函数 展开成 的幂级数是：
(A)
(B)
(C)
(D)
解： ，应选(A).
3.简单的幂级数求和
【例题8-12】幂级数 的和函数是：
(A)
(B)
第二节 幂级数
1.幂级数及收敛性
（1）形如 的函数项级数称为泰勒级数，当 时有 ，称为麦克劳林级数，统称为幂级数。
（2）阿贝尔定理：如果幂级数 当 收敛，则适合不等式 的一切 使幂级数 绝对收敛；如果幂级数 当 时发散，则适合不等式 的一切 使幂级数 发散。
【例题8-7】若幂级数 在 处收敛，则此级数在 处：.
（A）发散
（B）条件收敛
（C）绝对收敛
（D）收敛性不能确定
解：由 在 处收敛，令 ，则级数 在 处收敛，由阿贝尔定理知级数 在 内绝对收敛。当 时， 在区间 内，故绝对收敛，应选（C）。
【例题8-8】若幂级数 在 处收敛，则该级数在 处：
（A）发散
（B）条件收敛；
（C）绝对收敛
（D）敛散性不确定
解：因 收敛，即幂级数 在 时绝对收敛。因此，当 ，即 时，级数 绝对收敛，故选C。
（C）发散
（D）收敛性不能确定
【练习题8-12】下列幂级数中，收敛半径为 的幂级数是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-13】设幂级数 的收敛半径为2，则幂级数 的收敛区间是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-14】幂级数 的收敛域是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-15】级数 的收敛域是：
（B）必条件收敛
（C）必发散
（D）可能收敛也可能发散
【练习题8-5】下列各级数发散的是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-6】下列各级数发散的是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-7】级数
（A）当 时，绝对收敛
（B）当 时，条件收敛
（C）当 时，绝对收敛
（D）当 时，发散
【练习题8-8】设 ，下列级数中绝对收敛的是:
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-9】下列命题中正确的是：
（A）若 收敛，则 条件收敛
（B）若 收敛，则 收敛
（C）若 条件收敛，则 发散
（D）若 ，则 收敛
【练习题8-10】下列级数中，绝对收敛的级数是：
A．
B.
C．
D.
【练习题8-11】若幂级数 在 处收敛，则此级数在 处：.
（A）绝对收敛
（B）条件收敛
（A）充分条件但非必要条件
（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
【练习题8-3】正项级数 的部分和数列 有上界是该级数收敛的
（A）充分必要条件
（B）充分条件而非必要条件
（C）必要条件而非充分条件
（D）既非充分又非必要条件
【练习题8-4】若级数 收敛，则级数
（A）必绝对收敛
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-16】函数 展开成 的幂级数是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-17】将 展开为 的幂级数，其收敛域为：
（A）
（B）
（C）
（D）
【练习题8-18】级数 的和函数是：
(A)
(B)
(C)
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【练习题8-19】幂级数 在 的和函数是：
A．
B.
C．
D.
1）如果幂级数 当 时绝对收敛， 时发散，则称正数 为其收敛半径。
规定：如果幂级数 在 内收敛，则 ，如果幂级数 仅在 点收敛，则
2）收敛半径 的求法
1°对标准幂级数 ，收敛半径 （或 ）。
注：当 时， 。
2°对缺项幂级数 （或 ），则需用比值审敛法，求极限
，由 ，则 为收敛半径。
（4）收敛区间和收敛域
(C)
(D)
解：这是公比为 首项为 的等比级数，故应选(B)
【例题8-13】幂级数 的和函数 等于：
（A）
（B）
（C）
（D）
解： ，故应选C。
课后练习：
【练习题8-1】已知级数 是收敛的，则下列结果成立的是：
（A） 必收敛
（B） 必收敛
（C） 未必收敛
（D） 发散
【练习题8-2】对正项级数 则 是此正项级数收敛的：
若幂级数 的收敛半径为 ，则收敛区间为开区间 。将再 代入 ，讨论相应数项级数的收敛性，从而可得收敛域。
【例题8-8】下列幂级数中，收敛半径为 的幂级数是：
(A)
(B)
(C)
(D)
解：对于幂级数 ， ，故应选(D)。
【例题8-9】幂级数 的收敛域是：
(A)
(B)
(C)
(D)
解：令 ，得级数 ，由于 ，当 时，级数 发散；当 时，级数 收敛，收敛域为 ，原级数的收敛域为 ，即 ，故应选(A)
2．用间接法求函数的幂级数展开式
利用两个重要函数的麦克劳林展开式
【例题8-10】函数 展开成 的幂级数是：
(A)
(B)
(C)
(D)
解： ，应选(B).
【例题8-11】函数 展开成 的幂级数是：
(A)
(B)
(C)
(D)
解： ，应选(A).
3.简单的幂级数求和
【例题8-12】幂级数 的和函数是：
(A)
(B)
第二节 幂级数
1.幂级数及收敛性
（1）形如 的函数项级数称为泰勒级数，当 时有 ，称为麦克劳林级数，统称为幂级数。
（2）阿贝尔定理：如果幂级数 当 收敛，则适合不等式 的一切 使幂级数 绝对收敛；如果幂级数 当 时发散，则适合不等式 的一切 使幂级数 发散。
【例题8-7】若幂级数 在 处收敛，则此级数在 处：.
（A）发散
（B）条件收敛
（C）绝对收敛
（D）收敛性不能确定
解：由 在 处收敛，令 ，则级数 在 处收敛，由阿贝尔定理知级数 在 内绝对收敛。当 时， 在区间 内，故绝对收敛，应选（C）。
【例题8-8】若幂级数 在 处收敛，则该级数在 处：
（A）发散
（B）条件收敛；
（C）绝对收敛
（D）敛散性不确定
解：因 收敛，即幂级数 在 时绝对收敛。因此，当 ，即 时，级数 绝对收敛，故选C。
（C）发散
（D）收敛性不能确定
【练习题8-12】下列幂级数中，收敛半径为 的幂级数是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-13】设幂级数 的收敛半径为2，则幂级数 的收敛区间是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-14】幂级数 的收敛域是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-15】级数 的收敛域是：
（B）必条件收敛
（C）必发散
（D）可能收敛也可能发散
【练习题8-5】下列各级数发散的是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-6】下列各级数发散的是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-7】级数
（A）当 时，绝对收敛
（B）当 时，条件收敛
（C）当 时，绝对收敛
（D）当 时，发散
【练习题8-8】设 ，下列级数中绝对收敛的是:
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-9】下列命题中正确的是：
（A）若 收敛，则 条件收敛
（B）若 收敛，则 收敛
（C）若 条件收敛，则 发散
（D）若 ，则 收敛
【练习题8-10】下列级数中，绝对收敛的级数是：
A．
B.
C．
D.
【练习题8-11】若幂级数 在 处收敛，则此级数在 处：.
（A）绝对收敛
（B）条件收敛
（A）充分条件但非必要条件
（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
【练习题8-3】正项级数 的部分和数列 有上界是该级数收敛的
（A）充分必要条件
（B）充分条件而非必要条件
（C）必要条件而非充分条件
（D）既非充分又非必要条件
【练习题8-4】若级数 收敛，则级数
（A）必绝对收敛
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-16】函数 展开成 的幂级数是：
(A)
(B)
(C)
(D)
【练习题8-17】将 展开为 的幂级数，其收敛域为：
（A）
（B）
（C）
（D）
【练习题8-18】级数 的和函数是：
(A)
(B)
(C)
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【练习题8-19】幂级数 在 的和函数是：
A．
B.
C．
D.