2017-2018学年高中数学空间几何体1.1.2旋转体与简单组合体的结构特征学案(含解析)

1.1.2 旋转体与简单组合体的结构特征

1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．

2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)

3．认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体的两种基本构成形成．(重点、易混点

)

[基础·初探]

教材整理1 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 阅读教材P 5～P 6“探究”以上部分，完成下列问题．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．( ) (2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．( ) (3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( )

【解析】 (1)错误．

应以直角三角形的一条直角边为轴；(2)错误．应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；(3)错误，应是平面与圆锥底面平行时．

【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 简单组合体的结构特征

阅读教材P 6～P 7“练习”以上部分，完成下列问题． 1．简单组合体的概念

由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．简单组合体的构成形式

有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．

如图1­1­15所示的组合体的结构特征是( )

图1­1­15

A ．一个棱柱中截去一个棱柱

B ．一个棱柱中截去一个圆柱

C ．一个棱柱中截去一个棱锥

D ．一个棱柱中截去一个棱台

【解析】 由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个棱柱中截去一个棱锥． 【答案】 C

[小组合作型]

下列命题中正确的是( )

A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线

【精彩点拨】根据圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征进行判断．

【自主解答】A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，故选C.

【答案】 C

1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．

2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．

[再练一题]

1．下列结论：

①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线相互平行．

其中正确的是( )

A．①②B．②③

C．①③D．②④

D[①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．]

如图ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征．

图1­1­16

【精彩点拨】关键是弄清简单组合体是由哪几部分组成．

【自主解答】如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．

本题是不规则图形的旋转问题.对于不规则平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形作适当的分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆半圆或四分之一圆等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.

[再练一题]

2．描述下列几何体的结构特征．

图1­1­17

【解】图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．

[探究共研型]

探究1 【提示】 圆面．

探究2 圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？ 【提示】 分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．

探究3 经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？

【提示】 因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．

如图1­1­18所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、

下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长．

图1­1­18

【精彩点拨】 过圆锥的轴作截面，利用三角形相似来解决．

【自主解答】 设圆台的母线长为l ，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示．

则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. ∴

SA ′SA ＝O ′A ′OA ，∴33＋l ＝r 4r ＝1

4

. 解得l ＝9(cm)， 即圆台的母线长为9 cm.

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质与底面全等或相

似，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面轴截面的性质，利用相似三角形中的相似比，建立相关几何变量的方程组求解

.

[再练一题]

3．一个圆锥的高为2 cm ，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．

【解】 如图，设圆锥SO 的底面直径为AB ，SO 为高，SA 为母线，则∠ASO ＝30°. 在Rt △SOA 中，

AO ＝SO ·tan 30°＝23

3

(cm)． SA ＝

SO

cos 30°＝23

2

＝433(cm)．

∴S △ASB ＝12SO ·2AO ＝433

(cm 2

)．

∴圆锥的母线长为433 cm ，圆锥的轴截面的面积为

433

cm 2

.

1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．圆台

D ．两个圆锥

【解析】 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．

【答案】 D

2．下列说法不正确的是( ) A ．圆柱的平行于轴的截面是矩形 B ．圆锥的过轴的截面是等边三角形 C ．圆台的平行于底面的截面是圆面 D ．球的任意截面都是圆面