中考数学一元二次方程的综合复习及详细答案

（2）设方程的另一个根为 t，利用根与Biblioteka Baidu数的关系得到 2+t= m 2 ,2t=m,最终解出关于 t 1
和 m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明： △ =(m+2)2−4×1⋅ m=m2+4， ∵ 无论 m 为何值时 m2≥0， ∴ m2+4≥4＞0， 即△ ＞0， 所以无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为 t，
【答案】（1）2；（2）① 60°；②
；③ ；④
.
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出 AC 的长，即可得到 AD 的长. （2）①当点 E 与点 C 重合时，∠ FCD 的角度最大，据此求解即可. ②过点 F 作 FH⊥AC 于点 H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含 30 度角直角三角形的 性质求解即可. ③过点 F 作 FH⊥AC 于点 H，AD=x，应用含 30 度角直角三角形的性质把 FC 用 x 来表示， 根据勾股定理列式求解. ④设 AD=x，把△ FCD 的面积 s 表示为 x 的函数，根据 x 的取值范围来确定 s 的取值范围.
6．工人师傅用一块长为 10dm，宽为 6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将 四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为 12dm2 时，裁掉的正方形边长 多大？
【答案】裁掉的正方形的边长为 2dm，底面积为 12dm2. 【解析】 试题分析：设裁掉的正方形的边长为 xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x） dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为 12dm2 列出方程，解方程即可求得裁掉的正 方形边长. 试题解析： 设裁掉的正方形的边长为 xdm， 由题意可得(10-2x)(6-2x)=12， 即 x2-8x+12=0，解得 x=2 或 x=6(舍去)， 答：裁掉的正方形的边长为 2dm，底面积为 12dm2.
【答案】（1）2（2）6（3）7 【解析】 【分析】 （1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为 0， 两非负数分别为 0 求出 x 与 y 的值，即可求出 x﹣y 的值； （2）将已知等式 25 分为 9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之 和为 0，两非负数分别为 0 求出 a 与 b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求 出 c 的长； （3）由 a﹣b=4，得到 a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简， 根据两个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 b 与 c 的值，进而求出 a 的值，即可求 出 a﹣b+c 的值． 【详解】 （1）∵ x2+2xy+2y2+2y+1=0 ∴ （x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0 ∴ （x+y）2+（y+1）2=0 ∴ x+y=0 y+1=0 解得：x=1，y=﹣1 ∴ x﹣y=2； （2）∵ a2+b2﹣6a﹣8b+25=0 ∴ （a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0 ∴ （a﹣3）2+（b﹣4）2=0 ∴ a﹣3=0，b﹣4=0 解得：a=3，b=4 ∵ 三角形两边之和＞第三边 ∴ c＜a+b，c＜3+4，∴ c＜7．又∵ c 是正整数，∴ △ ABC 的最大边 c 的值为 4，5，6，∴ c 的最大值为 6；
7．阅读材料:若 m2 2mn 2n2 8n 16 0 ，求 m、n 的值. 解: m2 2mn 2n2 8n 16 0 ， (m2 2mn n2 ) (n2 8n 16) 0
(m n)2 (n 4)2 0 ，
m n 0, n 4 0 ，
n 4, m 4 .
（3）∵ a﹣b=4，即 a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2 ﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴ b+2=0，且 c﹣3=0，即 b=﹣2，c=3，a=2，则 a﹣ b+c=2﹣（﹣2）+3=7． 故答案为 7． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关 键．
试题解析：（1）∵ ∠ B=90°，∠ A=45°，BC= ，∴ AC=12. ∵ CD=10，∴ AD=2. （2）①∵ ∠ F=90°，∠ EDF=30°，∴ ∠ DEF=60°. ∵ 当点 E 与点 C 重合时，∠ FCD 的角度最大，∴ ∠ FCD 的最大度数=∠ DEF="60°." ② 如图，过点 F 作 FH⊥AC 于点 H，
∴ 矩形的对角线长为： m2 n2 m n2 2mn 15 .
【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别 式△ 的关系：（1）△ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；（2）△ =0 时，方程有两个相 等的实数根；（3）△ ＜0 时，方程没有实数根．
角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.
5．已知关于 x 的一元二次方程 x2 m 2 x m 0（m 为常数）
（1）求证：不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析； (2) 即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0. 【解析】 【分析】 （1）可用根的判别式，计算判别式得到△ =(m+2)2−4×1⋅ m=m2+4＞0，则方程有两个不相等 实数解，于是可判断不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
∵ ∠ EDF=30°， EF=2，∴ DF= . ∴ DH=3，FH= .
∵ FC∥ AB，∠ A=45°，∴ ∠ FCH="45°." ∴ HC= . ∴ DC=DH+HC=
.
∵ AC=12，∴ AD=
.
③如图，过点 F 作 FH⊥AC 于点 H，设 AD=x，
由②知 DH=3，FH= ，则 HC=
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）己知 x2 2xy 2 y2 2 y 1 0 ，求 x y 的值.
（2）已知△ ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足 a2 b2 6a 8b 25 0 ，求边
c 的最大值.
（3） 若己知 a b 4, ab c2 6c 13 0 ，求 a b c 的值.
x2 m 2 x m 0
根据题意得 2+t= m 2 ,2t=m， 1
解得 t=0， 所以 m=0， 即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0. 【点睛】 本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过 程中注意对△ 的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为 t，用 根于系数关系列出方程组，在求解.
.
在 Rt△ CFH 中，根据勾股定理，得
.
∵ 以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且 FC 为斜边，
∴
，即
，解得 .
④设 AD=x，易知
，即
.
而
，
当 时，
；当 时，
.
∴ △ FCD 的面积 s 的取值范围是
.
考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含 30 度角直
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家 庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止 2008 年底全市汽车拥有量为 14.4 万 辆．已知 2006 年底全市汽车拥有量为 10 万辆． （1）求 2006 年底至 2008 年底我市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，要求我市到 2010 年底汽车拥有量不超过 15.464 万辆，据估计从 2008 年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%，那么每年新增汽车数 量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） 【答案】详见解析 【解析】 试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决 问题； （2）参照增长率问题的一般规律，表示出 2010 年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不 等式来判断正确的解． 试题解析：（1）设年平均增长率为 x，根据题意得： 10（1+x）2=14.4， 解得 x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2， 答：年平均增长率为 20%； （2）设每年新增汽车数量最多不超过 y 万辆，根据题意得： 2009 年底汽车数量为 14.4×90%+y， 2010 年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y， ∴ （14.4×90%+y）×90%+y≤15.464， ∴ y≤2． 答：每年新增汽车数量最多不超过 2 万辆． 考点：一元二次方程—增长率的问题
2．已知关于 x 的方程 x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且 k＝2，求该矩形的对角线 L 的长．
【答案】（1）k＞ 3 ；（2） 15 . 4
【解析】 【分析】 （1）根据关于 x 的方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0 有两个不相等的实数根，得出△ ＞0，再 解不等式即可； （2）当 k=2 时，原方程 x2-5x+5=0，设方程的两根是 m、n，则矩形两邻边的长是 m、n，
当△ =b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当△ =b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当△ =b2-4ac＜0 时，方程没有实数根.
4．图 1 是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为 △ ABC 和△ DEF，其中∠ B=90°，∠ A=45°，BC= ，∠ F=90°，∠ EDF=30°， EF=2．将△ DEF 的斜边 DE 与△ ABC 的斜边 AC 重合在一起，并将△ DEF 沿 AC 方向移动．在移动过程中， D、E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合)． （1）请回答李晨的问题：若 CD=10，则 AD= ； （2）如图 2，李晨同学连接 FC，编制了如下问题，请你回答： ①∠ FCD 的最大度数为 ； ②当 FC∥ AB 时，AD= ； ③当以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且 FC 为斜边时，AD= ; ④△ FCD 的面积 s 的取值范围是 .
3．已知关于 x 的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0． （1）求证：对任意实数 m，方程总有 2 个不相等的 实数根； （2）若方程的一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为± 2 ，方程的另一个根是 5．
【解析】 【分析】 （1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△ =b2-4ac 证明判断即可； （2）根据方程的根，利用代入法即可求解 m 的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】 （1）证明： ∵ （x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0， ∴ x2﹣7x+12﹣m2=0， ∴ △ =（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2， ∵ m2≥0， ∴ △ ＞0， ∴ 对任意实数 m，方程总有 2 个不相等的实数根； （2）解 ：∵ 方程的一个根是 2， ∴ 4﹣14+12﹣m2=0，解得 m=± ， ∴ 原方程为 x2﹣7x+10=0，解得 x=2 或 x=5， 即 m 的值为± ，方程的另一个根是 5． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关 系是关键.
利用根与系数的关系得出 m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为 m2 n2 ，利用完全平方
公式进行变形即可求得答案. 【详解】 （1）∵ 方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0 有两个不相等的实数根， ∴ Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，
∴ k＞ 3 ； 4
(2)当 k＝2 时，原方程为 x2－5x＋5＝0， 设方程的两个根为 m，n， ∴ m＋n＝5，mn＝5，