相对论2(1)

用洛伦兹变换式导出
设有两个事件P 和P2，在k系和k ′系中 1 测得其时空坐标分别为 (x k： (x1，y1，z1，t1 )， 2，y2，z 2，t 2 ) ′ ′ ′ ′ ( x′ 2 2 ′ k ′： (x1，y1，z1，t1 )， 2，y′，z ′，t 2 ) 由洛伦兹变换，有
v v t1 − 2 x1 t 2 − 2 x2 c c ′ ′ t1 = ，t 2 = 2 2 v v 1− 2 1− 2 c c
按经典力学
L = vτ = 0.998c ×3.2×10 ≈ 9.5×10 m
−6 3
所以可以穿透大气层! 所以可以穿透大气层
三、空间量度的相对性
研究的问题：物体相对观察者静止时的长度与相对 研究的问题：物体相对观察者静止时的长度与相对 相对观察者静止时的长度与 观察者运动时的长度之间的关系 时的长度之间的关系。 观察者运动时的长度之间的关系。 长度测量的定义：对物体两端坐标的同时测量, 长度测量的定义：对物体两端坐标的同时测量,两端坐 同时测量 标之差就是物体长度. 标之差就是物体长度.
1.固有时 1.固有时 运动时
固有时
在相对于过程发生的地点为静止的惯性系中测 在相对于过程发生的地点为静止的惯性系中测 静止的惯性系 得的时间间隔 时间间隔， 表示。 得的时间间隔，用τ 0表示。
运动时
在相对于过程发生的地点为运动的惯性系 在相对于过程发生的地点为运动的惯性系 中测得的时间间隔 时间间隔， 表示。 中测得的时间间隔，用 τ表示。
§4-3 狭义相对论的时空观 一、“同时”的相对性 同时”
狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。 狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。
即在一个惯性系中同时发生的两个事件， 即在一个惯性系中同时发生的两个事件，在 另一个惯性系中不一定是同时的。 另一个惯性系中不一定是同时的。
k′
Einstein train
(2)在k系中同时发生：t2 = t1
同地点发生：x2 = x1，则有
v ′ ′ ′ ′ t 2 − t1 = γ (t 2 − t1 ) − 2 (x2 − x1 ) = 0，t 2 = t1 c ′ ′ ′ ′ x2 − x1 = γ [( x2 − x1 ) − v(t 2 − t1 )] = 0，x2 = x1
v ∆ 欲使 t = γ t2 − t1 − 2 ( x2 − x1) = 0 c v ∆ 须使 t = 2 ∆x c
'
（4）对于两个互不相干事件： ）对于两个互不相干事件： 两个互不相干事件
v ∆t = γ (t 2 − t1) − 2 (x2 − x1) c
系中： 在k'系中：仍然是开枪在前，鸟死在后。 系中 仍然是开枪在前，鸟死在后。 所以由因果率联系的两事件的时序不会颠倒。 所以由因果率联系的两事件的时序不会颠倒。
二、时间量度的相对性
研究的问题是： 研究的问题是： 在某参考系中，同一地点先后发生的两个 在某参考系中，同一地点先后发生的两个 事件的时间间隔(同一只钟测量) 事件的时间间隔(同一只钟测量)，与另参考一 系中，在两个地点的这两个事件的时间间隔( 系中，在两个地点的这两个事件的时间间隔( 两只钟分别测量)的关系。 两只钟分别测量)的关系。
k
x1, t1
k′
x2, t2
l0 = x2 − x1
′ x′ , t2 2
' t 2 = t1'
′ ′ x1, t1
′ ′ x2 + vt2 x2 = v2 1− ( ) c
(2)
′ ′ l = x2 − x1
（2）-（1），得 ），得
∆x =
∆x′ − v∆t′ v2 1− 2 c
∆t′ = 0
τ （运动时）。 运动时）。
则同理有
假设为15分钟 假设为 分钟
τ=
τ0
1 − (v / c )
2
人在火车上观察地面上的钟， 人在火车上观察地面上的钟，地面上的钟就好象变 火车上观察地面上的钟 慢了， 看人家的钟慢。 慢了， 即看人家的钟慢。
（2）当 v ＜＜ c 时， ）
τ=
τ0
v 1− c
γ=
1 v 1− c
2
′ ′ x2 − x1 = γ [(x2 − x1) − v(t2 −t1)] = γ (x2 − x1 ) ≠ 0
系中同时 发生的两个事件， 即k系中同时、不同地点发生的两个事件，在S′系 系中同时、不同地点发生的两个事件 系 不是同时、不同地发生的 发生的。 中不是同时、不同地发生的。
2.固有时最短 2.固有时最短 时间膨胀
时间间隔1 固有时 （时间间隔1）
膨胀时间（时间间隔2 膨胀时间（时间间隔2）
时间量度的相对性的直接推导
v
k′
k':
k:
2l ∆t′ ≡τ0 = c
1 1 2 2 2 c∆t = l + v ∆t 2 4
l
τ=
τ0
1− v / c
2 2
∆t =τ
1 c∆t 2
′ ′ 在k系和k ′系测得的时间间隔(t 2 − t1 )和(t 2 − t1 ) 之间的关系为
v (t2 − t1 ) − 2 (x2 − x1 ) c t′ − t′ =
2 1
v 1− c
2
可见， 可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系 中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。 中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。
( 讨论： 讨论：1)在 k系中同时发生： t 2 = t1
但在不同地点发生： x2 ≠ x1，则有
v v ′ ′ t 2 − t1 = γ (t 2 − t1 ) − 2 ( x 2 − x1 ) = γ 2 ( x1 − x 2 ) c c
——同时的相对性 同时的相对性
1− v C
2 2
时间膨胀公式： 时间膨胀公式： τ =
τ >τ 0
结论： 结论： 时间膨胀效应表明了时间间隔只有相对 意义，运动的时钟变慢了。 意义，运动的时钟变慢了。
说明： ）时间膨胀效应具有相对性。 说明： （1）时间膨胀效应具有相对性。
τ 0间间隔为（固有时）。 间间隔为（固有时）。
地面） 若在 K 系（地面）中同一地点先后发生两事件的时 假设为10分钟 假设为 分钟 系中(火车 若在 K'系中 火车）观察这两事件的时间间隔为 系中 火车）
地面观测不到！ 地面观测不到！ −6 L' = vτ = 0.998c×2.2×10 = 600(m) < 9500m 方法一： 考虑时间膨胀效应） 方法一：按相对论力学（考虑时间膨胀效应） 在地球坐标系看来 µ 子的寿命 −6 2.2×10 τ0 −6 τ= = = 3.2×10 (s) 2 2 2 1− v C 1− 0.998 在地球坐标系看来 µ 子在衰变前运动距离为
'
对于不同的
t2 −t1 x2 − x1
∆t '可以小于、等于或大于 可以小于、 零 2事件可先于、 （ 事件可先于、同时或迟 1事件） 于 事件）
因果关系的两事件 （5）对于有因果关系的两事件，前后时序能否颠倒？ ）对于有因果关系的两事件，前后时序能否颠倒？ 时序: 两个事件发生的时间顺序。 时序 两个事件发生的时间顺序。 开枪， 在K中：先开枪，后鸟死 中 在K'中：是否能发生先鸟死，后开枪？ 中 是否能发生先鸟死，后开枪？ 开枪 事件1： 事件 ： ( x1 , t1 ) 子弹 在k中： t2 > t1 中 鸟死
y Yˊ
v
Xˊ x
O’ Zˊ
v t1 − 2 x C ′ t1 = 2 1− (v C)
v t2 − 2 x C ′ t2 = 2 1− (v C)
′ ′ 令 τ = t2 −t1 ：
固有时间： 固有时间：
′ ′ τ = t2 − t1 =
t2 − t1 1− v C
2 2
τ0 = t2 −t1
τ0
同时接收到光信号
∴ A
B
事件1 事件2 事件1、事件2
同时发生
S
k
P 处闪光
光速也 光速也为
c
A B
A迎着光 事件1 事件2 事件1、事件2
随
k′ 运动
比B早接收到光 不同时发生 事件1 事件1先发生
结论：同时性与参考系有关 结论：同时性与参考系有关——同时的相对性 同时的相对性 同时性的相对性是光速不变原理的直接结果
u
事件2： 事件 ：
( x2 , t2 )
系中： ′ 在k'系中： t1 = 系中
t1 − vx c 1 1− v c
2
2
2
′ t2 =
t2 − vx2 c 1− v c
2
2
2
v(x2 − x1) 子弹速度 (t2 − t1)1− 2 x2 − x1 c (t2 − t1) u= ′ ′ t2 −t1 = t2 − t1 1− v2 c2 vu (t2 −t1)1− 2 c ′ ′ = > 0 ∴t2 > t1 1− v2 c2
v
x2 x1
v
x2 x1
1.固有长度 1.固有长度
S S′
v
l0
观察者与被测物体相对静止时测得的它的长度 棒静止在 S′ 系中
l 固有长度 0
棒静止在 k 系中
k k′
l0 固有长度
k＇系以极高的速度相对 系运动 以极高的速度相对k系运动 k＇系测得棒的长度是什么呢？ 系测得棒的长度是什么呢 是什么呢？
即k系中同时、同地点发生的两个事件， 在k′系中也是同时、同地点发生。
( 3 ) 若 ∆ x ≠ 0 (即 x 2 ≠ x 1 )
∆ t ≠ 0 (即 t 2 ≠ t 1 ) 生的两事件
在 k 系中不同地点不同时发 系是否能够同时发生？ 在 k' 系是否能够同时发生？
（可以） 可以）
v ′ = t 2 − t1 = γ (t 2 − t1 ) − 2 ( x2 − x1 ) ′ ′ ∆t c
2
v l = l0 1− 2 c
结论 1）运动的尺变短： ）运动的尺变短：
2）运动参照系中所有物体沿运动方向的尺度缩短了。 ）运动参照系中所有物体沿运动方向的尺度缩短了。
假设为10分钟 假设为 分钟
τ（运动时）。 运动时）。
τ=
假设为15分钟 假设为 分钟
地面上的钟
τ0
1− v2 / c2
人在地面上观察火车上的钟， 人在地面上观察火车上的钟，火车上的钟就好象变 火车上的钟 慢了， 看人家的钟慢。 慢了， 即看人家的钟慢。
时间量度的推导方法二 K系：相对于两事件发生地静止。 系 相对于两事件发生地静止。 事件发生地静止 两事件发生在K系中的同一 两事件发生在 系中的同一 地点X处 地点 处。 发生时刻分别为t 发生时刻分别为 1和t2 。 K′系测得的时刻： 系测得的时刻： 系测得的时刻 ′ ′ t1 和 t2 z o
v
运动的钟变慢了 即：动钟变慢 又称为： 又称为：时间膨胀
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1 v∆t 2
l
动钟变慢的解释：
系中(火车 同一地点（ 点 发射光子、 若在 K‘系中 火车）观察同一地点（B点）发射光子、 系中 火车）观察同一地点 固有时）。 接收光子这两事件的时间间隔为 0（固有时）。
τ
火车上的钟 地面） 若在 K 系（地面）中观察这两事件的时间间隔为
2
τ ≈τ0
（3）实验已证实： ）实验已证实：
µ 子，π介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室 静止和高速运动时，其寿命完全不同。
(4) 运动时钟变慢效应是时间本身的客观特征。 运动时钟变慢效应是时间本身的客观特征。
例1. 静系中µ子的平均寿命为τ0=2.2×10-6秒。速度 静系中µ子的平均寿命为τ =2.2× v=0.998C的 子能否通过的距离为9.5km的大气层 通过的距离为9.5km的大气层。 为v=0.998C的µ子能否通过的距离为9.5km的大气层。 解：
k
地面参考系
实验装置
k
k′
v
A P B
B 在火车上 A、 分别放置信号接收器
中点
P
放置光信号发生器
t = t′ = 0 P 发一光信号
事件1 事件1 事件2 事件2
A 接收到闪光
B 接收到闪光
两事件发生的时间间隔
研究的问题
k′ ∆t′ = ?
k ∆t = ?
k′
k′
P 发出的闪光
光速为
c
∵
AP = BP
v
l0
同时测的条件是必要的 相应的时空坐标 k′ k 事件1 事件1：测棒的左端 事件2 事件2：测棒的右端
x1, t1 x2 , t2
′ ′ x1, t1
l0 = x2 − x1 (t 2′ = t1′ )
′ ′ x2 , t2
2.固有长度最长 2.固有长度最长 长度收缩
′ ′ x1 + vt1 x1 = (1) v2 1− ( ) c