立体几何课件PPT
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又由BB1 // CC1 ，知MN // CC1 ， ∴四边形MNCC1是平行四边形． ∴C1M // CN. 又C1M∩AM＝M，CN∩NB1＝N， ∴平面AMC1∥平面NB1C.
BB1 //MN
考向：空间几何体位置关系
(4)解：由(2)知A1B⊥AM， 又由已知A1B⊥AC1，AM∩AC1＝A， ∴A1B⊥平面AMC1. 又∵平面AMC1∥平面NB1C， ∴A1B⊥平面NB1C. 又B1C在平面NB1C内， ∴A1B⊥B1C. ∴A1B与B1C所成的角为90°.
例1：空间几何体位置关系
如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中， B1C1＝A1C1，AC1⊥A1B， M、N分别是A1B1、AB的中点． (1)求证：C1M⊥平面A1ABB1； (2)求证：A1B⊥AM； (3)求证：平面AMC1∥平面NB1C； (4)求A1B与B1C所成的角．
考向：空间几何体位置关系
平行垂直的综合问题 1
高考考情分析
立体几何高考命题形式比较稳定， 题目难易适中。 解答题常常立足于棱柱、棱锥和正 方体中线面位置关系的证明,几何体的 体积计算(尤其是三棱锥、四棱锥)。
知识整合
两个平面的位置关系是空间中各种元 素位置关系的“最高境界”，解决空间两 个平面的位置关系的思维方法是“以退为 进”，即面面问题退证为线面问题，再退 证为线线问题． 充分揭示了面面、线面、线线相互之 间的转化关系．
例2 如图 在四棱 锥 P － ABCD 中， 平面 PAD⊥ 平面 ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知 BD＝ 2AD ＝8，AB＝2DC＝ 4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点， 证明： 平面 MBD⊥平面 PAD； (2)求三棱锥 C－PAB 的体积．
解： (1)证明：在△ABD 中，由于 AD＝ 4 ， BD ＝ 8 ， AB＝4 5，所以 AD2＋BD2＝ AB2，故 AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD ，平面 PAD∩平面 ABCD ＝AD，BD 平面 ABCD，所以 BD⊥平面 PAD. 又 BD 平面 MBD，故平面 MBD⊥平面 PAD.
(1)证明： 由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1， 又∵C1M在平面A1B1C1内， ∴AA1⊥MC1. 又∵C1A1＝C1B1，M为A1B1中点， ∴C1M⊥A1B1. 又A1B1∩A1A＝A1， ∴C1M⊥平面AA1B1B.
考向：空间几何体位置关系
(2)证明：由(1)知C1M⊥平面A1A来自百度文库B1， 又A1B 在平面AMC1内， ∴ MC1⊥A1B， ∵AC1⊥A1B，MC1∩AC1＝C1， ∴A1B⊥平面AMC1. 又AM在平面AMC1内， ∴A1B⊥AM.
1．平行关系的转化 两平面平行问题常常转化为直线与平面的平行，而直线与平面平 行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为 三种平行关系的转化示意图．
2．解决平行问题时要注意以下结论的应用 (1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个 平面．
考向：空间几何体位置关系
（3）证明：由棱柱性质知 四边形AA1B1B是矩形
M、N分别是A1B1、AB的中点， AN//B1M 由棱柱性质知四边形 AM1B1N是平行四边形
AM // B1N 连接MN，在矩形AA1B1B中有A1B1 //AB MB1 //BN， 在四边形BB1MN是平行四边形
(3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交． (4)平行于同一条直线的两条直线平行． (5)平行于同一个平面的两个平面平行． (6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交 线平行． 3．垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．
在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面 垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面．当题目中 有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．
知识整合
主要考查： 一、以棱柱、棱锥为背景，给出两个平面 平行的证明，欲证面面平行，可从落实面 面平行判定的定理的条件入手，把证明面 面平行转化为判定这些条件是否成立的问 题．
知识整合
主要考查： 二、面面垂直是立体几何每年必考的内容， 一方面可以证明两个平面垂直，另一方面 也可将面面垂直转化为线面或线线垂直问 题，并将它应用到其他部分的求解．
作业
• 课时提升训练44
即时突破：
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点 D是AB的中点， 求证：(1)AC⊥BC1； (2)AC1∥平面CDB1.
证明：(1)在直三棱柱ABC—A1B1C1中， 底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴AC⊥BC. 又AC⊥CC1，∴AC⊥平面BCC1B1 且BC1在平面BCC1B1内 ∴AC⊥BC1. (2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE. ∵D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴DE∥AC1. ∵DE在 平面CDB1，AC1 不在平面CDB1内， ∴AC1∥平面CDB1.
考向：空间几何体位置关系
【点评】 垂直和平行关系在立体几何问题中无处不 在，对垂直和平行关系证明的考查是每年高考 必考的内容，多以简单几何体尤其是棱柱、棱 锥为主，或直接考查垂直和平行关系的判断及 证明，或通过求角和距离间接考查，试题灵活 多样。 因此，在平时的复习中要善于总结、归 纳并掌握此类问题的通性通法，加强空间想象 能力、逻辑思维能力及语言表达能力的训练.
练习
如图所示，过S引三条长度相等但不共面的 线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝ 60°，∠BSC＝90°. 求证：平面ABC⊥平面BSC.
小结
• 熟记判定定理，性质定理并做到准确使用， 写的时候条件切不可随意省略。 • 解题过程中要注意图中的等腰三角形，线 段中点或者分点。 • 计算棱锥体积时要结合题目上的条件或者 已经证明了的结论区寻找棱锥的高，这样 便于计算。
(2)过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O， 由于平面 PAD⊥平面 ABCD， 所以 PO⊥平面 ABCD. 因此 PO 为棱锥 P－ABC 的高． 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形． 因此 PO＝ 3 ×4＝2 3. 2
1 又 S△ABC＝ S△ABD＝ AD·BD＝16， 2 1 32 3 ∴V 三棱锥 C－ PAB＝ V 三棱锥 P－ABC＝ × 16×2 3＝ . 3 3
BB1 //MN
考向：空间几何体位置关系
(4)解：由(2)知A1B⊥AM， 又由已知A1B⊥AC1，AM∩AC1＝A， ∴A1B⊥平面AMC1. 又∵平面AMC1∥平面NB1C， ∴A1B⊥平面NB1C. 又B1C在平面NB1C内， ∴A1B⊥B1C. ∴A1B与B1C所成的角为90°.
例1：空间几何体位置关系
如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中， B1C1＝A1C1，AC1⊥A1B， M、N分别是A1B1、AB的中点． (1)求证：C1M⊥平面A1ABB1； (2)求证：A1B⊥AM； (3)求证：平面AMC1∥平面NB1C； (4)求A1B与B1C所成的角．
考向：空间几何体位置关系
平行垂直的综合问题 1
高考考情分析
立体几何高考命题形式比较稳定， 题目难易适中。 解答题常常立足于棱柱、棱锥和正 方体中线面位置关系的证明,几何体的 体积计算(尤其是三棱锥、四棱锥)。
知识整合
两个平面的位置关系是空间中各种元 素位置关系的“最高境界”，解决空间两 个平面的位置关系的思维方法是“以退为 进”，即面面问题退证为线面问题，再退 证为线线问题． 充分揭示了面面、线面、线线相互之 间的转化关系．
例2 如图 在四棱 锥 P － ABCD 中， 平面 PAD⊥ 平面 ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知 BD＝ 2AD ＝8，AB＝2DC＝ 4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点， 证明： 平面 MBD⊥平面 PAD； (2)求三棱锥 C－PAB 的体积．
解： (1)证明：在△ABD 中，由于 AD＝ 4 ， BD ＝ 8 ， AB＝4 5，所以 AD2＋BD2＝ AB2，故 AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD ，平面 PAD∩平面 ABCD ＝AD，BD 平面 ABCD，所以 BD⊥平面 PAD. 又 BD 平面 MBD，故平面 MBD⊥平面 PAD.
(1)证明： 由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1， 又∵C1M在平面A1B1C1内， ∴AA1⊥MC1. 又∵C1A1＝C1B1，M为A1B1中点， ∴C1M⊥A1B1. 又A1B1∩A1A＝A1， ∴C1M⊥平面AA1B1B.
考向：空间几何体位置关系
(2)证明：由(1)知C1M⊥平面A1A来自百度文库B1， 又A1B 在平面AMC1内， ∴ MC1⊥A1B， ∵AC1⊥A1B，MC1∩AC1＝C1， ∴A1B⊥平面AMC1. 又AM在平面AMC1内， ∴A1B⊥AM.
1．平行关系的转化 两平面平行问题常常转化为直线与平面的平行，而直线与平面平 行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为 三种平行关系的转化示意图．
2．解决平行问题时要注意以下结论的应用 (1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个 平面．
考向：空间几何体位置关系
（3）证明：由棱柱性质知 四边形AA1B1B是矩形
M、N分别是A1B1、AB的中点， AN//B1M 由棱柱性质知四边形 AM1B1N是平行四边形
AM // B1N 连接MN，在矩形AA1B1B中有A1B1 //AB MB1 //BN， 在四边形BB1MN是平行四边形
(3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交． (4)平行于同一条直线的两条直线平行． (5)平行于同一个平面的两个平面平行． (6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交 线平行． 3．垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．
在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面 垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面．当题目中 有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．
知识整合
主要考查： 一、以棱柱、棱锥为背景，给出两个平面 平行的证明，欲证面面平行，可从落实面 面平行判定的定理的条件入手，把证明面 面平行转化为判定这些条件是否成立的问 题．
知识整合
主要考查： 二、面面垂直是立体几何每年必考的内容， 一方面可以证明两个平面垂直，另一方面 也可将面面垂直转化为线面或线线垂直问 题，并将它应用到其他部分的求解．
作业
• 课时提升训练44
即时突破：
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点 D是AB的中点， 求证：(1)AC⊥BC1； (2)AC1∥平面CDB1.
证明：(1)在直三棱柱ABC—A1B1C1中， 底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴AC⊥BC. 又AC⊥CC1，∴AC⊥平面BCC1B1 且BC1在平面BCC1B1内 ∴AC⊥BC1. (2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE. ∵D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴DE∥AC1. ∵DE在 平面CDB1，AC1 不在平面CDB1内， ∴AC1∥平面CDB1.
考向：空间几何体位置关系
【点评】 垂直和平行关系在立体几何问题中无处不 在，对垂直和平行关系证明的考查是每年高考 必考的内容，多以简单几何体尤其是棱柱、棱 锥为主，或直接考查垂直和平行关系的判断及 证明，或通过求角和距离间接考查，试题灵活 多样。 因此，在平时的复习中要善于总结、归 纳并掌握此类问题的通性通法，加强空间想象 能力、逻辑思维能力及语言表达能力的训练.
练习
如图所示，过S引三条长度相等但不共面的 线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝ 60°，∠BSC＝90°. 求证：平面ABC⊥平面BSC.
小结
• 熟记判定定理，性质定理并做到准确使用， 写的时候条件切不可随意省略。 • 解题过程中要注意图中的等腰三角形，线 段中点或者分点。 • 计算棱锥体积时要结合题目上的条件或者 已经证明了的结论区寻找棱锥的高，这样 便于计算。
(2)过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O， 由于平面 PAD⊥平面 ABCD， 所以 PO⊥平面 ABCD. 因此 PO 为棱锥 P－ABC 的高． 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形． 因此 PO＝ 3 ×4＝2 3. 2
1 又 S△ABC＝ S△ABD＝ AD·BD＝16， 2 1 32 3 ∴V 三棱锥 C－ PAB＝ V 三棱锥 P－ABC＝ × 16×2 3＝ . 3 3