命题逻辑的自然演绎系统

合式公式的子公式
合式公式的子公式：在生成合式公式的过程中，每一步所生成的公式都
是这一生成的合式公式的子公式。如： A的子公式是A和A； A∧B 的子公式是A、B和A∧B； A∨B 的子公式是A、B和A∨B； A→B 的子公式是A、B和A→B。
如：p，q，（p∨q），(p)，((p∨q)∧(p))，(((p∨q)∧(p))→q)都是 (((p∨q)∧(p))→q)的子公式。
⑶⑹假言三段论
例2：B→┐A B∧（C→D） A∨C
∴ D ⑴ B→┐A ⑴B→┐A ⑵ B∧（C→D） ⑶ A∨C ⑷B ⑸ C→D ⑹ ┐A ⑺C ⑻D
前提 前提 前提 ⑵化简
⑵化简 ⑴⑷肯前 ⑶⑹否析 ⑸⑺肯前
例3：F∨G→（H→（I↔K））
H∧I
H∨M→F
∴ I↔K
⑴ F∨G→（H→（I↔K）） 前提
形成规则
(1)任何单个的命题变元p是合式公式； (2)如果A是合式公式，则(A)是合式公式； (3)如果A和B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、 (A→B)是合式公式；
只有（1）----到（3）形成的符号串是合式公式。
定义
定义是用来表示缩写的，定义两边的符号串可以相 互代替。 如：(AB)=df(A→B)∧(B→A)。
形式语言L ′的全体合式公式记为Form(L ′)。 形式语言L ′是我们研究对象，叫对象语言。 讨论对象语言的语言叫元语言或语法语言。
形成规则的作用
（1）以递归的方式定义合式公式。 （2）提供一种能行、可判定的方法判定任一符号串是不是 合式公式。 （3）检验合式公式的性质。
如:(((p∨q)∧(p))→q)的形成过程是：p，q，(p∨q)，(p)， ((p∨q)∧(p))，q ，(((p∨q)∧(p))→q)。这个字符串是反 复运用形成规则而形成的，因此它是合式公式。
整推规则
1.从合A取和引B入推规出则A∧(记B；为∧+)：
2.合取消去规则(记为∧_):
从A∧B推出A；从A∧B推出B； 3.析取引入规则(记为∨+)：
从A推出A∨B；从B推出A∨B；
4.析取消去规则(记为∨_):
从A∨B和A推出B；从A∨B和B推出A； 5.肯定前件（记为MP)
从A→B和A推出B; 6.否定后件规则（记为MT);
例1：F∨┐G
┐H→┐F ∴G→H ⑴ F∨┐G ⑵ ┐H→┐F ⑶G ⑷ ┐┐G ⑸F ⑹ ┐┐F ⑺ ┐┐H ⑻H ⑼ G→H
前提 前提
条件假设 ⑴双重否定 ⑴⑷否析律 ⑸双重否定 ⑵⑹否后律 ⑺双重否定 ⑶─⑻条件证明
蕴涵引入规则(记为→+)
例2：A→B
┐C∨B→(D→E) ∴A→(D→E) ⑴ A→B ⑵ ┐C∨B→(D→E) ⑶A ⑷B ⑸ ┐C∨B ⑹ D→E ⑺ A→(D→E)
章
命题逻辑的自然演绎系 统
自然演绎系统NP
构建命题逻辑的形式系统，可以采用公理化方法， 也可采用自然演绎的方法。为接近人们日常思维的实 践，采用自然演绎的方法来构建命题逻辑的一个形式 系统NP。
命题逻辑的自然演绎系统NP是由形式语言L ′和一 组推导（变形）规则构成的。其中形式语言L ′包 括初始符号、形成规则和定义。
从A→B和B推出A;
条件证明规则
5.蕴涵引入规则(记为→+)： 条件证明 如果从公式集Γ和A推出B，则从Γ推出A→B；
例1： ┐R→（H→T）
R→H
T→S
┐H ∴ H→S ⑴ ┐R→（H→T） ⑵ R→H ⑶ T→S ⑷ ┐H ⑸ ┐R ⑹ H→T ⑺ H→S
前提 前提 前提 前提 ⑵⑷否后 ⑴⑸肯前
前提 前提 前提 前提 ⑴⑶肯前 ⑶⑷否析 ⑵⑸⑹二难推理
2. ┐P→（R→┐Q） P→┐Q ┐S∨┐R→┐┐Q ┐S ∴ ┐R
⑴ ┐P→（R→┐Q） ⑵ P→┐Q ⑶ ┐S∨┐R→┐┐Q ⑷ ┐S ⑸ ┐S∨┐R ⑹ ┐┐Q ⑺ ┐P ⑻ R→┐Q ⑼ ┐R
前提 前提
前提 前提
⑷附加 ⑶⑸肯前 ⑵⑹否后
⑵ H∧I
前提
⑶ H∨M→F
前提
⑷H
⑵化简
⑸ H∨M
⑷附加
⑹F
⑶⑸肯前
⑺ F∨G
⑹附加
⑻ H→（I↔K）
⑴⑺肯前
⑼ I↔K
⑷⑻肯前
练习：
1. ┐M→（N→L） J→K ┐M M∨（N∨J） ∴ L∨K
⑴ ┐M→（N→L） ⑵ J→K ⑶ ┐M ⑷ M∨（N∨J） ⑸ N→L ⑹ N∨J ⑺ L∨K
2.撤销假设
（适用于蕴含式）
蕴涵引入规则(记为→+)
又称条件证明规则或演绎定理，是把从Γ推出A→B的推理 转化为从Γ和临时的假设A推出B的推理。
即：（Γ→（A→B））←→（Γ∧A→B）
前提集
结论
假设前提
本规则实质就是条件输入（输出）规则的运用
最适于证明结论为蕴涵式的推论。
蕴涵引入规则(记为→+)
主联结词：辖域最大的联结词。
(((p∨q)∧(p))→q)的主联结词是→。
省略括号的约定：
(1)公式最外层的括号可以省略。 (2)联结词的结合力依下列次序递减：，∧，∨，→，。 如：(((p∨q)∧(p))→q)可简记为(p∨q)∧p→q。
推演规则
（1）整推规则 （2）置换规则 （3）条件证明规则 （4）间接证明规则
⑴⑺肯前 ⑹⑻否后
3. ┐P∨┐Q→┐（R→S） ┐P
（R→S）∨（T→U） ┐U ∴ ┐T
⑴ ┐P∨┐Q→┐（R→S） ⑵ ┐P ⑶（R→S）∨（T→U） ⑷ ┐U ⑸ ┐P∨┐Q ⑹ ┐（R→S） ⑺ T→U ⑻ ┐T
前提 前提 前提 前提
⑵附加 ⑴⑸肯前
⑶⑹否析 ⑷⑺否后
条件证明规则
步 骤： 1.引入假设
前提 前提 条件假设 ⑴⑶肯前律 ⑷附加 ⑵⑸肯前律
⑶─⑹条件证明
间接证明规则
否定消去规则(记为_)： 间接证明 如果从Γ和A推出B∧B，则从Γ推出A。
步骤： 1.否定结论 2.提出矛盾 3.肯定结论
否定消去规则(记为_)
又称间接证明或反证法，是把由Γ推出 A的推理转化为由Γቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ临时的假设A推出 B∧B的推理。
初始符号
(1)甲类符号：p1, p2, p3, … (2)乙类符号：，∧，∨，→； (3)丙类符号：(，)。
这些符号构成的有穷长的序列叫做符号串，例如:
p, p∧q，p∨q, p→q (p∧q)→r，p∧(q→r)，… ((p→∨q→pq)，(((p→q∧r)∨)，…
按照形成规则形成的符号串称为合式公式。