原函数与不定积分的概念

【导语】

我们知道，已知距离与时间的关系()S S t =，要求速度()v t ，就是求距离关于时间的导数()S t '；反过来，如果已知每时刻的速度()v t ，要求从时刻t a =到时刻t b =的距离，也就是要求一个函数()S S t =，使得()()S t v t '=，则()()S b S a -就是要求的距离。类似的问题还有许多，例如已知曲线()y f x =在每点(,())x f x 处切线的斜率()f x '，要求曲线的方程()y f x =等。

本节将从考虑微分运算的逆运算入手引入原函数的概念，并介绍微分方程的基本概念和一类最基本的一阶微分方程的解法．

本讲将介绍原函数与不定积分的概念、性质。

【正文】

§4.10 原函数与微分方程初步（1）

一、原函数的概念

在初等数学中，已接触过许多互为逆运算的运算，如加法和减法、乘法和除法、乘方和开方、指数和对数等。函数的原函数是通过考虑函数的微分运算的逆运算得到的．求一个未知函数，使其导函数恰好是某个已知函数．

1．原函数的定义

定义8 设()f x 是定义在区间I 上的一个函数．如果存在函数()F x ，对于任意的x I ∈，都有

()()F x f x '=，

则称()F x 是()f x 在I 上的一个原函数．

例1 求()cos f x x =在(,)-∞+∞上的一个原函数．

解 因为在(,)-∞+∞内，有

(sin )cos x x '=，

所以()sin F x x =是()cos f x x =在),(+∞-∞上的一个原函数．

显然sin 1,sin x x C ++（C 为任意常数）也是()cos f x x =的原函数．

例2 求sin ,0,(),0x x f x x x ⎧=⎨<⎩

≥在(,)-∞+∞上的一个原函数． ,0)(0,)+∞上满足，0

lim (x F x -→121C C =+． ,0)(0,)+∞，且 (0)(0)0(0)G G f -

+''===。 所以()G x 是()f x 在),(+∞-∞上的一个原函数．

2．原函数的存在性及原函数的构造

定理16 若果函数()f x 在区间I 上连续，那么()f x 在I 上具有原函数．即存在函数()F x ，使得()()F x f x '=，x I ∈．

定理17 设()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则

（1）()F x C +也是()f x 在区间I 上的原函数，其中C 为任意常数；

（2）()f x 在区间I 上的任意两个原函数之间至多相差一个常数．

证 （1）因为()()F x f x '=，x I ∈，所以

(())()()F x C F x f x ''+==，x I ∈．

故()F x C +是()f x 在区间I 上的原函数． （2）设()G x 是()f x 在区间I 上的原函数，则有

(()())()()()()0F x G x F x G x f x f x '''-=-=-=，x I ∈．

所以 0()()F x G x C -=，x I ∈，其中0C 为一常数．

故()f x 在区间I 上的任意两个原函数之间至多相差一个常数．

定理17说明，若()f x 在区间I 上有一个原函数()F x ，则必有无穷多个原函数，且其在I 上的全体原函数可以表示为()F x C +，其中C 为任意常数．

二、不定积分

1．不定积分的定义

定义9 设()F x 是函数()f x 在区间I 上一个原函数，则称()F x C +（C 为任意常数）为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰．即

()d ()f x x F x C =+⎰ （C 为任意常数）．

其中⎰称为不定积分号，)(x f 称为被积函数，x x f d )(称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数．

若()F x 是函数()f x 的一个原函数，也称()y F x =的图象为函数

()f x 的一条积分曲线．将这条积分曲线沿y 轴方向任意平移，就得到

()f x 的无穷多条积分曲线，它们构成一个曲线族()y F x C =+，称为函数()f x 的积分曲线族．

例3 证明ln d ln x x x x x C =-+⎰。

例4 已知22

()e d e x x f x x C =-+⎰，求()f x ．

解 因为 22

()e d e x x f x x C =-+⎰

， 所以

例5 求d x x α⎰（1α≠-）．

解 因为

所以

解 由题设及导数的几何意义，得

2()3f x x '=，

所以 23()3d f x x x x C ==+⎰．

由于曲线()y f x =过点(1,2)，所以(1)2f =，即12C +=，得1=C ．

所以 3()1f x x =+．

例7 已知某物体的运动速度是10v t =(m/s)，求此物体从0t =到10t =走过的距离。 解 因为2(5)10t t '=，所以2()5S t t C =+。

从而物体从0t =到10t =走过的距离为(10)(0)500S S -=(m)。

2．不定积分的运算性质 根据不定积分的定义及导数或微分的运算法则，可以得到不定积分的以下基本性质：

（1）设k 是不为零的常数，则 ()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰；

（2）[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x +=+⎰⎰⎰；

（3）[()d ]()f x x f x '=⎰ 或 d[()d ]()d f x x f x x =⎰；

（4）()d ()F x x F x C '=+⎰．

性质（3）与（4）说明不定积分与导数（或微分）互为逆运算．