灵敏度分析

问当新增约束2 x1 3x2 90 ，最优解是否发生变化？如 果有求出新的最优解。
例5.2 已知线性规划问题
max η = 30x 1 + 25x 2 + 35x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 800 x + x + 2x ≤ 1000 1 2 3 s.t. 2x 1 + x 2 + x 3 ≤ 2000 x 1, x 2 , x 3 ≥ 0
问当 b1 的系数由８００降到７００时，最优基是否发生 变化？当 b2 的系数由１０００增到１２００时，最优 基是否发生变化？
600 3b1 0
Z CB X B
例3.2 已知线性规划问题
max η = 6x 1 + 4x 2 2x 1 + 3x 2 ≤ 100 s.t. 4x 1 + 2x 2 ≤ 120 x ,x ≥ 0 1 2
问当x2 的系数由２５提高到３５时，最优解是否发生变 化？
从最优单纯形表中我们可以看到 x2 为非基变量，则 x2 由上面分析结论可知只要 c j j 最优解不会发生变化， 仍然为非基变量。
因为 2 30 ，则 c j 30, ，即 c2 c2 30, c2 55 时最优解不会发生变化。从而，当 x2 的系数由２５提高 到３５时，最优解不会发生变化。
为使最优基不发生变化，
10 2 / 3b1 0 20 1 / 3b1 0
XB 2/3 B b 1 / 3
1
100 25 b1 10 1 / 3b2 0 80 20 b2
220 280 Z 1 / 3 40 20 / 3 3
则最优基不发生变化
例4.2 已知线性规划问题
max η = 6x 1 + 4x 2 2x 1 + 3x 2 ≤ 100 s.t. 4x 1 + 2x 2 ≤ 120 x ,x ≥ 0 1 2
问当新增变 x5， 生变化？
T 且 c5 8, P (4,3) 5
最优基是否发
最优单纯形中变量x5 所对应的列P5`
b1 的变化范围； 求（１）使原最优解基不变的 （２）若 b1 变为200，求新的最优解。
max Z = 3x 1 + 2x 2
x 1 + 2x 2 40 s.t. 2x 1 + x 2 50 x , x 0 1 2
课 堂 练 习（续）
P153(4)
求（1）为使最优解不发生变化时目标函数系数 bj 允许 变化的范围。（2）如第二个约束条件右端常数变为60， 确定新的最优目标函数值。
x1
问当
的系数由３０降到２５时，最优解是否发生变化？
2 30 3c1 0 4 25 2c1 0 5 5 c1 0
解：设 c1 发生 c1 的变化，则可得到：
2 30 3c1 0 4 25 2c1 0 5 5 c1 0
*
20 2 / 3b2 0
80 / 3
60 2/3
三、增加新的变量的灵敏度分析
例4.1 已知线性规划问题
max η = 30x 1 + 25x 2 + 35x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 800 x + x + 2x ≤ 1000 1 2 3 s.t. 2x 1 + x 2 + x 3 ≤ 2000 x 1, x 2 , x 3 ≥ 0
1 B b 和 CN CB B1N 同时发生变化 （３）
一、目标系数 c j 的灵敏度分析
１、非基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
例1.1 已知线性规划问题
max η = 30x 1 + 25x 2 + 35x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 800 x + x + 2x ≤ 1000 1 2 3 s.t. 2x 1 + x 2 + x 3 ≤ 2000 x 1, x 2 , x 3 ≥ 0
1
0
0
0 1
-1/3
-1/3 2/3
2/3
-4/3 -1/3
3
1 0
20
2
X2
0
10
来自百度文库
10
X5
1/3
-1/3
0
0
-1/9
-2/9
2/9
1
20/3
260/3
-14/9 0
四、增加新的约束条件的灵敏度分析
例5.1 已知线性规划问题
max η = 6x 1 + 4x 2 2x 1 + 3x 2 ≤ 100 s.t. 4x 1 + 2x 2 ≤ 120 x ,x ≥ 0 1 2
求（１）使原最优解不变的 c2 的变化范围； （２）若 c1 变为１２，求新的最优解。
-10 3 ≤ Δc 1 ≤ 2 -1 ≤ Δc 2 ≤ 5
求（１）使原最优解不变的 c2 的变化范围； （２）若 c1 变为１２，求新的最优解。
max η = 6x 1 + 4x 2 2x 1 + 3x 2 ≤ 100 s.t. 4x 1 + 2x 2 ≤ 120 （２）若C1变为１２，求新的最优解。 x , x ≥ 0 1 2
即
10 c1 5
35 从而， 20 c1
这说明只要 不变化。
x1
的系数在２０到３５变动时，最优解
例2.2 已知线性规划问题
max η = 6x 1 + 4x 2 2x 1 + 3x 2 ≤ 100 s.t. 4x 1 + 2x 2 ≤ 120 x ,x ≥ 0 1 2

9 0 4
9 4
max Z = 3x 1 + 2x 2 x 1 + 2x 2 ≤ 40 s.t. 2x 1 + x 2 ≤ 50 x , x ≥ 0 1 2
课 堂 练 习（续）
P153(4)
问当新增变量 x5 ，且 c5 10, P5 (3,6)T 最优基是否发生变化？ 如变化给出变化后的最优值。
XB = B b ≥ 0
-1
C N - C BB N ≤ 0
-1
线性规划问题的任何参数变化，对解将产生 以下３种影响：
（１） B 1b 发生变化，即对解的可行性可能有影响，而 对解的正则性无影响。此时，若解的可行性仍满足 B 1b ， 0 则最优解不变 （２）检验数 CN CB B1N ，即 j C j CB B1 p j 发生变 化，即对解的正则性有影响，而对解的可行性没有影响。 此时若解的正则性满足，则最优解不变
问当新增约束 (1)3x1 x2 2x3 2400 最优解是否会发生变化
(2)3x1 x2 2x3 1600
第一个约束条件满足，最优解不变；第二个 约束条件不满足，最优解发生变化。
30 CB 30 35 0 0 30 35 0 0 XB X1 X3 X6 X7 X1 X3 X6 X7 X1 1 0 0 3 0 1 0 0 0 0
课堂练习
1 已知线性规划问题：
P153(4)
max Z = 3x 1 + 2x 2 x 1 + 2x 2 ≤ 40 s.t. 2x 1 + x 2 ≤ 50 x , x ≥ 0 1 2
求（1）为使最优解不发生变化时目标函数系数 c j 允许 变化的范围。 （2）每个约束条件的影子价格
约束方程组系数阵变化对最优解的影响
；
回答两个问题：
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优基不变 （即最优解或最优解结构不变）？ ②系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法 求出新的最优解？
灵敏度分析的基本原理
对于标准线性规划问题
max Z = CX s.t. AX = b X≥0
设 为基本解， CB 基的逆矩阵，则原问题可表示为：
2 / 3 1 / 3 3 0 B Pt 1 / 3 2 / 3 6 3
1
t Ct CB B Pt 1 0
1
3
CB 2 XB X2 X1 0
2
X2 1
0
X3 2/3
0
X4 -1/3
10
X5 b 0 10
3
X1
1 ≤ c 1 ≤ 4 3 ≤ c 2 ≤ 6 2
二、约束常数 bi 的灵敏度分析
例3.1 已知线性规划问题
max η = 30x 1 + 25x 2 + 35x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 800 x + x + 2x ≤ 1000 1 2 3 s.t. 2x 1 + x 2 + x 3 ≤ 2000 x 1, x 2 , x 3 ≥ 0
X6 X7 b
-30 0
-25 -5
-30 0
-25 -5
30 25 30 X1 35 X3 0 0 X6 X7 1 0 0 0 0 30 X1 35 X3 0 0 X6 X7 1 0 0 0 0 3 -1 -4 -6 0 0 0 1 0
35 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 -1 -3 -4 -25 0
问当新增变 x7 ， 生变化？
T (2,3, 2) 且 c7 50, P 最优基是否发 7
σ t = c t - c BB -1Pt 2 -1 0 2 = 50 - [30 35 0] -1 1 0 3 -3 1 1 2 = 50 - 65 ≤ 0
第四章
灵敏度分析
在根据一定数据求得最优解后，当这些数据 中某一个或某几个发生变化时，对最优解会产生
什么影响。或者说，要使最优解保持不变，各个
数据可以有多大幅度的变动。这种研究线性规划 模型的原始数据变化对最优解产生的影响就叫做 线性规划的灵敏度分析。
灵敏度分析的内容
目标函数的系数变化对最优解的影响； 约束方程右端系数变化对最优解的影响；
25 X2 3 -1 -4 1 3 -1 -4 -6
35 X3 0 1 0 2 0 1 0 0
0 X4 2 -1 -3 0 2 -1 -3 -4
0 X5 -1 1 1 0 -1 1 1 3
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 600 200 600 -600 600 200 600 1600
max Z = 3x 1 + 2x 2
x 1 + 2x 2 40 s.t. 2x 1 + x 2 50 x , x 0 1 2
2 / 3 1 / 3 10 由单纯形表可知， B , b 1 / 3 2 / 3 20
1
２、基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
例2.1
已知线性规划问题
max η = 30x 1 + 25x 2 + 35x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 800 x + x + 2x ≤ 1000 1 2 3 s.t. 2x 1 + x 2 + x 3 ≤ 2000 x 1, x 2 , x 3 ≥ 0
X * (4, 18, 0, 24, 0)T
P153(4)
max Z = 3x 1 + 2x 2 x 1 + 2x 2 ≤ 40 s.t. 2x 1 + x 2 ≤ 50 x , x ≥ 0 1 2
0 X5 -1 1 1 3 -5
0 0 0 1 0 0
0 b 600 200 600 -600 0 0 0 1 0 -1/2 900 -1/6 300 -2/3 1000 -1/6 100 25 37500
CB XB X1 X2 X3 X4
X6 X7
-30 0
-1/2 0 1 0
-1/3 -5/6 0 -1/3 1/3 2/3 -6 -10 -1/6 0
XB
-1
1 B 是基对应的目标系数向量， 是
max Z = CBB b + (CN - CBB N)X N
-1
s.t.
X B + B-1NX N = B-1b XB, XN ≥ 0
是最优解的条件是：
X B = B -1b ≥ 0 C N - C BB -1N ≤ 0
在线性规划的灵敏度分析中，我们主要用到以下两条 性质： （１）可行性：指标准型线性规划问题的基本解满足非 负性。 （２）正则性：指标准型线性规划问题的非基变量所对 应的检验数向量满足非正性。