12第十二章 投资组合理论
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1. 一点也不买 2. 两个月的工资 3. 4个月的工资
风险厌恶度的衡量 • A答案的个数×1分 B答案的个数×2分 C答案的个数×3分 • 分数在9至14分的为保守型投资者 分数在15至21分的为温和型投资者 分数在22至27分的为激进型投资者
第五节
有效集与最优投资组合
• 一、可行集 • 可行集指的是由N种证券所形成的所有组 合的集合，它包括了现实生活中所有可能 的组合。也就是说，所有可能的组合将位 于可行集的边界上或内部。
风险厌恶度的衡量 • 你刚赢得一份大奖。但具体哪一个，由 你自己定。 1. 2000美元现金。 2. 50%的机会获得5000美元 3. 20%的机会获得15000美元
风险厌恶度的衡量 • 有一个很好的投资机会刚出现。但你得 借钱。你会接受贷款吗？
1. 绝对不会 2. 也许 3. 会
风险厌恶度的衡量 • 你的公司要向员工出售股票。公司经营 者计划在3年内让公司上市。在此之前， 你无法卖出股票，也不会得到红利。但 当公司上市时你的投资将增殖 10 倍。你 会投资多少钱买这种股票？
第二节 投资收益与风险的衡量
• 一、单个证券收益与风险的衡量 • 单个证券收益的衡量（未来价格已知）
–证券投资单期的收益率或持有期收益率为 （期限短于1年）：
Dt ( Pt Pt 1 ) R Pt 1
• 单个证券收益的衡量（未来价格或收益不确 定）
– 风险证券的收益率通常用统计学中的期望值来 表示：
• 系统性风险
–由那些影响整个金融市场的风险因素所引起的风险。 这些因素包括经济周期、国家宏观经济政策的变动 等等。
• 非系统性风险
–与特定公司或行业相关的风险，它与经济、政治和 其他影响所有金融变量的因素无关。
投资 组合 方差
非 系 统 风 险
总 风 险 系 统 风 险 组合投资与风险分散 资产数目
n×n的方差协方差矩阵
• 不论证券组合中包括多少种证券，只要 证券组合中每对证券间的相关系数小于1， 证券组合的标准差就会小于单个证券标 准差的加权平均数，这意味着只要证券 的变动不完全一致，单个有高风险的证 券就能组成一个只有中低风险的证券组 合。
单个证券系统性风险的衡量
• 可以用某种证券的收益率和市场组合收 益率之间的β系数作为衡量这种证券系统 性风险的指标。
• 原因在于每个证券的全部风险并非完全 相关，构成一个证券组合时，单一证券 收益率变化的一部分就可能被其他证券 收益率反向变化所减弱或者完全抵消。 • 与投资预期收益率相对应的只能是通过 分散投资不能相互抵消的那一部分风险， 即系统性风险。
• 有效证券组合的任务就是要找出相关关 系较弱的证券组合，以保证在一定的预 期收益率水平上尽可能降低风险。
X j ij
• 随着组合中证券数目的增加，在决定组合方差 时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越 来越小。
X 1 X 11,1
X 1 X 21, 2
X 1 X 31,3 ...... X 1 X n1,n
X 2 X 1 2,1 X 2 X 2 2, 2 X 2 X 3 2,3 ...... X 2 X n 2,n X 3 X 1 3,1 X 3 X 2 3, 2 X 3 X 3 3,3 ...... X 3 X n 3,n ...... ...... ...... ...... ...... X n X 1 n,1 X n X 2 n, 2 X n X 3 n,3 ...... X n X n n,n
风险厌恶度的衡量 • 你为了 15 年后退休而投资。你更愿意怎么 做？
1. 投资于货币市场基金或有保证的投资契约，放 弃获得大量收益的可能性，重点保证本金的安全。 2. 一半投入债券基金，一半投入股票基金，希望 在有些增长的同时，还有固定收入的保障。 投资于不断增长的共同基金，其价值在该年可能 会有巨幅波动，但在5或10年后有巨额收益的潜力。
25% 30% 20% 10% 24%
个股收益率
• 单个证券的风险，通常用统计学中的方 差或标准差σ 表示：
n
(R
i 1
i
R) ( Pi )
2
• 二、证券投资组合的收益与风险的衡量 • （一）双证券组合收益的衡量
• 假设某投资者将其资金分别投资于风险证券A和B，其 投资比重分别为XA和XB,XA+XB=1，则双证券组合的预期 收益率RP等于单个证券预期收益RA和RB以投资比重为权 数计算的加权平均数,用公式表示:
• R P=XA R A + XB R
B
双证券组合风险的衡量
• 双证券组合的风险用其收益率的方差σP2表示为:
• σ P2=XA2σ A2+ XB 2σ B2+2XAXBσ
AB
协方差 AB＝ R Ai R A RBi RB Pi
i 1
n
双证券组合风险的衡量 • 表示两证券收益变动之间的互动关系，除了
R Ri Pi
i 1
n
市 场 状 况 火爆 较好 盘整 糟糕
不 同 时 期
可 能 的 收 益 率
出现 概率
A(20%)
B(40%)
C(30%)
D(10%)
0.2 0.4 0.3 0.1
25% 20% 15% 8% 18.13%
30% 25% 10% 15% 20.5%
20% 30% 12% 10% 20.6%
风险厌恶度的衡量 • 如果目标是30年以后，你会怎么做？
1. 卖掉 2. 不动 3. 再买入
风险厌恶度的衡量 • 在你买入退休基金后1个月，其价格上涨 了 25% 。同样，基本面未变。沾沾自喜 之后，你会怎么做？
1. 卖掉锁定收益 2. 持有看跌期权并期待更多的收益 3. 再买入，因为可能还会上涨
风险厌恶度的衡量 • 现在换个角度看上面的问题。你的投资下 跌了20%，但它是投资组合的一部分，用 来在三个不同的时间段上达成投资目标。
1. 如果目标是5年以后，你会怎么做？ (1) 卖掉 (2) 不动 (3) 再买入
风险厌恶度的衡量 • 如果目标是15年以后，你会怎么做？
1. 卖掉 2. 不动 3. 再买入
协方差外,还可以用相关系数ρ
的关系为： • ρ
AB=σ AB/σ Aσ B AB≤+1
AB 表示，两者
• -1≤ρ
• 双证券组合风险的衡量
• σP2=XA2σA2+XB2σB2+2XAXBρABσAσB
• • • • •
ρAB=-1时， 完全负相关; ρAB=+1时， 完全正相关; ρAB =0时， 完全不相关。 0<ρAB<1时， 正相关; -1<ρAB<0时，负相关。
二、无差异曲线 • 一条无差异曲线代表给投资者带来同样满足程 度的预期收益率和风险的所有组合。
收 益 Rp
I3
I2
I1
风险δp
• • • • •
无差异曲线的特征 无差异曲线的斜率是正的 该曲线是下凸的 同一投资者有无限多条无差异曲线 同一投资者在同一时间、同一时点的任 何两条无差异曲线都不能相交。 • 无差异曲线的斜率越高，说明该投资者 越厌恶风险。
RP
B
H
N
最小方差组合
A
P
二、有效集 • （一）有效集的定义 • 能同时满足不满足和风险厌恶这两个条 件的投资组合的集合就是有效集。 • 处于有效边界上的组合称为有效组合。 • N、B两点之间上方边界上的可行集就是 有效集。 • 马氏有效集
•
哈里▪马科维茨（Harry M. Markowitz），1927年8月24日生于美国 伊利诺伊州。于1950年、1952年 在芝 加哥大学连续获得了经济学硕士、博士 学位。1952年，马科维茨在他的学术论 文《资产选择：有效的多样化》（正式 发表的文章为《投资组合选择》 Portfolio Selection,Journal of finance,1952(7),77-91)中，首次应用 资产组合报酬的均值和方差这两个数学 概念，从数学上明确地定义了投资者偏 好。第一次将边际分析原理运用于资产 组合的分析研究 。
韦恩韦格纳和谢拉劳的研究 • 一个证券组合的预期收益率与组合中股票的只 数无关，证券组合的风险随着股票只数的增加 而减少。 • 平均而言，由随机抽取的20只股票构成的股票 组合的总风险降低到只包含系统性风险的水平。 • 一个充分分散的证券组合的收益率的变化与市 场收益率的走向密切相关。
第四节 风险偏好与无差异曲线
不同风险厌恶程度投资者的无差异曲线
I1 I2
RP
I3
风险厌恶投资者
PΒιβλιοθήκη Baidu
RP
I1
I2 I3
P
风险中性投资者
RP
I1 I2 I3
P
风险喜好投资者
风险厌恶度的衡量 • 在你投资 60 天后，价格下跌 20% 。假设 所有基本面均未改变，你会怎么做？
1. 为避免更大的担忧，卖掉再试试其他的。 2. 什么也不做，静等收回投资。 3. 再买入。它曾是好的投资，现在也是便宜的 投资。
βi=σ
im
/σ
m
2
证券组合系统性风险的衡量 • 由于系统性风险无法通过多样化投资来 抵消,因此一个证券组合的β 系数β i等 于该组合中各种证券的β 系数的加权平 均数,权重为各种证券的市值占整个组合 总价值的比重Xi :
p X i i
i 1
N
第三节 证券组合与分散风险
• 在1989年1月至1993年12月间，IBM股票 的月平均收益率为-0.61%，标准差为 7.65%。而同期标准普尔500（S&P500） 的月平均收益率和标准差分别为1.2%和 3.74%，即虽然IBM收益率的标准差大大 高于标准普尔500指数的标准差，但是其 月平均收益率却低于标准普尔500指数的 月平均收益率。为什么会出现风险高的 股票其收益率反而会低的现象呢？
三、投资者的投资效用函数 • 目前在金融理论界使用最为广泛的是下 列投资效用函数：
1 2 U R A 2
• 其中A表示投资者的风险厌恶度，其典型 值在2至4之间。
• 风险厌恶度与投资决策 • 在一个完美的市场中，投资者对各种证 券的预期收益率和风险的估计是一致的， 但由于不同投资者的风险厌恶度不同， 因此其投资决策也就不同。
1952年，安德鲁.罗伊发表了《安全第一与资产持有》 （Safety First and the Holding of Assets)载于 计量经济学第20卷，第三期（1952年7月)，pp.431449.也独立推出了同伴的公式。 “因为1952年3月那篇文章，我经常被称作现代投资组 合理论（MPT）之父，但是罗伊（1952）应有权与我共 享这份荣誉。” ——马科威茨（1999）： 《现代投资组合理论的早期历史：1600－1960》（The Early History of Portfolio Theory:1600-1960),载 于《金融分析师杂志》第55卷，第4期（1999年7/8月）， pp.5-16。
• （三）N个证券组合收益的衡量 • 证券组合的预期收益率就是组成该组合的各种 证券的预期收益率的加权平均数，权数是投资 于各种证券的资金占总投资额的比例，用公式 表示：
R p X i Ri
i 1
n
N个证券组合风险的衡量
• N个证券组合的风险为：
X
i 1 j 1
n
n
i
第十二章
投资组合理论
第一节 金融风险的定义和类型 一、金融风险的定义 • 金融市场的风险是指金融变 量的各种可能值偏离其期望 值的可能性和幅度。 • 风险不等于损失 • 通常风险大收益也大 • 风险与不确定性的关系 Frank.Knight(1885— 1972)， 《风险、不 确定性与利润》
二、金融风险的种类 • 按能否分散分类
双证券组合收益、风险与相关系数的关系
A
1
1 1
B
1
O
r
• （二）三证券组合的收益和风险的衡量 • 三证券组合的预期收益率RP为： • RP=X1 R1+X2R2+X3R3 • 三风险证券组合的风险为：
• σ
P 2=X 2σ 2+X 2σ 2+X 2σ 2+2X X σ +2X X σ +2X X σ 1 1 2 2 3 3 1 2 12 1 3 13 2 3 23
• 一、不满足性和厌恶风险 • 不满足性 • 投资者在其他情况相同的两个投资组 合中进行选择时，总是选择预期回报率 较高的那个组合。
• 厌恶风险 • 投资者是厌恶风险的（Risk Averse）， 即在其它条件相同的情况下，投资者将 选择标准差较小的组合。
收 益 Rp
风险δp 不满足性、风险厌恶与投资组合选择
风险厌恶度的衡量 • A答案的个数×1分 B答案的个数×2分 C答案的个数×3分 • 分数在9至14分的为保守型投资者 分数在15至21分的为温和型投资者 分数在22至27分的为激进型投资者
第五节
有效集与最优投资组合
• 一、可行集 • 可行集指的是由N种证券所形成的所有组 合的集合，它包括了现实生活中所有可能 的组合。也就是说，所有可能的组合将位 于可行集的边界上或内部。
风险厌恶度的衡量 • 你刚赢得一份大奖。但具体哪一个，由 你自己定。 1. 2000美元现金。 2. 50%的机会获得5000美元 3. 20%的机会获得15000美元
风险厌恶度的衡量 • 有一个很好的投资机会刚出现。但你得 借钱。你会接受贷款吗？
1. 绝对不会 2. 也许 3. 会
风险厌恶度的衡量 • 你的公司要向员工出售股票。公司经营 者计划在3年内让公司上市。在此之前， 你无法卖出股票，也不会得到红利。但 当公司上市时你的投资将增殖 10 倍。你 会投资多少钱买这种股票？
第二节 投资收益与风险的衡量
• 一、单个证券收益与风险的衡量 • 单个证券收益的衡量（未来价格已知）
–证券投资单期的收益率或持有期收益率为 （期限短于1年）：
Dt ( Pt Pt 1 ) R Pt 1
• 单个证券收益的衡量（未来价格或收益不确 定）
– 风险证券的收益率通常用统计学中的期望值来 表示：
• 系统性风险
–由那些影响整个金融市场的风险因素所引起的风险。 这些因素包括经济周期、国家宏观经济政策的变动 等等。
• 非系统性风险
–与特定公司或行业相关的风险，它与经济、政治和 其他影响所有金融变量的因素无关。
投资 组合 方差
非 系 统 风 险
总 风 险 系 统 风 险 组合投资与风险分散 资产数目
n×n的方差协方差矩阵
• 不论证券组合中包括多少种证券，只要 证券组合中每对证券间的相关系数小于1， 证券组合的标准差就会小于单个证券标 准差的加权平均数，这意味着只要证券 的变动不完全一致，单个有高风险的证 券就能组成一个只有中低风险的证券组 合。
单个证券系统性风险的衡量
• 可以用某种证券的收益率和市场组合收 益率之间的β系数作为衡量这种证券系统 性风险的指标。
• 原因在于每个证券的全部风险并非完全 相关，构成一个证券组合时，单一证券 收益率变化的一部分就可能被其他证券 收益率反向变化所减弱或者完全抵消。 • 与投资预期收益率相对应的只能是通过 分散投资不能相互抵消的那一部分风险， 即系统性风险。
• 有效证券组合的任务就是要找出相关关 系较弱的证券组合，以保证在一定的预 期收益率水平上尽可能降低风险。
X j ij
• 随着组合中证券数目的增加，在决定组合方差 时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越 来越小。
X 1 X 11,1
X 1 X 21, 2
X 1 X 31,3 ...... X 1 X n1,n
X 2 X 1 2,1 X 2 X 2 2, 2 X 2 X 3 2,3 ...... X 2 X n 2,n X 3 X 1 3,1 X 3 X 2 3, 2 X 3 X 3 3,3 ...... X 3 X n 3,n ...... ...... ...... ...... ...... X n X 1 n,1 X n X 2 n, 2 X n X 3 n,3 ...... X n X n n,n
风险厌恶度的衡量 • 你为了 15 年后退休而投资。你更愿意怎么 做？
1. 投资于货币市场基金或有保证的投资契约，放 弃获得大量收益的可能性，重点保证本金的安全。 2. 一半投入债券基金，一半投入股票基金，希望 在有些增长的同时，还有固定收入的保障。 投资于不断增长的共同基金，其价值在该年可能 会有巨幅波动，但在5或10年后有巨额收益的潜力。
25% 30% 20% 10% 24%
个股收益率
• 单个证券的风险，通常用统计学中的方 差或标准差σ 表示：
n
(R
i 1
i
R) ( Pi )
2
• 二、证券投资组合的收益与风险的衡量 • （一）双证券组合收益的衡量
• 假设某投资者将其资金分别投资于风险证券A和B，其 投资比重分别为XA和XB,XA+XB=1，则双证券组合的预期 收益率RP等于单个证券预期收益RA和RB以投资比重为权 数计算的加权平均数,用公式表示:
• R P=XA R A + XB R
B
双证券组合风险的衡量
• 双证券组合的风险用其收益率的方差σP2表示为:
• σ P2=XA2σ A2+ XB 2σ B2+2XAXBσ
AB
协方差 AB＝ R Ai R A RBi RB Pi
i 1
n
双证券组合风险的衡量 • 表示两证券收益变动之间的互动关系，除了
R Ri Pi
i 1
n
市 场 状 况 火爆 较好 盘整 糟糕
不 同 时 期
可 能 的 收 益 率
出现 概率
A(20%)
B(40%)
C(30%)
D(10%)
0.2 0.4 0.3 0.1
25% 20% 15% 8% 18.13%
30% 25% 10% 15% 20.5%
20% 30% 12% 10% 20.6%
风险厌恶度的衡量 • 如果目标是30年以后，你会怎么做？
1. 卖掉 2. 不动 3. 再买入
风险厌恶度的衡量 • 在你买入退休基金后1个月，其价格上涨 了 25% 。同样，基本面未变。沾沾自喜 之后，你会怎么做？
1. 卖掉锁定收益 2. 持有看跌期权并期待更多的收益 3. 再买入，因为可能还会上涨
风险厌恶度的衡量 • 现在换个角度看上面的问题。你的投资下 跌了20%，但它是投资组合的一部分，用 来在三个不同的时间段上达成投资目标。
1. 如果目标是5年以后，你会怎么做？ (1) 卖掉 (2) 不动 (3) 再买入
风险厌恶度的衡量 • 如果目标是15年以后，你会怎么做？
1. 卖掉 2. 不动 3. 再买入
协方差外,还可以用相关系数ρ
的关系为： • ρ
AB=σ AB/σ Aσ B AB≤+1
AB 表示，两者
• -1≤ρ
• 双证券组合风险的衡量
• σP2=XA2σA2+XB2σB2+2XAXBρABσAσB
• • • • •
ρAB=-1时， 完全负相关; ρAB=+1时， 完全正相关; ρAB =0时， 完全不相关。 0<ρAB<1时， 正相关; -1<ρAB<0时，负相关。
二、无差异曲线 • 一条无差异曲线代表给投资者带来同样满足程 度的预期收益率和风险的所有组合。
收 益 Rp
I3
I2
I1
风险δp
• • • • •
无差异曲线的特征 无差异曲线的斜率是正的 该曲线是下凸的 同一投资者有无限多条无差异曲线 同一投资者在同一时间、同一时点的任 何两条无差异曲线都不能相交。 • 无差异曲线的斜率越高，说明该投资者 越厌恶风险。
RP
B
H
N
最小方差组合
A
P
二、有效集 • （一）有效集的定义 • 能同时满足不满足和风险厌恶这两个条 件的投资组合的集合就是有效集。 • 处于有效边界上的组合称为有效组合。 • N、B两点之间上方边界上的可行集就是 有效集。 • 马氏有效集
•
哈里▪马科维茨（Harry M. Markowitz），1927年8月24日生于美国 伊利诺伊州。于1950年、1952年 在芝 加哥大学连续获得了经济学硕士、博士 学位。1952年，马科维茨在他的学术论 文《资产选择：有效的多样化》（正式 发表的文章为《投资组合选择》 Portfolio Selection,Journal of finance,1952(7),77-91)中，首次应用 资产组合报酬的均值和方差这两个数学 概念，从数学上明确地定义了投资者偏 好。第一次将边际分析原理运用于资产 组合的分析研究 。
韦恩韦格纳和谢拉劳的研究 • 一个证券组合的预期收益率与组合中股票的只 数无关，证券组合的风险随着股票只数的增加 而减少。 • 平均而言，由随机抽取的20只股票构成的股票 组合的总风险降低到只包含系统性风险的水平。 • 一个充分分散的证券组合的收益率的变化与市 场收益率的走向密切相关。
第四节 风险偏好与无差异曲线
不同风险厌恶程度投资者的无差异曲线
I1 I2
RP
I3
风险厌恶投资者
PΒιβλιοθήκη Baidu
RP
I1
I2 I3
P
风险中性投资者
RP
I1 I2 I3
P
风险喜好投资者
风险厌恶度的衡量 • 在你投资 60 天后，价格下跌 20% 。假设 所有基本面均未改变，你会怎么做？
1. 为避免更大的担忧，卖掉再试试其他的。 2. 什么也不做，静等收回投资。 3. 再买入。它曾是好的投资，现在也是便宜的 投资。
βi=σ
im
/σ
m
2
证券组合系统性风险的衡量 • 由于系统性风险无法通过多样化投资来 抵消,因此一个证券组合的β 系数β i等 于该组合中各种证券的β 系数的加权平 均数,权重为各种证券的市值占整个组合 总价值的比重Xi :
p X i i
i 1
N
第三节 证券组合与分散风险
• 在1989年1月至1993年12月间，IBM股票 的月平均收益率为-0.61%，标准差为 7.65%。而同期标准普尔500（S&P500） 的月平均收益率和标准差分别为1.2%和 3.74%，即虽然IBM收益率的标准差大大 高于标准普尔500指数的标准差，但是其 月平均收益率却低于标准普尔500指数的 月平均收益率。为什么会出现风险高的 股票其收益率反而会低的现象呢？
三、投资者的投资效用函数 • 目前在金融理论界使用最为广泛的是下 列投资效用函数：
1 2 U R A 2
• 其中A表示投资者的风险厌恶度，其典型 值在2至4之间。
• 风险厌恶度与投资决策 • 在一个完美的市场中，投资者对各种证 券的预期收益率和风险的估计是一致的， 但由于不同投资者的风险厌恶度不同， 因此其投资决策也就不同。
1952年，安德鲁.罗伊发表了《安全第一与资产持有》 （Safety First and the Holding of Assets)载于 计量经济学第20卷，第三期（1952年7月)，pp.431449.也独立推出了同伴的公式。 “因为1952年3月那篇文章，我经常被称作现代投资组 合理论（MPT）之父，但是罗伊（1952）应有权与我共 享这份荣誉。” ——马科威茨（1999）： 《现代投资组合理论的早期历史：1600－1960》（The Early History of Portfolio Theory:1600-1960),载 于《金融分析师杂志》第55卷，第4期（1999年7/8月）， pp.5-16。
• （三）N个证券组合收益的衡量 • 证券组合的预期收益率就是组成该组合的各种 证券的预期收益率的加权平均数，权数是投资 于各种证券的资金占总投资额的比例，用公式 表示：
R p X i Ri
i 1
n
N个证券组合风险的衡量
• N个证券组合的风险为：
X
i 1 j 1
n
n
i
第十二章
投资组合理论
第一节 金融风险的定义和类型 一、金融风险的定义 • 金融市场的风险是指金融变 量的各种可能值偏离其期望 值的可能性和幅度。 • 风险不等于损失 • 通常风险大收益也大 • 风险与不确定性的关系 Frank.Knight(1885— 1972)， 《风险、不 确定性与利润》
二、金融风险的种类 • 按能否分散分类
双证券组合收益、风险与相关系数的关系
A
1
1 1
B
1
O
r
• （二）三证券组合的收益和风险的衡量 • 三证券组合的预期收益率RP为： • RP=X1 R1+X2R2+X3R3 • 三风险证券组合的风险为：
• σ
P 2=X 2σ 2+X 2σ 2+X 2σ 2+2X X σ +2X X σ +2X X σ 1 1 2 2 3 3 1 2 12 1 3 13 2 3 23
• 一、不满足性和厌恶风险 • 不满足性 • 投资者在其他情况相同的两个投资组 合中进行选择时，总是选择预期回报率 较高的那个组合。
• 厌恶风险 • 投资者是厌恶风险的（Risk Averse）， 即在其它条件相同的情况下，投资者将 选择标准差较小的组合。
收 益 Rp
风险δp 不满足性、风险厌恶与投资组合选择