5-3 线性系统的稳定性分析

线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(6/21)
证明过程为： ➢ 对任意给定的正定矩阵Q,构造矩阵P如下
P eAτtQeAtdt 0
➢ 由矩阵指数函数eAt的定义和性质知,上述被积矩阵函数的 各元素一定是具有tket形式的诸项之和,其是A的特征值。 ✓ 因为系统是渐近稳定的,则矩阵A的所有特征值的实 部一定小于零,因此上述积分一定存在,即P为有限对 称矩阵。
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简 便方法,该方法 ➢ 不需寻找李雅普诺夫函数, ➢ 不需求解系统矩阵A的特征值,
只需解一个矩阵代数方程即可,计算简便。 ✓ 该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程。
➢ 由上述定理,可得如下关于正定矩阵P是李雅普诺夫矩阵 方程的唯一解的推论。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(10/21)—推论1
数V’(x)
通过判定V’(x) 的定号性来判 定平衡态xe的
稳定性
线性定连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/21)
证明过程为： ➢ 已知满足矩阵方程
PA+AP=-Q 的正定矩阵P存在,故令
V(x)=xPx. ➢ 由于V(x)为正定函数,而且V(x)沿轨线对时间t的全导数为
V’(x)=(xPx)’ =x’Px+xPx’ =(Ax)Px+xPax =x(AP+PA)x =-xQx
如何利用李雅普诺夫第二法及如何选取李雅普诺夫函数来 分析该线性系统的稳定性。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/21)
5.3.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax
这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡态xe=0, 即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的,则一 定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次 型函数的形式。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(11/21)
两式相减,可得 (P1-P2)A+A(P1-P2)=0
➢ 因此,有
0 eAτ t[(P1 - P2 ) A Aτ (P1 - P2 )]eAt eAτ t (P1 - P2 )eAt
所以,对任意的t,下式均成立: eAτ t (P1 - P2 )eAt 常数
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/21)
证明 (1) 先证充分性。 ➢ 即证明,若对任意的正定矩阵Q,存在正定矩阵P满足方程 PA+AP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路：
由于P正定,选 择正定函数 V(x)=xPx为李 雅普诺夫函数
计算李雅普诺 夫函数V(x)对 时间t的全导
➢ 将矩阵P的表达式(5-15)代入矩阵方程
PA+AP=-Q
可得:
PA A P e Aτ tQe AtdtA A e Aτ tQe Atdt
0
0
d e Aτ tQe Atdt e Aτ tQe At
0 dt
0
Q
➢ 因此,必要性得证。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(9/21)
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/21)—定理5-7
上述第(3)点可由如下定理中得到说明。
定理5-7 线性定常连续系统 x’=Ax
的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: ➢ 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为 矩阵方程 PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫 函数。 □
➢ 由于各类系统的复杂性,在应用李雅普诺夫第二法时,难 于建立统一的定义李雅普诺夫函数的方法。
➢ 目前的处理方法是,针对系统的不同分类和特性,分别寻 找建立李雅普诺夫函数的方法。
李雅普诺夫方法在线性系统的应用(3/2)
➢ 本节将讨论对线性系统,包括 ✓ 线性定常连续系统、 ✓ 线性时变连续系统和 ✓ 线性定常离散系统,
推那论么5李-1雅如普果诺线夫性代定数常方系程统x’=Ax在平衡态xe=0是渐近稳定的, PA+AP=-Q
对给定的任意正定矩阵Q,存在唯一的正定矩阵解P。
□
证明 用反证法证明。 ➢ 即需证明: 李雅普诺夫代数方程由两个正定矩阵解,但该 系统是渐近稳定的。 ➢ 设和李P2代雅入普该诺方夫程代后数有方程由两个正定矩阵解P1和P2,则将P1 P1A+AP1=-Q P2A+AP2=-Q
P eAτtQeAtdt (5 15) 0
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(7/21)
➢ 又由于 ✓ Q正定, ✓ 矩阵指数函数eAt可逆,
则由方程(5-15)可知,P为有限的正定矩阵。 ➢ 因此,P为正定矩阵。
P eAτtQeAtdt (5 15) 0
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(8/21)
本节主要研究李雅普诺夫方法在线性系统中的应用。 ➢ 讨论的主要问题有: 基本方法: 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 矩阵李雅普诺夫方程的求解 线性时变连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性定理 及稳定性分析
李雅普诺夫方法在线性系统的应用(2/2)
由上节知,李雅普诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有 效方法,但具体运用时将涉及到如何选取适宜的李雅普诺夫 函数来分析系统的稳定性。
而Q为正定矩阵,故V’(x)为负定函数
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(5/21)
➢ 根据渐近稳定性定理(定理5-4),即证明了系统的平衡态 xe=0是渐近稳定的,于是充分性得证。
(2) 再证必要性。 ➢ 即证明:若系统在xe=0处是渐近稳定的,则对任意给定的 正定矩阵Q,必存在正定矩阵P满足矩阵方程 PA+AP=-Q 证明思路： ➢ 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程 PA+AP=-Q 的正定矩阵P。
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
目录
概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 5.3 线性系统的稳定性分析 5.4 非线性系统的稳定性分析 5.5 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
李雅普诺夫方法在线性系统的应用(1/2)
5.3 线性系统的稳定性分析