直角三角形斜边中线
6.如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）
A.2
二.填空题
1.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为_____.
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于___________.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=5，AD=AC=12，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是对角线BD、AC的中点，则MN=_________.
(第1题) (第2题) (第3题)
4.如图所示，在?ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于E，∠CEM=40°，则∠DME是________.
(第4题) (第5题)
三．解答题
1.如图，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点．（1）求证：AF⊥DE；（2）求证：FH=GH．
2.如图，已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足．
求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE．
3.已知：平行四边形ABCD中，点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，连接AM、CN，（1）求证：AM∥CN．
（2）过点B作BH⊥AM，垂足为H，联结CH，求证：△BCH是等腰三角形．
4.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．
5.如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是中点．求证：（1）DM=BM；（2）MN⊥BD
6.已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F 分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．
7.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N 分别是边BD、AC的中点．
（1）求证：MN⊥AC；
（2）当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长
8.如图，△ABC中，∠ACB=90°，点E、F分别是AD、AB的中点，AD=BD．证明：CF 是∠ECB的平分线．
9.已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上任意一点，DE⊥AB于E，M，N分别是BD，CE的中点，求证：MN⊥CE．
10.如图：AD是△ABC的高，M、N、E分别是AB、AC、BC边上的中点．
（1）求证：ME=DN；
（2）若BC=AD=12，AC=13，求四边形DEMN的面积．
11.如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB
全等三角形之倍长中线法资料讲解
课题：《全等三角形之巧添辅助线——倍长中线法》 【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线 △ ABC中，AD是BC边中线方式1 :直接倍长延长AD至U E， 例2: ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1:作DE丄AB于E,作DF 丄AC于F,证明二次全等 方法2 :辅助线同上，利用面积 方法3 :倍长中线AD E 方式2 :间接倍长 作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E延长MD到 C 【经典例题】 例1 :△ ABC中，AB=5, AC=3求中线AD的取值范围. 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边 N,使DN=MD连接CN C 例3:已知在△ ABC中，AB=AC , D在AB 上, E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF ,求证：BD=CE 方法1 :过D作DG // AE交BC于G,证明△ DGF^A CEF 使DE=AD，连接BE
方法2:过E 作EG // AB 交BC 的延长线于 G ,证明△ EFG^A DFB 方法3:过D 作DG 丄BC 于G,过E 作EHL BC 的延长线于 H,证明A BDG^A ECH 例4:已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF 例5:已知：如图，在 ABC 中，AB 求证：AE 平分 BAC 方法1倍长AE 至G ,连结DG 方法2:倍长FE 至H ，连结CH 例 6:已知 CD=AB ，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE 提示：倍长 AE 至F ,连结DF,证明A ABE^A FDE ( SAS ,进而证明A ADF ^A ADC( SAS A 提示：倍长 AD 至G ,连接BG ,证明A BDG^A CDA 三角形BEG 是等腰三角形 AC , D E 在 BC 上,且 DE=EC 过 D 作 DF // BA 交 AE 于点 F , DF=AC. 第1题图
专题训练：直角三角形斜边上中线
《直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半》 专题训练 直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。 一、直角三角形斜边上中线的性质 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理的证明 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 二、性质的证明 1、证明线段相等 例1、如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D 点，使，点E、F分别为边BC、AC的中点。
（1）求证：DF=BE； （2）过点A作AG∥BC，交DF于G。求证：AG=DG。 2、证明角相等 例2、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。
例3、已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。 求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE。
3、证明线段的倍分及和差关系 例4、如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。
例5、如图8，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，E、F分别是AB、CD的中点。求证：。 4、证明线段垂直 例6、如图9，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。 求证：MN⊥DC。 5、证明特殊的几何图形
例7、如图10，将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°得到Rt△ACE，点D与点F分别是斜边AB、AE 的中点，连CD、CF，则四边形ADCF为菱形．请给予证明． 强化训练 1、如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D,E、 F、G分别是AC、AB、BC的中点。 求证：四边形OEFG是等腰梯形。
三角形全等之倍长中线(类倍长一)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：“三角形全等”的辅助线： 见中线，要________，________之后___________，全等之后_________，_________． 问题2：倍长中线的作法，图中的虚线为辅助线，请叙述图1、图2的辅助线． 三角形全等之倍长中线（类倍长一）（人教版） 一、单选题(共4道，每道25分) 1.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D． 求证：AB=CD． 如图，先在图上走通思路后再填写空格内容： ①因为点E是BC的中点，考虑延长AE到点F，使EF=AE，连接CF； ②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______； ③由全等可得________________；
④结合已知条件∠BAE=∠D，得∠F=∠D，在△DCF中，利用________________，可得CF=CD，等量代换得AB=CD． 以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A.②SAS，△ABE，△ECF； ③AB=CF； ④等角对等边 B.②SAS，△ABE，△DEC； ③AB=CF，∠BAE=∠F； ④等边对等角 C.②SA S，△ABE，△FCE； ③∠ABE=∠FCE，∠BAE=∠F； ④等边对等角 D.②SAS，△ABE，△FCE； ③AB=FC，∠BAE=∠F； ④等角对等边 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线 2.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D． 求证：AB=CD． 证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF．
∵E是BC的中点 ∴BE=CE 在△BEF和△CED中 ∴△BEF≌△CED（SAS） ∴____________________________ ∵∠BAE=∠D ____________________________ ∴AB=CD 请你仔细观察下列序号所代表的内容： ①BF=CD，∠EBF=∠C； ②BF=CD，∠F=∠D； ③； ④． 以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 答案：B 解题思路：
直角三角形斜边中线练习(尖)
直角三角形斜边中线练习【尖】 一．选择题（共8小题） 1．如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（） A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm 2．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是（） A．点E B．点F C．点G D．点H 3．如图，△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E．若DE=4，AE=6，则BE的长度是（） A．10 B．2√5 C．8 D．2√7
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于（） A．30°B．40°C．50°D．60° 5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF 的中点，那么CH的长是（） A．2.5 B．√5C．3 2 √2D．2 6．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（） A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km 7．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．34 B．26 C．8.5 D．6.5
8．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（） A．21 B．18 C．13 D．15 二．填空题（共2小题） 9．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于度． 10．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是； 若将△ABP的PA边长改为2√2，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为．
直角三角形斜边上的中线(人教版)(含答案)
直角三角形斜边上的中线（人教版） 试卷简介:本套试卷继续训练直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余，斜边长大于任意一条直角边长，30°所对的直角边等于斜边的一半，同时加上斜边中线等于斜边的一半，检测同学们见到什么想什么，以及有序梳理条件、对条件进行搭配和组合的能力． 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,点P是BD的中点. 若AD=6,则CP的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：A 解题思路： ∵∠ACB=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=30°， ∴∠ABD=∠A ∴BD=AD=6， ∵点P是BD的中点， ∴ 故选A． 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点, 连接DE,则△CDE的周长为( )
A.10 B.13 C.14 D.18 答案：C 解题思路： ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，． 又∵点E为AC的中点，AB=AC=10， ∴， ∴△CDE的周长为：DE+CE+CD= 14． 故选C． 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 3.如图,在Rt△ABC中,DC是斜边AB上的中线,EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°,则∠ACD 的度数是( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 答案：C 解题思路： ∵EF∥AB，∠BCF=35° ∴∠B=∠BCF=35° ∵DC是斜边AB上的中线 ∴BD=CD
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明． 一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质 【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ． 二、有直角、无中点，取中点，连线出中线 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=2 1∠ABE ，求证：DE=2AB ． 三、有中点、无直角，造直角 【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°， 求证：MN= 2 1（AB －CD ）．
四、逆用性质解题 【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ． 【习题练习】 1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ． 2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ． 3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．
直角三角形斜边上中线性质的应用 一、直角三角形斜边上中线的性质 1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 2 1AD =． 2、性质的拓展： 如图：因为D 为BC 中点， 所以BC 2 1DC BD = =， 所以AD=BD=DC=BC 21， 所以∠1=∠2，∠3=∠4， 因此∠ADB=2∠1=2∠2， ∠ADC=2∠3=2∠4． 因而可得如下几个结论： ①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形； ②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍． 二、性质的应用 1、2 1倍关系求值 例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ． 2、证明线段相等 例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 2 1AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．
直角三角形斜边中线练习教学文案
直角三角形斜边中线 1、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（） A．5 B．6 C．7 D．8 2.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC于M，连CD．下列结论：①AC+CE=AB；②CD＝ 1 2 AE；③∠CDA=45°；④ AC AB AM =定值．其中正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3.如图，BE和AD是△ABC的高，F是AB的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 4如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若BC=4，CD=25，则BE 的长为（） A.25 B.35 C. 22 D. 22 (第2题) (第3题) (第4题) 二.填空题 1、若一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°，那么这个直角三角形的较小的内角是度． 2.如图：已知在△ABC中，∠C=25°，点D在边BC上，且∠DAC=90°，AB= 1 2 DC．求∠BAC的度数__________．3.如图所示，在?ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于E，∠CEM=40°，则∠DME是________. 4如图，在四边形ABCD中，AB=5，AD=AC=12，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是对角线BD、AC的中点，则MN=_________. (第2题) (第3题) (第4题) 三．解答题 1如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点 求证：MN⊥DE 变式：已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上任意一点，DE⊥AB于E，M，N分别是BD，CE的中点，求证：MN⊥CE． N E D C B A
三角形全等之倍长中线
三角形全等之倍长中线 课前预习 1. 填空 （1）三角形全等的判定有： 三边分别___________的两个三角形全等，即（____）； 两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）； 两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）； 两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）； 斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）． （2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA ，SSA 不能证明两个三角形全． 2. 想一想，证一证 已知：如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB 的中点． （1）当OC =OD 时，求证：△AOC ≌△BOD ； （2）当AC ∥BD 时，求证：△AOC ≌△BOD ． O B C D A ? 知识点睛 1. “三角形全等”辅助线： 见中线，要__________，构造______________． 2. 中点的思考方向： ① （类）倍长中线 延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE D C B A M A B C D
②平行夹中点 F E D C B A 延长FE 交BC 的延长线于点G ? 精讲精练 1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线． （1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ． （4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围． 2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ． 求证：AB =AC ． 3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ． 求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ． D C B A D B A D C B A
倍长中线构造全等三角形
巧添辅助线——倍长中线 【夯实基础】 例:ABC ?中,AD 就是BAC ∠的平分线,且BD=CD,求证AB=AC 方法1:作D E ⊥AB 于E,作D F ⊥AC 于F,证明二次全等 方法2:辅助线同上,利用面积 方法3:倍长中线AD 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1: 延长AD 到E, AD 就是BC 边中线 使DE=AD, 连接BE 方式2:间接倍长 作CF ⊥AD 于延长MD 到N, 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD, 连接BE 连接CD 【经典例题】 例1:△ABC 中,AB=5,AC=3,求中线AD 的取值范围 提示:画出图形,倍长中线AD,利用三角形两边之与大于第三边 例2:已知在△ABC 中,AB=AC,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F,且DF=EF,求证:BD=CE 方法1:过D 作DG ∥AE 交BC 于G,证明ΔDGF ≌ΔCEF 方法2:过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G,证明ΔEFG ≌ΔDFB 方法3:过D 作DG ⊥BC 于G,过E 作EH ⊥BC 的延长线于H 证明ΔBDG ≌ΔECH
例3:已知在△ABC 中,AD 就是BC 边上的中线,E 就是AD 上一点,且BE=AC,延长BE 交AC 于F,求 证:AF=EF 提示:倍长AD 至G ,连接BG,证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 就是等腰三角形 例4:已知:如图,在ABC ?中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC,过D 作BA DF //交AE 于点F,DF=AC 、 求证:AE 平分BAC ∠ 提示: 方法1:倍长AE 至G,连结DG 方法2:倍长FE 至H,连结CH 例5:已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 就是△ABD 的中线,求证:∠C=∠BAE 提示:倍长AE 至F,连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE(SAS) 进而证明ΔADF ≌ΔADC(SAS) 【融会贯通】 1、在四边形ABCD 中,AB ∥DC,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF,AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明您的结论 提示:延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC B 第 1 题图 A B F D E C
珍藏二——_全等三角形证明辅助线作法之倍长中线问题
几何综合部分倍长中线问题 巧添辅助线——倍长中线 【夯实基础】 例：ABC ?中，AD是BAC ∠的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1：作D E⊥AB于E，作D F⊥AC于F，证明二次全等 方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中方式1：延长AD到E， AD是BC边中线使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长
几何综合部分倍长中线问题 2 作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD， 连接BE 连接CD 【经典例题】 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且 BD=CE 例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF B
几何综合部分 倍长中线问题 3 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 第 1 题图 A B F D E C
全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法
D C B A 全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法 △ABC 中,AD 是BC 边中线 方式1：直接倍长，(图1)： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长 1) （图2）作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E, 连接BE 2) （图3）延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CD 【经典例题】 例1已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3， 则中线AD 的取值范围是_________. （提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边） 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF=EF. 求证：BD=CE.（提示：方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEF E D A B C F D C B A N D C B A M
E D F C B A 方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌ΔDFB 方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H ，证明ΔBDG ≌ΔECH ） 例3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.
变式：如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ （提示：方法1：在DA 上截取DG=BD ，连结EG 、FG ， 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2： 倍长ED 至H ，连结CH 、FH ，证明FH=EF 、CH=BE ，利用三角形两边之和大于第三边） 例4：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF （提示：方法1：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形。 _ D _ F _ C _ B _ E _ A _ D _ F _ C _ B _ E _ A
倍长中线构造全等三角形
倍长中线构造全等三角 形 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
巧添辅助线——倍长中线 【夯实基础】 例：ABC ?中，AD是BAC ∠的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中 AD到E， AD是BC边中线， 连接BE 方式2 ⊥AD于F， AD的延长线于 连接 【经典例题】 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF 方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG 方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC 证明ΔBDG≌ΔECH 2
3 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交 AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 【融会贯通】 1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC B 第 1 题图 A B F D E C
八年级数学全等三角形--倍长中线法经典例题
倍长中线法 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 D A B C E D A B C F E D C B A N D C B A M
例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 过D 作DG//AC 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ F E D A B C F E C A B D A B F D E C
全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法
手拉手模型 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形： 例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ??? (2)DC AE = (3)AE 与DC 之间的夹角为? 60 (4)DFB AGB ??? (5)CFB EGB ??? (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF // 变式精练1：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ???
（2）DC AE = （3）AE 与DC 之间的夹角为? 60 （4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 变式精练2：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ??? (2）DC AE = (3）AE 与DC 之间的夹角为?60 (4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？ 例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交 于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？
（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？ 例4：两个等腰三角形ABD ?与BCE ?，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ???是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？ （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？ 倍长与中点有关的线段 倍长中线类 ?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 【例1】 已知：ABC ?中，AM 是中线．求证：1 ()2 AM AB AC <+． M C B A 【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？ 【练2】如图所示，在ABC ?的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +．
全等三角形之倍长中线法
全等三角形之倍长中线 1. 如图，AD 为△ABC 的中线． （1）求证：AB +AC >2AD ． （2）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围． 2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ． 求证：AB =AC ． 3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ． 求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ． D C B A C A D B A
4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ， BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ． 5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交 AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线． 6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中 点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长． 7. 如图，在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取一点E ，△FEB 为等腰直角三角形，∠FEB =90°， 连接FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ． 1. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD +BC ，E 是CD 的中点． 求证：AE ⊥BE ． F E D C A G F E D A F E D C B A G F E D C B A E D C B A
直角三角形斜边上的中线
C B E D A B A D C E B C A D “直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 性质： 几何语言： 相关结论： 习题重现一 1、如图，△ABC 是直角三角形， CD 是斜边AB 上的中线。 ①AB=10cm,CD 的长为多少cm? ②CD=2cm ，则AB 的长为多少？ 2、已知：如图，C 为AB 的中点，90AEB ADB ? ∠=∠=，连结CD ，CE ，DE. 求证：△CDE 为等腰三角形 归纳一：有直角，有中点； 拓展提升 如图，已知△ADG 中，AB ⊥BD 于B ，CD ⊥AC 于C ,E 为AD 的中点，点F 是BC 的中点, EF 与BC 有什么位置关系？请说明理由. 习题重现二 3、如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且90BAD ? ∠=，BD=2AC, 25B ? ∠= ， 求 的 度数. 归纳二：有直角，无中点； 拓展提升 已知：如图，在Rt △ABC 中，90C ?∠= ， , AD//BC, 求证：DE=2AB G F C B C ∠ABE CBE ∠=∠2 1
E B D A C 习题重现三 4、如图，已知 AB=AC ，D ，E 分别是 BC ，AC 上的中点 求证：AB=2DE 归纳三：有中点，无直角； 拓展提升 如图，在四边形ABCD 中，DC//AB ，M ，N 是AB ，DC 的中点，90A B ? ∠+∠= 求证：1 ()2 MN AB DC =- 练习 1．如图，∠ABC=∠ADC=Rt ∠，E 是AC 的中点，则（ ） A 、 21∠>∠ B 、21∠<∠ C 、 21∠=∠ D 、无法判断 2. 如图，在△ABC 中，∠C=2∠B ，D 是BC 上的一点，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，连接AE ，若AE=6.5，AD=5， 则AC= △ABE 的周长是 3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是高，CE 是AB 边上的中线，且DC=BE ． 求证：∠B=2∠BCE ． 4. 已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD=AB ，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，AC=6．求EF 的长． A D C
全等三角形辅助线之倍长中线法
全等三角形辅助线之倍 长中线法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
全等三角形辅助线之倍长中线法 倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等． 当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下： 与倍长中线法类似的辅助线作法 M A B C D E MD E MD=DE CE BDM CDE BM CE ???延长至，使，连接可证，AD ABC ?为的中线 D C B A E AD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似； 当连接、，则为平行四边形 AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CD ADC EDB(SAS)AC BE ??∠∠???延长至使，连接在和中 ，，故与此相关的重要结论AD ABC ?为的中线 D C B A E
举例： 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中 D C B A E AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CD ADC EDB(SAS) AB-BE AE AB+BE AE 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF=∠EAF． F E D C B A 321 M A B C D E F 《直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半》教学设计 广州市第四中学邓丽丽 一、教学内容与内容分析 1、教学内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质的形成和应用。 2、内容分析： 来源于人教版八年级数学下册19.2.1 矩形一节，由矩形的对角线性质“矩形的对角线相等”我们得到了直角三角形的一个重要性质：“ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 。 本课主要内容是一、为什么说“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”；二、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的应用（包括应用于生活实际问题、应用于几何计 算与证明）。利用倍长中线法，利用对称的性质构造全等三角形，以及构造中位线法证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，总结中点辅助线模型，为中考常见题型中的中点问题的解决提供了基础和方法。 二、教学目标与目标分析 1、教学目标 （1）知识与技能目标：能掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用，能利用添辅助线证明有关中点的几何问题； （2）过程与方法目标：通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感悟化归思想； （3）情感与态度目标：通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，让学生领悟数学源于生活用于生活，鼓励学生大胆思考，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习兴趣。 三、教学重点与教学难点： 教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明与应用。教学难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明与应用。 3、突出重点、突破难点的方法与策略： ☆ 突出重点的方法：通过设置情境问题，引导学生思考、探究和讨论，在学生的自主探究过程中突出重点 ☆ 突破难点的方法：通过教师的启发引导，充分运用多媒体教学手段，开展小组讨论、探讨交流、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点。 四、教学方法： 第一题 如图15所示，在中，AD为BC边上的中线，试比较AB+AC 与2AD的关系。 答案详解 AB+AC>2AD 解析: 证明：在AD的延长线上取点E，使AD＝ED，连接CE ∵AD是BC 边上的中线∴BD＝CD ∵AD＝ED，∠ADB＝∠EDC ∴△ADB≌△EDC （SAS）∴CE＝AB ∵在△ACE中：CE+AC＞AE ∴AB+AC＞AE ∵AE＝AD+ED＝2AD ∴AB+AC＞2AD 第二题 已知:在中,AD是BC边上的中线,E是AD上一 点,且,延长BE交AC于F,求证:. 答案详解 证明:如图,延长AD到点G,使得,连接BG. 是BC边上的中线(已知), , 在和中, , , 又, , , , , 即:, . 解析: 根据点D是BC的中点,延长AD到点G,得到, 利用全等三角形的对应角相等,对应边相等进行等量代换,得到 中的两个角相等,然后用等角对等边证明AE等于EF. 本题考查的是全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线得到全等三角形,利用全等三角形的性质,得到对应的角相等,然后证明两线段相等. 下载安装 已知:在中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点, 且,延长BE交AC于F,求证:. 答案详解 证明:如图,延长AD到点G,使得,连接BG. 是BC边上的中线(已知), , 在和中, , , 又, , , , , 即:, . 解析: 根据点D是BC的中点,延长AD到点G,得到,利 用全等三角形的对应角相等,对应边相等进行等量代换,得到中的两个角相等,然后用等角对等边证明AE等于EF. 本题考查的是全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线得到全等三角形,利用全等三角形的性质,得到对应的角相等,然后证明两线段相等. 第三题 如图，已知△ABC中，D、E是BC上的两点，且BD＝CE，求证：AB＋AC＞AD＋AE． 全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线 一．填空题（共1小题） 1．（2015秋?宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D 到AB的距离为6，则BC的长是． 二．解答题（共10小题） 2．（2010秋?涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）． 4．（2013秋?藁城市校级期末）在△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN 于点E． （1 （2 （3 5的数量关 6．（2012BF交AC 于点E 7．（2010内的一点，且AD=AC 8．已知点N．（1 （2）若点 9．（2015 证： 10 11．（2010 全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线 参考答案与试题解析 一．填空题（共1小题） 1．（2015秋?宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D 到AB的距离为6，则BC的长是15 ． 【考点】角平分线的性质． 【专题】计算题． 【分析】作DE⊥AB于E，如图，则DE=6，根据角平分线定理得到DC=DE=6，再由BD：DC=3：2可计算出BD=9，然后利用BC=BD+DC进行计算即可． 【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，则DE=6， ∵AD ∵BD： ∴BD= 故答案为 【点评】 2．（2010AB=AC+CD．【考点】 【专题】 【分析】 ∴ 【解答】 （180°﹣∠ACB）=45°，∠E=∠CDE=45°， ∵AD ∴∠1=∠2 在△ABD ∴△ABD≌△AED（AAS）． ∴AE=AB． ∵AE=AC+CE=AC+CD， ∴AB=AC+CD． 证法二：如答图所示，在AB上 截取AE=AC，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2． 在△ACD和△AED中， 定理：证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。【证法1】 延长AD到E，使DE=AD，连接CE。 ∵AD是斜边BC的中线， ∴BD=CD ， 又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等）， AD=DE， ∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB=CE，∠B=∠DCE，∴AB//CE（内错角相等，两直线平行） ∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC=90°， ∴∠ACE=90°，∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA， ∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC=AE，∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。 【证法2】 取AC的中点E，连接DE。∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=1/2BC， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线， ∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边） ∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等） ∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。 【证法3】 延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。 ∵AD是斜边BC的中线， ∴BD=CD， 又∵AD=DE， ∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵∠BAC=90°， ∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）， ∴AE=BC（矩形对角线相等）， ∵AD=DE=1/2AE， ∴AD=1/2BC。 （注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半教学设计
初二数学全等三角形倍长中线法
全等三角形辅助线之截长补短和倍长中线(原题+解析)
定理证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半