我的高等数学下册论文

《高等数学下册》课程总结

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2011年6月10日

高等数学总结

高等数学下册内容分为五大模块，包括向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分和无穷级数。本册课本从体系、内容和方法上，作了有益的改革，有利于我们的学习与深入研究。

课程内容总结：

高等数学是代数学发展到高级阶段的总称，高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和空间向量等。

<1>向量代数与空间解析几何是为我们更深入的了解向量并进一步研究空

间曲面和空间曲线。在掌握向量的运算过程中首先要理解空间直角坐标系和向量的概念及其表示，在研究力学、物理学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如力、力矩、位移、速度等,同时在进行线性运算、向量积、向量的混合积时要利用坐标作线性运算，同时引入了一个重要的计算公式——行列式。

在向量代数与空间解析几何章节中，还涉及到求空间曲线、空间曲面的概念及其方程的多种求法。

如在空间解析几何中，任何曲面都可以看做点的集合轨迹，在这样的意义下，如果曲面S与三元方程F=(x，y，z)=0有以下关系

（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程F=（x，y，z）=0；

（2）不再曲面S上的点的坐标都不满足方程F=（x，y，z）=0，那么，方成F=（x，y，z）=0就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程F=（x，y，z）=0的图形。

空间曲面方程有点法式、一般式、三点式、截距式，空间曲线方程包括一般式、对称式即点向式等。

<2>多元函数微分的概念、理论、方法是一元微积分相应概念、理论、方法的推广和发展。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。

我们在学习一元函数时知道,函数在一点可微与可导是等价的,若函数在一点可导,则函数在该点必连续.但是在多元函数中,由于自变数的个数多于一个,可微、存在偏导数、连续之间的关系有所不同.

若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,则在该点存在偏导数并且连续。对于多元函数来说,可微的条件比偏导数存在的条件强一些,而比偏导数存在且连续又弱一些.那么,函数的可微性、偏导数存在及连续性之间关系就是：偏导数存在且连续可微连续偏导数存在但这个关系一般情况下是不可逆的。我们在求偏导和微分的时候，往往都会判断其是否连续是否可微，在多元复合函数的求导法则中也会考虑到复合函数的中间变量多于两个的情形和中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。

多元函数的性质与以前学习的函数性质类似，在本章节还引入了曲面的切平面与切线、方向导数和梯度、多元函数的求导法则等知识。

<3>二重积分是对面积的积分,分为X—型区域或Y—型区域的积分。

在此章中需要要掌握在直角坐标系下

σ

d y x f D

⎰⎰),(和极坐标系下

θθθrdrd r r f D

⎰⎰)sin ,cos (的不同，以及二重积分的变量替换。

三重积分的计算是建立在二重积分的基础上对于体积的积分，在直角坐标系下的积分计算有两种方式：

<1>“先单后重法”：

⎰

⎰⎰⎰⎰⎰=Ω

)

,(1)

,(2),,(),,(y x z y x z D dz z y x f dxdy dV z y x f ，

<2>“先重后单法”：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω

d c

Dz

dxdy z y x f dz dV z y x f ),,(),,( 。

柱面坐标系下三重积分的计算形式为为：

⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

Ω

=dz rdrd z r r f dV z y x f θθθ),sin ,cos (),,(，适用于积分区域在xoy 平面上

投影为圆或环形区域的题目。

球面坐标系下三重积分的计算形式为：

ρρ

ϕρθϕρθϕρd f dV z y x f 2

)cos ,sin sin ,cos sin (),,(⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

Ω

=

重积分的应用主要则讲述了几何dxdy z z ds y x 22

1'+'+=和物理上的应用。

<4>曲线与曲面积分的学习中，首先介绍的是对弧长的曲线积分的概念及其计算，与对坐标的曲线积分概念及其计算的知识，如：

dt t t t t f ds y x f l

⎰⎰

∂

'+'=β

φϕφϕ)()()](),([),(22 ，其中x= )(),(t y t φϕ= ，

⎰⎰'+'=+β

α

φφϕϕφϕdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P l

)}()](),([)()](),([{),(),( ，其中 x=

)(),(t y t φϕ=。

最

后总结

了两类积分之间的关系：

ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P l

l

⎰⎰+=+]cos ),(cos ),([),(),(βα ，其中βαcos ,cos 为切

向量的方向余弦）。接下来的格林公式为我们计算曲线积分带来了很大的方便：

dxdy y

P

x Q dy y x Q dx y x P D

l

⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+)(

),(),(（适用于封闭曲线）。对面积的曲面积分的形式为：

s i n

i i

i

i

f ds z y x f ∆•=∑⎰⎰=→∑

1

),,(),,(lim ζηξλ

计算形式为：

dxdy z z y x z y x f ds z y x f Dxy

y x ⎰⎰

⎰⎰

∑

'+'+=

22

1)),(,,(),,(