方阵的行列式
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山东财政学院
2、 n阶行列式的定义
定义1.8 n阶矩阵A (aij )的行列式det A ，定义为
det A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain aij Aij
j 1
def
n
(1.2)
或 det A a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj aij Aij . (1.3)
山东财政学院
三、行列式性质行列式的转置
T 行列式 A 与其转置行列式相等， 即 A A . 性质1
性质2 交换行列式的两行（或 两列），行列式变号 .
）的元素相同，则该行 列式 推论 行列式有两行（或两列 等于零.
性质3 某行（列）的公因子可以提出去。
a11 kai1 an1 a12 a1n
a12 a22 a12 a22 b1 b2 a12 a22
引入记号 a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21 ,
则
b1 b1a22 b2 a12 b2 a11 b2 a11 b1a21 a21
a12 aБайду номын сангаас2 b1 b2
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二阶行列式
a b a b 设矩阵A ,称 ad bc为 c d c d 矩阵A的行列式.记作 A .
1.3 方阵的行列式
一、二阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
a11 a12 设A , a21 a22 (1.1) x1 b1 X x , B b , 2 2
山东财政学院
3 1 例4 计算4阶行列式 2 1
3 1 解： 2 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1
2 1 0 1 0 1 . 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 (3)(1) (2) 1 1 (2)(1) (3) 3 2 1 0 (1)(1) (4) 0 1 1 0 1 1 3 1 1 1 0 0 1 2 1 1 1
a11 bi1 an1
a12 bi 2
a1n
a11
a12 a1n ci 2 a2 cin . ann
bin ci1 an1
an 2 ann
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性质5 行列式某行（列）的k倍加到另一行 （列）的对应元素上，行列式的值不变。
a11
a12 ai 2
a1n ain .
kai 2 kain k ai1 an 2 ann a
n1
an 2 ann
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补例：
a11 1、设 a21 a31 a12 a22 a32 a13 6a11 2a12 a32 a22 10a13 5a33 5a23 a23 1, 求 3a31 a33 3a21
a11 ai1 a j1 an1 a12 ai 2 a j2 an 2 a1n ain
a11 ai1 a12 ai 2 a1n ain
a jn kai1 a j1 kai 2 a j 2 kain a jn ann an1 an 2 ann
x1 方程组的解为 x2
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B1 5, A B2 2 A
二、n阶行列式的定义
1、余子式和代数余子式
M ij：划去元素aij 所在的i行j列 元素后所剩的n 1阶行列式， Aij (1)i j M ij .
a11 a12 设 A , 则 det A a11 A11 a12 A12 . a21 a22
1 (1)( 2) 3 2 1
i 1
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def
n
三阶行列式(对角线展开法)
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11a22 a33 a21a32 a13 a31a23a12 a13a22 a31 a23a32 a11 a33a21a12
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例2
1 0 1 , 求 det A. 设A 1 2 0 1 3 2
则（ 1.1 ）可表示为矩阵方程形 式 AX B.
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用加减消元法，得 x1 x2
b1 b1a22 b2 a12 b2 a11a22 a12 a21 a11 a21 a11 b2 a11 b1a21 a21 a11a22 a12 a21 a11 a21
2、证明：奇数阶反称矩阵的行列式等于零.
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推论1 若行列式有一行（或一列）的元素 全为零， 则该行列式等于零. 推论2 若行列式有两行（或两列）的元素成 比例， 则该行列式等于零.
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性质4
a11
a12
a1n
bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin an1 an 2 ann
x1 方程组（ 1.1 ）的解可记为 x2
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B1 A B2 A
2 x1 3x2 4 例1：解方程组 x1 2 x2 9
2 4 4 3 2 3 14, 35, B2 解：A 7, B 1 1 9 9 2 1 2
0 a22 an 2 0 0 的行列式 A . ann
a11 a 21 计算下三角形矩阵 A 例3 an1
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补例：
已知四阶行列式中第三行元素依次为 -1, 2, 0,1, 它们的余子式分别为5,3, -7, 4, 求 A .
2、 n阶行列式的定义
定义1.8 n阶矩阵A (aij )的行列式det A ，定义为
det A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain aij Aij
j 1
def
n
(1.2)
或 det A a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj aij Aij . (1.3)
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三、行列式性质行列式的转置
T 行列式 A 与其转置行列式相等， 即 A A . 性质1
性质2 交换行列式的两行（或 两列），行列式变号 .
）的元素相同，则该行 列式 推论 行列式有两行（或两列 等于零.
性质3 某行（列）的公因子可以提出去。
a11 kai1 an1 a12 a1n
a12 a22 a12 a22 b1 b2 a12 a22
引入记号 a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21 ,
则
b1 b1a22 b2 a12 b2 a11 b2 a11 b1a21 a21
a12 aБайду номын сангаас2 b1 b2
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二阶行列式
a b a b 设矩阵A ,称 ad bc为 c d c d 矩阵A的行列式.记作 A .
1.3 方阵的行列式
一、二阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
a11 a12 设A , a21 a22 (1.1) x1 b1 X x , B b , 2 2
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3 1 例4 计算4阶行列式 2 1
3 1 解： 2 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1
2 1 0 1 0 1 . 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 (3)(1) (2) 1 1 (2)(1) (3) 3 2 1 0 (1)(1) (4) 0 1 1 0 1 1 3 1 1 1 0 0 1 2 1 1 1
a11 bi1 an1
a12 bi 2
a1n
a11
a12 a1n ci 2 a2 cin . ann
bin ci1 an1
an 2 ann
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性质5 行列式某行（列）的k倍加到另一行 （列）的对应元素上，行列式的值不变。
a11
a12 ai 2
a1n ain .
kai 2 kain k ai1 an 2 ann a
n1
an 2 ann
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补例：
a11 1、设 a21 a31 a12 a22 a32 a13 6a11 2a12 a32 a22 10a13 5a33 5a23 a23 1, 求 3a31 a33 3a21
a11 ai1 a j1 an1 a12 ai 2 a j2 an 2 a1n ain
a11 ai1 a12 ai 2 a1n ain
a jn kai1 a j1 kai 2 a j 2 kain a jn ann an1 an 2 ann
x1 方程组的解为 x2
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B1 5, A B2 2 A
二、n阶行列式的定义
1、余子式和代数余子式
M ij：划去元素aij 所在的i行j列 元素后所剩的n 1阶行列式， Aij (1)i j M ij .
a11 a12 设 A , 则 det A a11 A11 a12 A12 . a21 a22
1 (1)( 2) 3 2 1
i 1
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def
n
三阶行列式(对角线展开法)
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11a22 a33 a21a32 a13 a31a23a12 a13a22 a31 a23a32 a11 a33a21a12
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例2
1 0 1 , 求 det A. 设A 1 2 0 1 3 2
则（ 1.1 ）可表示为矩阵方程形 式 AX B.
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用加减消元法，得 x1 x2
b1 b1a22 b2 a12 b2 a11a22 a12 a21 a11 a21 a11 b2 a11 b1a21 a21 a11a22 a12 a21 a11 a21
2、证明：奇数阶反称矩阵的行列式等于零.
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推论1 若行列式有一行（或一列）的元素 全为零， 则该行列式等于零. 推论2 若行列式有两行（或两列）的元素成 比例， 则该行列式等于零.
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性质4
a11
a12
a1n
bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin an1 an 2 ann
x1 方程组（ 1.1 ）的解可记为 x2
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B1 A B2 A
2 x1 3x2 4 例1：解方程组 x1 2 x2 9
2 4 4 3 2 3 14, 35, B2 解：A 7, B 1 1 9 9 2 1 2
0 a22 an 2 0 0 的行列式 A . ann
a11 a 21 计算下三角形矩阵 A 例3 an1
山东财政学院
补例：
已知四阶行列式中第三行元素依次为 -1, 2, 0,1, 它们的余子式分别为5,3, -7, 4, 求 A .