数学史发展

数学发展史

摘要：数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。

关键字：数学史；数学发展；微积分；悖论；数学方法；数学危机

Abstract: The history of mathematics is the science of mathematics study occurrence and development and rules of science, simply said, is the study of the history of mathematics. It not only trace mathematical content, idea and method of evolution, development process, and will explore the influence of various factors, and in the process of the development of the science of mathematics in history to the impact of human civilization. Therefore, to the history of mathematics study not only including specific mathematical content, but also related to history, philosophy, culture, religion and other social science and humanities content, is a cross subject. Keywords:history of mathematics, higher mathematics, calculus, paradox, mathematical method, mathematical crisis

每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面，今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用，诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论领域中的研究热点，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。

一、数学发展史简述

1、古代数学史：古希腊曾有人写过《几何学史》，但未能流传下来。5世纪普罗克洛斯对欧几里得《几何原本》第一卷的注文中还保留有一部分资料。中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中，讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。12世纪时，古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存[13]。

2、中国数学史：中国以历史传统悠久而著称于世界，在历代正史的《律历志》“备数”条内常常论述到数学的作用和数学的历史。例如较早的《汉书·律历志》说数学是“推历、生律、制器、规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索稳,钩深致远,莫不用焉”。《隋书·律历志》记述了圆周率计算的历史，记载了祖冲之的光辉成就。历代正史《列传》中，有时也给出了数学家的传记。正史的《经籍志》则记载有数学书目。在中国古算书的序、跋中，经常出现数学史的内容。如刘徽注《九章算术》序 (263)中曾谈到《九章算术》形成的历史；王孝通“上缉古算经表”中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论；祖颐为《四元玉鉴》所写的序文中讲述了由天元术发展成四元术的历史。宋刊本《数术记遗》之后附录有“算学源流”,这是中国,也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。程大位《算法统宗》(1592)书末附有“算经源流”,记录了宋明间的数学书目。对中国古代数学史进行较为系统的整理和研究，则是在乾嘉学派的影响下，在清代中晚期进行的。主要有：①对古算书的整理和研究，《算经十书》(汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版，参预此项工作的有戴震(1724～1777)、李潢(?～1811)、阮元（1764～1849）、沈钦裴(1829年校算《四元玉鉴》)、罗士琳(1789～1853)等人②编辑出版了《畴人传》（数学家和天文学家的传记），

它“肇自黄帝，迄于昭（清）代，凡为此学者，人为之传”，它是由阮元、李锐等编辑的(1795～1799)。其后，罗士琳作“补遗”(1840)，诸可宝作《畴人传三编》（1886），黄钟骏又作《畴人传四编》(1898)。《畴人传》，实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物多，资料丰富，评论允当，它完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美[13]。

3、数学史研究内容：①数学史研究方法论问题；②数学史通史；③数学分科史；④不同国家、民族、地区的数学史及其比较；⑤不同时期的断代数学史；⑥数学家传记；⑦数学思想、概念、数学方法发展的历史；⑧数学发展与其他科学、社会现象之间的关系；⑨数学教育史；⑩数学史文献学[14]。

4、高等数学的发展：高等数学开始的内容是极限。其实人类得到比较明晰的极限的概念，花掉了2000多年的时间，一直到了牛顿和莱布尼茨的时代(17世纪)，才有了比较明确的极限概念。我们知道微积分是牛顿和莱布尼兹共同发现的．他们使用的工具就是极限，但是他们对极限的认识还不深刻。因此他们的理论也是非常的不严密的。我们所熟知的极限定义语音则是在牛顿身后几百年才由魏尔斯特拉斯提出的。尽管牛顿和莱布尼茨创立的微积分还是不很严密．但是它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在l7世纪上半叶，微积分的先驱们沿着不同的方向向微积分大门逼近．但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立学科的诞生。这些先驱们对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵贡献，但他们的方法仍然缺乏足够的一般性。需要有人站在更高的高度将以往个人的贡献和分散的努力综合成统一的理论，牛顿和莱布尼兹完成了微积分创立种最后也是最关键的一步。自从极限的概念被确立后，微积分的概念才有了比较合理的基础。这为函数的分析提供了有力的工具。有了极限的概念，就可以刻划函数的图形特征。刻划函数图形的一个很有用的工具就是一个特殊的极限——导数。有了导数，就可以更好的刻画函数的单调性，凹凸性，就可以刻画函数的切线。而作为沟通函数与其导数的关系的中值定理，教材上更是以很大篇幅来讲述。对于这几个中值定理，教材上更给出了完美的论述和证明，但我们必须明确，从罗尔定理到拉各朗日定理用了5O年以上的时间，而从拉各朗日定理到柯西定理又用了50多年的时间。我们的教材在使学生惊叹于数学教材的严密和体系宏伟，但是我们必须让学生清楚．数学并不是我们从教材上看到的那样逻辑严谨和严密。它也是在数学的发展史中一点一点发展起来的。有了微分，按照惯例，就应该考虑其逆运算。这就是所谓不定积分[4]。

二、数学悖论与数学史上的三次危机

数学这门学科始终围绕着数与形而展开。在人类文明的早期，人们开始认识自然数、整数、有理数，正方形、三角形、一般直线形以及特殊的曲线形如圆、椭圆、抛物线等。数与形已有初步的结合。随着文明的进一步发展，人们又认识了无理数、复数乃至于一般抽象集合的元素，而对形的认识，则经历了从可度量的曲线形到一般的图形或空间点集。代数与几何有了更密切的结合。数与形经历了从有限到无限的过程，最终归结为集合，使集合论成为现代数学的基础。然而数学的发展并非一帆风顺，而是处处充满了危机。所谓危机，是事物的一种已激化的非解决不可的矛盾，它深刻影响着事物的运动、变化与发展。数学虽然以精确严密著称，但矛盾无处不在，例如正数与负数，有理数与无理数，有限与无限，连续与问断，微分与积分，等等。当数学中的矛盾激化到影响数学的基础时，即产生数学危机。每消除、解决一次数学危机，都会极大地促进数学的飞跃与发展。数学在其发展过程中，经历了三次大的危机。探究这三次数学危机的历史根源、思想背景，分析危机的解决给数学带来的巨大促进作用，对我们了解数学这门学科的发展脉络、领略数学的旖旎风光与思想方法无疑具有十分重要的意义。

在介绍三次数学危机之前，首先解释一下悖论。什么是悖论? “悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。简单地说，悖论往往表现为这样的命题：如