抽象代数复习题及答案

《抽象代数》试题及答案 本科

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分)

1. 设Q 是有理数集，规定f(x)=x +2；g(x)=2

x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）

A. 221x x ++

B. 23x +

C. 245x x ++

D. 2

3x x ++

2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ）

A. 单射

B. 满射

C. 双射

D. 可逆映射

3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。

A. 1个

B. 2个

C. 4个

D. 无限个

5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。

A. 3个

B. 4个

C. 5个

D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8

a 的阶为( B )

A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9

7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111

)

(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶

C. G 的单位元不唯一

D. G 中消去律不成立

8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群

9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ⨯A 的子集为等价关系的是( C )

A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}

B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}

C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}

D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}

10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ）

A. 单射

B. 满射

C. 双射

D. 可逆映射

11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。

A. R 的零元惟一

B. 若0x a +=，则x a =-

C. 对a R ∈，a 的负元不惟一

D. 若a b a c +=+，则b c =

14. 设G 是群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素32

a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9

15．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A )

A. ||||a G

B. |b| = ∞

C. G 的单位元不唯一

D. 方程ax b =在G 中无解

16. 设G 是交换群，则以下结论正确．．

的是( B ) A. G 的商群不是交换群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是循环群 D. G 的任何子群都是循环群

17. 设A={1，-1, i ，-i}，B = {1, -1},

ϕ: A →B, 2a a ,∀a ∈A ，则ϕ是从A 到B 的( A )。

A. 满射而非单射

B. 单射而非满射

C. 一一映射

D. 既非单射也非满射

18.设A=R （实数域）， B=+R （正实数集）， γ:a →a

10， a ∈A ，则γ 是从A 到B 的( C )。

A.满射而非单射

B.单射而非满射

C.一一映射

D.既非单射也非满射

19.设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集的同态满射的是( C )。 A.x→10x B.x→2x C.x→|x| D.x→-x

20. 数域P 上的n 阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法( C )

A. 构成一个交换群

B. 构成一个循环群

C. 构成一个群

D. 构成一个交换环 21.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为（ D ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

22 . 剩余类加群Z 8的子群有( B )。 A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个

23. 下列含有零因子的环是 （ B ）

A. 高斯整数环Z[i]

B.数域P 上的n 阶全矩阵环

C. 偶数环 2Z

D. 剩余类环5Z 24． 设(R,+,·)是一个环，则下列结论正确的是（ D ）

A. R 中的每个元素都可逆

B. R 的子环一定是理想

C. R 一定含有单位元

D. R 的理想一定是子环 25．设群G 是6阶循环群，则群G 的子群个数为（ A ） A ． 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个

26. 设A = {a, b, c}，B = {1,2,3}, 则从集合A 到集合B 的满射的个数为 ( D )。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 6

27. 设集合 A = {a, b, c}, 则以下集合是集合A 的分类的是 ( C )

A. 1P = { {a, b},{a, c}}

B. 2P = {{a},{b, c},{b,a}}

C. 3P = {{a},{b,c}}

D. 4P = {{a,b},{b,c},{c}}

28. 设R = 00a a b Z b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪

∈⎨⎬

⎪

⎝⎭⎪⎪⎩⎭

,，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( A )。 A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环

29. 设S 3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3的子群的个数是( D )。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 6

30. 在高斯整数环Z[i]中，单位元是( B )。

A. 0B. 1C. i D. i -

31.. 设G 是运算写作乘法的群，则下列关于群G 的子群的结论正确的是 ( B )。

A. 任意两个子群的乘积还是子群

B. 任意两个子群的交还是子群

C. 任意两个子群的并还是子群

D. 任意子群一定是正规子群